2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（一）（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（一）（含答案），共17页。
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)已知直线l是过点C(0，﹣3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
(3)已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(﹣1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)、C，与y轴交于点B(0，3)，抛物线的顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线向下平移k个单位后经过点(﹣5，6)．
①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；
②设平移后抛物线与y轴交于点D，顶点为Q，点M是平移后的抛物线上的一个动点，请探究：
当点M在何处时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍？求出此时点M的坐标．
如图，抛物线y＝x2﹣bx＋c过点B(3，0)，C(0，﹣3)，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；
(3)点C关于抛物线y＝x2﹣bx＋c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为 (直接填空)；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当PO＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且(x1＜0＜x2)，交y轴于点C，顶点为D．
(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，
①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；
②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；
(2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．
抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.
已知抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)若点P是直线y＝x＋1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．
抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝﹣eq \f(1,2)有唯一的公共点A，与直线y＝eq \f(3,2)交于点B，C(C在B的右侧)，且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．
(ⅰ)求P，Q两点的坐标；
(ⅱ)设直线y＝2x＋m(m＞0)与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．
\s 0 答案
解：(1)由题意抛物线的顶点A(2，﹣1)，可以假设抛物线的解析式为y＝a(x﹣2)2﹣1，
∵抛物线经过B(0，﹣eq \f(1,2))，∴﹣eq \f(1,2)＝4a﹣1，∴a＝eq \f(1,8)
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,8)(x﹣2)2﹣1．
(2)证明：过点P作PJ⊥AF于J．
∵P(m，n)，
∴n＝eq \f(1,8)(m﹣2)2﹣1＝eq \f(1,8)m2﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,2)，
∴P(m，eq \f(1,8)m2﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,2))，
∴d＝eq \f(1,8)m2﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,2)﹣(﹣3)＝eq \f(1,8)m2﹣eq \f(1,2)m＋eq \f(5,2)，
∵F(2，1)，
∴PF＝＝，
∵d2＝eq \f(1,64)m4﹣eq \f(1,8)m3＋eq \f(7,8)m2﹣eq \f(5,2)m＋eq \f(25,4)，PF2＝eq \f(1,64)m4﹣eq \f(1,8)m3＋eq \f(7,8)m2﹣eq \f(5,2)m＋eq \f(25,4)，
∴d2＝PF2，
∴PF＝d．
(3)如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF＋DQ＋FQ，DF是定值＝2eq \r(2)，
∴DQ＋QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
由(2)可知QF＝QH，∴DQ＋QF＝DQ＋QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ＋QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ＋QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为2eq \r(2)＋6，此时Q(4，﹣eq \f(1,2))．
解：(1)把A(﹣1，0)和点B(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，
得，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D(1，4﹣t)，
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P(1＋t，4﹣t)，
把P(1＋t，4﹣t)代入y＝﹣x2＋2x＋3得：
﹣(1＋t)2＋2(1＋t)＋3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，解得：t1＝0(舍去)，t2＝1，
∴P(2，3)；
(3)∵P点坐标为(2，3)，顶点C坐标为(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为(1，﹣1)，
∴点E关于y轴的对称点F(﹣1，﹣1)，
连接PF交y轴于M，则MP＋ME＝MP＋MF＝PF的值最小，
设直线PF的解析式为y＝kx＋n，
∴，解得：，
∴直线PF的解析式为y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(1,3)，
∴点M的坐标为(0，eq \f(1,3))．
解：(1)∵点A(﹣1，0)、点B(0，3)，在抛物线上，
∴，解得：，
∴所求的抛物线解析式为y=x2+4x+3；
(2)设平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3+k．
∵它经过点(﹣5，6)，∴6=(﹣5)2+4(﹣5)+3+k．∴k=﹣2．
∴平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3﹣2=x2+4x+1．
配方，得y=(x+2)2﹣3．
∵a=1＞0，∴平移后的抛物线的最小值是﹣3．
(3)由(2)可知，BD=PQ=2，对称轴为x=﹣2．
又∵S△MBD=2S△MPQ，∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍．
设M点坐标为(m，n)．
①当M点的对称轴的左侧时，则有0﹣m=2(﹣2﹣m)．
∴m=﹣4．∴n=(﹣4)2+4(﹣4)+1=1．∴M(﹣4，1)．
