2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习2（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习2（含答案），共16页。
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．
如图①，抛物线y=﹣eq \f(1,8)x2+eq \f(1,2)x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
(1)求直线AD的函数解析式；
(2)如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为eq \f(5,4)eq \r(2)时，求sin∠PAD的值．
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣eq \f(3,4)x＋6与x轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC＝3．
(1)求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；
(2)将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点(点F在点E的左侧)，与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由．
抛物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)该抛物线与直线y=eq \f(3,5)x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.
①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②， 是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5，0)，C(0，4)，过C作CD∥x轴交抛物线于D，连结BC、AD两个动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点P沿着线段AB向B点运动，点Q沿着折线B→C→D的路线向D点运动，设这个两个动点运动的时间为t(秒)(0＜t＜7)，△PQB的面积记为S．
(1)求这条抛物线的函数关系式；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
(4)是否存在这样的t值，使得△PQB是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．
(1)函数y1＝﹣x＋m与y2＝﹣eq \f(2,x)是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．
(2)如图所示的是y＝|eq \f(1,2)x2＋2x|的图象，它是由二次函数y＝eq \f(1,2)x2＋2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x＋m与y2＝|eq \f(1,2)x2＋2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2，6)，C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
(3)若直线y=﹣eq \f(1,2)x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．
如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
已知二次函数y＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)(a为常数，且a≠0)．
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)若点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，比较y1与y2的大小；
(3)当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
如图，顶点为C的抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA＝OB＝2，∠AOB＝120°.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；
(3)若将(2)的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜120°)，连接E′A、E′B，求E′A＋eq \f(1,2)E′B的最小值.
\s 0 答案
解：(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入抛物线y＝﹣x2＋bx＋c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3．
(2)①当x＝0时，y＝﹣x2＋2x＋3＝3，
∴点C(0，3)，
又∵B(3，0)，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
作FK⊥y轴于点K，
又∵FH⊥BC，
∴∠KFH＝∠KHF＝45°，
∴FH＝eq \r(2)KF＝eq \r(2)OE，
∴DF＋HF＝DE﹣EF＋eq \r(2)OE＝(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＋eq \r(2)m＝﹣m2＋(3＋eq \r(2))m，
由题意有0＜m＜3，且0＜eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2)＜3，﹣1＜0，
∴当m＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2)时，DF＋HF取最大值，