②当M点在对称轴与y轴之间时，则有0﹣m=2[m﹣(﹣2)]．
∴m=﹣eq \f(4,3)．∴n=(﹣eq \f(4,3))2+(﹣eq \f(16,3))+1=﹣2eq \f(5,9)．∴M(﹣eq \f(4,3)，﹣2eq \f(5,9))．
③当M点在y轴的右侧时，则有m=2[(m﹣(﹣2)]．
∴m=﹣4＜0，不合题意，应舍去．
综合上述，得所求的M点的坐标是(﹣4，1)或(﹣eq \f(4,3)，﹣2eq \f(5,9))．
解：(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：
，解得，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，
∴D(1，﹣4)；
(2)如图．
∵B(3，0)，C(0，﹣3)，D(1，﹣4)，
∴BC2＝32＋32＝18，BC＝3eq \r(2)，
CD2＝12＋(4﹣3)2＝2，CD＝eq \r(2)，
BD2＝42＋(3﹣1)2＝20，BD＝2eq \r(5)，
∴BD2＝BC2＋CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，
∴tan∠CBD＝＝＝；
(3)∵点C关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3对称轴的对称点为E点，y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴E(2，﹣3)，
∵B(3，0)，
∴直线BE为y＝3x﹣9，
∴M(1，﹣6)，
由(2)知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，
若△CDB和△BMP相似，可分两种情况进行解析：
①∠MPB＝∠BCD＝90°时，点P在x轴上，
∵M(1，﹣6)，B(3，0)，
∴PM＝6，BP＝2，
∴，
∴＝，
∵∠MPB＝∠BCD＝90°，
∴△CDB和△PBM，
∴P(1，0)；
②∠MBP＝∠BCD＝90°时，
∵M(1，﹣6)，B(3，0)，
∴MB＝2eq \r(10)，
∵△CDB和△BPM，
∴，
∴，解得PM＝，
∴点MP的纵坐标为eq \f(20,3)﹣6＝eq \f(2,3)，
∴P(1，eq \f(2,3))．
综上所述，存在，点P的坐标为(1，0)或(1，eq \f(2,3))．
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，
∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x﹣1＋4＝﹣x2＋2x＋3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)①当y＝0时，﹣x2＋2x＋3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则A(﹣1，0)，B(3，0)，
∴1＜m＜3，
设E点的横坐标为t，
∵m﹣1＝1﹣t，
∴t＝2﹣m，
∴点E的横坐标为2﹣m；
故答案为：2﹣m；
②设F(m，﹣m2＋2m＋3)(1＜m＜3)，则E(2﹣m，﹣m2＋2m＋3)，
∵矩形EFGH为正方形，
∴FG＝FE，
即﹣m2＋2m＋3＝m﹣(2﹣m)，
整理得m2＝5，解得m1＝﹣eq \r(5)(舍去)，m2＝eq \r(5)，
∴G点坐标为(eq \r(5)，0)；
③过点D作DM⊥x轴于M，
∵EG⊥AD，
而DM⊥x轴，
∴∠1＝∠4，
∴Rt△GEH∽Rt△DAM，
∴，即
∴GH＝2EH，即2m﹣2＝2(﹣m2＋2m＋3)，
整理得m2﹣m﹣4＝0，解得m1＝(舍去)，m2＝，
∴G点坐标为(，0)；
(3)设AD交EF于Q，如图，
∵FP⊥AD，
∴∠DPF＝90°，
∵△DFP与△DAM相似
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
而FP⊥DQ，
∴△FDQ为等腰三角形，
∴FD＝FQ，
设直线AD的解析式为y＝px＋q，
把A(﹣1，0)，D(1，4)代入得
，解得，
∴直线AD的解析式为y＝2x＋2，
当y＝﹣m2＋2m＋3时，2x＋2＝﹣m2＋2m＋3，
解得x＝﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(1,2)，则Q(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(1,2)，﹣m2＋2m＋3)，
∴FQ＝m﹣(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)m2﹣eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(m＋1)(m﹣1)，
而DF2＝(m﹣1)2＋(﹣m2＋2m＋3﹣4)2＝(m﹣1)2＋(m﹣1)4，
∴(m﹣1)2＋(m﹣1)4＝[eq \f(1,2)(m＋1)(m﹣1)]2，
而m≠1，∴1＋(m﹣1)2＝eq \f(1,4)(m＋1)2
整理得3m2﹣10m＋7＝0，解得m1＝1(舍去)，m2＝eq \f(7,3)，
∴F点坐标为(eq \f(7,3)，eq \f(20,9))．
解：(1)在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，
∴A(4，0)，C(0，3)，
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线的顶点的横坐标为2，
∵顶点在BC边上，
∴抛物线顶点坐标为(2，3)，
设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2＋3，
把(0，0)坐标代入可得0＝a(0﹣2)2＋3，解得a＝﹣eq \f(3,4)，
∴抛物线解析式为y＝﹣eq \f(3,4)(x﹣2)2＋3，即y＝﹣eq \f(3,4)x2＋3x；
(2)连接PA，如图，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PO，
∴PO＋PC＝PA＋PC.
当点P与点D重合时，PA＋PC＝AC；
当点P不与点D重合时，PA＋PC＞AC；
∴当点P与点D重合时，PO＋PC的值最小，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
根据题意，得，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣eq \f(3,4)x＋3，
当x＝2时，y＝﹣eq \f(3,4)x＋3＝eq \f(3,2)，则D(2，eq \f(3,2))，
∴当PO＋PC的值最小时，点P的坐标为(2，eq \f(3,2))；
(3)存在.
当以AC为对角线时，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q(2，3)，则P(2，0)；
当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x＝6时，y＝﹣eq \f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此时Q(6，﹣9)，则点A(4，0)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C(0，3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P(2，﹣6)；
当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣eq \f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此时Q(﹣2，﹣9)，则点C(0，3)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A(4，0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P(2，﹣12)；
综上所述，P(2，0)，Q(2，3)或P(2，﹣6)，Q(6，﹣9)或P(2，﹣12)，Q(﹣2，﹣9).