DF＋HF的最大值为：﹣(eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2))2＋(3＋eq \r(2))×eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(11,4)＋eq \f(3,2)eq \r(2)；
②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，
∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠KFH＝45°，
∴∠EFH＝∠ENF＝45°，
∴EF＝EN，
∵∠KHF＝∠ONH＝45°，
∴OH＝ON，
∵y＝﹣x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，
∴MG＝1，
∵HG＝eq \r(2)MG＝eq \r(2)，
∵∠GEH＝45°，
∴∠GEH＝∠EFH，
又∠EHF＝∠GHE，
∴△EHG∽△FHE，
∴HE：HG＝HF：HE，
∴HE2＝HGHF＝eq \r(2)×eq \r(2)m＝2m，
在Rt△OEH中，
OH＝ON＝|OE﹣EN|＝|OE﹣EF|＝|m﹣(﹣m＋3)|＝|2m﹣3|，
∵OE＝m，
∴HE2＝OE2＋OH2＝m2＋(2m﹣3)2＝5m2﹣12m＋9，
∴5m2﹣12m＋9＝2m，解得：m＝1或eq \f(9,5)．
解：(1)当x=0时，y=4，则点A的坐标为(0，4)，
当y=0时，0=﹣eq \f(1,8)x2+eq \f(1,2)x+4，解得，x1=﹣4，x2=8，
则点B的坐标为(﹣4，0)，点C的坐标为(8，0)，
∴OA=OB=4，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，
∴∠BAD=90°，
∴OAD=45°，
∴∠ODA=45°，
∴OA=OD，
∴点D的坐标为(4，0)，
设直线AD的函数解析式为y=kx+b，
，得，
即直线AD的函数解析式为y=﹣x+4；
(2)作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，
设点P的坐标为(t，﹣eq \f(1,8)t2+eq \f(1,2)t+4)，则点N的坐标为(t，﹣t+4)，
∴PN=(﹣eq \f(1,8)t2+eq \f(1,2)t+4)﹣(﹣t+4)=﹣eq \f(1,8)t2+eq \f(3,2)eq \f(1,2)t，
∴PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠OAD=∠PNH=45°，
作PH⊥AD于点H，则∠PHN=90°，
∴PH==(﹣t2+t)=t=﹣(t﹣6)2+，
∴当t=6时，PH取得最大值eq \f(9,4)eq \r(2)，此时点P的坐标为(6，eq \f(5,2))，
即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是(6，eq \f(5,2))，最大距离是eq \f(9,4)eq \r(2)；
②当点P到直线AD的距离为eq \f(5,4)eq \r(2)时，如右图②所示，
则t=eq \f(5,4)eq \r(2)，解得，t1=2，t2=10，
则P1的坐标为(2，eq \f(9,2))，P2的坐标为(10，﹣eq \f(7,2))，
当P1的坐标为(2，eq \f(9,2))，则P1A=eq \f(1,2)eq \r(17)，
∴sin∠P1AD=；
当P2的坐标为(10，﹣eq \f(7,2))，则P2A=12.5，
∴sin∠P2AD=eq \f(\r(2),10)；由上可得，sin∠PAD的值是或eq \f(\r(2),10)．

解：(1)将x＝0代入y＝﹣eq \f(3,4)x＋6得y＝6，
∴点B坐标为(0，6)，
将y＝0代入y＝﹣eq \f(3,4)x＋6得0＝﹣eq \f(3,4)x＋6，解得x＝8，
∴点A坐标为(8，0)，
∵OC＝3，
∴点C坐标为(3，0)，
设抛物线解析式为y＝a(x﹣8)(x﹣3)，
将(0，6)代入y＝a(x﹣8)(x﹣3)得6＝24a，解得a＝eq \f(1,4)，
∴y＝eq \f(1,4)(x﹣8)(x﹣3)＝eq \f(1,4)x2﹣eq \f(11,4)x＋6．
(2)将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1解析式为
y＝﹣eq \f(1,4)(x＋8)(x＋3)＝﹣eq \f(1,4)x2﹣eq \f(11,4)x﹣6，
∵抛物线L经过(3，0)，(8，0)，
∴抛物线L1经过E(﹣3，0)，F(﹣8，0)，与y轴交于点M(0，﹣6)，
设直线FM解析式为y＝kx＋b，
将E(﹣3，0)，M(0，﹣6)代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y＝﹣2x﹣6，
∵抛物线经E(﹣3，0)，F(﹣8，0)，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣eq \f(11,2)，
∵抛物线对称轴为线段EF的垂直平分线，
∴QF＝QE，
∴点Q为抛物线对称轴与直线EM交点时，|QF﹣QM|＝EM的值最大，
将x＝﹣eq \f(11,2)代入y＝﹣2x﹣6得y＝﹣2×(﹣eq \f(11,2))﹣6＝5，
∴点Q坐标为(﹣eq \f(11,2)，5)时，|QF﹣QM|的最大值为EM＝3eq \r(5)．
解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋3＝0,25a＋5b＋3＝0)) ，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,5),b＝－\f(18,5)))，
∴该抛物线对应的函数解析式为y=eq \f(3,5)x2－eq \f(18,5)x＋3；
(2)∵点P是抛物线上的动点，且位于x轴下方，
∴可设点P(t，eq \f(3,5)t2－eq \f(18,5)t＋3)(1＜t＜5)，
∵PM∥y轴，分别与x轴和直线CD相交于点M、N，
∴M(t，0)，N(t，eq \f(3,5)t＋3)．
①∵点C，D是直线与抛物线的交点，
∴令eq \f(3,5)x2－eq \f(18,5)x＋3=eq \f(3,5)x＋3，解得x1=0，x2=7.
当x=0时，y=eq \f(3,5)x＋3=3，当x=7时，y=eq \f(3,5)x＋3=eq \f(36,5).