解：(1)①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，
抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋4，
∵y＝﹣x2＋2x＋4＝﹣(x﹣1)2＋5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D(1，5)；
②当y＝﹣x时，﹣x2＋2x＋4＝﹣x，
整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
∵Δ＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣4)＝25＞0，
∴二次函数y＝﹣x2＋2x＋4有两个不同的“零和点”；
(2)如图，连接AC，
∵y＝ax2＋bx＋c，
∴C(0，c)，顶点D(﹣，)，
设直线CD的解析式为y＝kx＋n，
则，解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x＋c，∴E(﹣，0)，
∵A(，0)，B(，0)，
∴AE＝﹣(﹣)＝＋，
BE＝﹣(﹣)＝＋，
∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，
∴△EAC∽△ECB，
∴＝，
∴CE2＝AE•BE，
在Rt△CEO中，CE2＝OC2＋OE2＝c2＋()2＝c2＋，
∴c2＋＝(＋)(＋)，化简得：ac＝﹣1，
故ac的值为﹣1．
解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣eq \f(2,3)x2﹣x+2.
(2)当x=0时，y=﹣eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).
∵抛物线的解析式为y=﹣eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示.
∵点A，B关于直线x=﹣1对称，∴MA=MB，
∴MB+MC=MA+MC=AC，
∴此时△MBC的周长取最小值.
∵点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴AC=eq \r(13)，BC=eq \r(5)，直线AC的解析式为y=eq \f(2,3)x+2(可用待定系数法求出来).
当x=﹣1时，y=eq \f(2,3)x+2=eq \f(4,3)，
∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为(﹣1，eq \f(4,3))，△MBC的周长为eq \r(13)+eq \r(5).
(3)∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，
∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示.
当y=2时，﹣eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，
∴点Q的坐标为(﹣2，2)；
当y=﹣2时，﹣eq \f(2,3)x2﹣eq \f(4,3)x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，
∴点Q的坐标为(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).
∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
点Q的坐标为(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).
解：(1)由题意得：
，解得：．
∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形．理由：
∵点A(﹣1，0)，点B(3，0)，
∴AB＝4．
如图，当四边形ABQP为菱形时，
过点P作PC⊥x轴于点C，
令x＝0，则y＝1，
∴D(0，1)，
∴OD＝1，
令y＝0，则x＋1＝0，
∴x＝﹣1，
∴A(﹣1，0)．
∴OA＝1．
∴OA＝OD，
∴∠DAO＝45°．
∵PC⊥x轴，
∴PC＝AC．
∵四边形ABQP为菱形，
∴PA＝AB＝4．
∴PC＝AC＝PA•sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
∴P(2eq \r(2)﹣1，2eq \r(2))，Q(3＋2eq \r(2)，2eq \r(2))．
抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移2eq \r(2)个单位，再向上平移2eq \r(2)个单位；
同理，当点P在第三象限时，P(﹣2eq \r(2)﹣1，﹣2eq \r(2))，Q(3﹣2eq \r(2)，﹣2eq \r(2))，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2eq \r(2)个单位，再向下平移2eq \r(2)个单位；
如图，当四边形APBQ为菱形时，
∵OA＝OD＝1，
∴∠DAO＝45°．
∵四边形APBQ为菱形，
∴∠BAQ＝∠DAO＝45°，
∴∠PAQ＝90°，
∴四边形APBQ为正方形，
∴P(1，2)，Q(1，﹣2)．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；
如图，当四边形ABPQ为菱形时，
∵OA＝OD＝1，
∴∠DAO＝45°．
∵四边形APBQ为菱形，
∴∠PAQ＝∠DAO＝45°，
∴∠BAQ＝90°，
∴四边形ABPQ为正方形，
∴P(3，4)，Q(﹣1，4)．
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移4个单位，再向上平移4个单位．
解：(1)过点A作AM⊥BC交于M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝eq \f(3,2)﹣(﹣eq \f(1,2))＝2，
∵CD⊥x轴，D(3，0)，
∴C(3，eq \f(3,2))，
∴M(1，eq \f(3,2))，A(1，﹣eq \f(1,2))，B(﹣1，eq \f(3,2))，
设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,2)x2﹣x；
(2)(ⅰ)解：联立方程组
，解得或，
∵P在Q的左侧，
∴P(0，0)，Q(6，12)；
(ⅱ)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程组，整理得x2﹣6x﹣2m＝0，
∴x1＋x2＝6，
∴y1＝2x1＋m，y2＝2＝﹣2x1＋m＋12，
设直线PM的解析式为y＝k1x，
∴2x1＋m＝k1x1，
∴k1＝2＋，∴y＝(2＋)x，
∴直线PM与CD的交点为(3，6＋)，
设QN的解析式为y＝k2x＋b2，
∴，解得，
∴y＝(2﹣)x＋，
∴直线QN与CD的交点为(3，6＋)，
∴直线PM，QN，CD交于一点．