∴点C(0，3)，D(7，eq \f(36,5))．
如图，分别过点C和点D作直线PN的垂线，垂足分别为E，F，
则CE=t，DF=7－t，SΔPCD=SΔPCN＋SΔPDN=eq \f(1,2)PN·CE＋eq \f(1,2)PN·DF=eq \f(1,2)PN(CE＋DF)=eq \f(7,2)PN，
当PN最大时，△PCD的面积最大．
∵PN=eq \f(3,5)t＋3－(eq \f(3,5)t2－eq \f(18,5)t＋3)=－eq \f(3,5)(t－eq \f(7,2))2＋eq \f(147,20)，
∴当t=eq \f(7,2)时，PN取最大值为eq \f(147,20)，此时△PCD的面积最大，最大值为eq \f(1,2)×7×eq \f(147,20)=eq \f(1029,40)；
②存在.
∵∠CQN=∠PMB=90°，∴当eq \f(NQ,CQ)=eq \f(PM,BM)或eq \f(NQ,CQ)=eq \f(BM,PM)时，△CNQ与△PBM相似．
∵CQ⊥PM，垂足为点Q，∴Q(t，3)．
且C(0，3)，N(t，eq \f(3,5)t＋3)，
∴CQ=t，NQ=(eq \f(3,5)t＋3)－3=eq \f(3,5)t.∴eq \f(NQ,CQ)=eq \f(3,5).
∵P(t，eq \f(3,5)t2－eq \f(18,5)t＋3)，M(t，0)，B(5，0)．
∴BM=5－t，PM=－eq \f(3,5)t2＋eq \f(18,5)t－3.
情况1：当eq \f(NQ,CQ)=eq \f(PM,BM)时，PM=eq \f(3,5)BM，即－eq \f(3,5)t2＋eq \f(18,5)t－3=eq \f(3,5)(5－t)，解得
t1=2，t2=5(舍去)，此时，P(2，－eq \f(9,5))；
情况2：当eq \f(NQ,CQ)=eq \f(BM,PM)时，BM=eq \f(3,5)PM，即5－t=eq \f(3,5)(－eq \f(3,5)t2＋eq \f(18,5)t－3)，
解得t1=eq \f(34,9)，t2=5(舍去)．此时，P(eq \f(34,9)，－eq \f(55,27))．
综上所述，存在点P(2，－eq \f(9,5))或者P(eq \f(34,9)，－eq \f(55,27))，使得△CNQ与△PBM相似．
解：(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(5，0)，B(﹣3，0)，
∴设y=a(x+3)(x﹣5)，
∴4=a(0+3)(0﹣5)，解得：a=﹣eq \f(4,15)，
∴抛物线解析式为y=﹣eq \f(4,15)(x+3)(x﹣5)=﹣eq \f(4,15)x2+eq \f(8,15)x+4；
(2)①∵C(0，4)，抛物线对称轴为：x=1，∴D(2，4)，
(i)当0＜t≤5时，QB=t，PB=8﹣t，
如图所示：过点Q作QF⊥x轴于F，则QF=0.8t，
∴S=eq \f(1,2)PB×QF=eq \f(1,2)(8﹣t)×eq \f(4,5)t=﹣eq \f(2,5)t2+eq \f(17,5)t；
(ii)当5≤t＜7时，Q点的纵坐标为4，PB=8﹣t，S=eq \f(1,2)(8﹣t)×4=﹣2t+16；
(3)(i)当0＜t≤5时，S=﹣eq \f(2,5)t2+eq \f(17,5)t=﹣eq \f(2,5)(t﹣4)2+eq \f(17,5)，
∵﹣0.4＜0，∴当t=4时，S有最大值，为3.2，
(ii)当5≤t＜7时，S=﹣2t+16，
∵﹣2＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t=5时，S最大=6，
综合(i)(ii)，当t=4时，S有最大值，最大值为3.2；
(4)存在，t=3或t=5时，△PQB是直角三角形；
当点Q在线段BC上(不与C重合)时，要使得△PQB是直角三角形，必须使得∠PQB=90°，这时，∠CBO=∠PBQ，∠BQP=∠OC，∴△BOC∽△BQP，
∴=，即=，解得：t=3，当点Q与C重合时，符合要求，
∵BO=3，CO=4，
∴BC=5，
∴Q点从A到需要5秒，即此时t=5秒．

解：(1)由y1＝y2得﹣x＋m=﹣eq \f(2,x)，整理得x2﹣mx﹣2＝0，Δ＝m2＋8＞0，
∴y1＝﹣x＋m与y2＝﹣eq \f(2,x)是互为“凤凰函数”，
当m＝1时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴x1＝﹣1，x2＝2是y1＝﹣x＋m与y2＝﹣eq \f(2,x)的“凤凰根”．
(2)如图：y1＝﹣x＋m与y2＝|eq \f(1,2)x2＋2x|有两个的“凤凰根”，
则直线在l1和l2之间平移(不含两条直线)或在直线l3的右侧平移．
解方程|eq \f(1,2)x2＋2x|=0，得x1＝﹣4，x2＝0，
故y与x轴交点P和交点O的坐标分别为(﹣4，0)和(0，0)．
将(﹣4，0)和(0，0)代入y1＝﹣x＋m，得m＝﹣4和m＝0．
故当﹣4＜m＜0时，y1与y2有两个的“凤凰根”；
当y1＝﹣x＋m与y2＝﹣eq \f(1,2)x2﹣2x相切时，
联立可得方程﹣x＋m＝﹣eq \f(1,2)x2﹣2x，
整理，得﹣eq \f(1,2)x2＋x＋m=0，∴m=eq \f(1,2)．
当y1＝﹣x＋m在直线l3的右侧平移，即m>eq \f(1,2)时，y1与y2有两个“凤凰根”．
综上所述，当﹣4＜m＜0或m>eq \f(1,2)时，y1与y2互为“凤凰根”，且有两个“凤凰根”．
解：(1)由题意得
解得，
∴抛物线解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣x+2．
(2)∵y=eq \f(1,2)x2﹣x+2=eq \f(1,2)(x﹣1)2+eq \f(3,2)．
∴顶点坐标(1，1.5)，
∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H(1，3)，
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×3+eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×1=3．
(3)由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4(4﹣2b)=0，
∴b=eq \f(15,8)，
当直线y=﹣eq \f(1,2)x+b经过点C时，b=3，
当直线y=﹣eq \f(1,2)x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=﹣eq \f(1,2)x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，
∴eq \f(15,8)＜b≤3．
解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y=x2﹣4x+3；
(2)①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB=PE=2，则点P坐标为(4，3)，
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P(4，3)或(0，3)；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为(2，0)
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：=2，解得：m=2，故点P(2，﹣1)；
故：点P(4，3)或(0，3)或(2，﹣1)；
(3)直线BC的表达式为：y=﹣x+3，
设点E坐标为(x，x2﹣4x+3)，则点D(x，﹣x+3)，
S四边形AEBD=eq \f(1,2)AB(yD﹣yE)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x=eq \f(3,2)，其最大值为eq \f(9,4)，此时点E(eq \f(3,2)，﹣eq \f(3,4))．
解：(1)证明：令y＝0，即a(x﹣1)(x﹣1﹣a)＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1＋a，
∵1≠1＋a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)∵点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，
∴y1＝a2＋a，y2＝﹣2a2＋4a．
∴y1﹣y2＝a2＋a＋2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，
当a＝1时，y1＝y2，
当0＜a＜1时，y1＜y2；
(3)∵二次函数v＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)，
整理可得：y＝ax2﹣a(a＋2)x＋a(a＋1)，
由(1)可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1＋a，
∴二次函数的图象交轴于(﹣1，0)和(1＋a，0)两点，
对称轴x＝，当x＝时，
y＝a(﹣1)(﹣1﹣a)＝a××(﹣)＝﹣
∴二次函数图象的顶点坐标为(，﹣)，
由(2)可知：当x＝0时，y1＝a2＋a，
当t＝3时，y2＝﹣2a2＋4a，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
∵0＜x＜3，
∴，解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵对称轴x＝，
当0＜＜3，即_2＜a＜0时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
∴﹣＜2解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，当≤0，即a≤﹣2，
由题意可知，a2＋a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
解：(1)过点A作AH⊥x轴于点H，
∵AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，
∴∠AOH＝60°，
∴OH＝1，AH＝eq \r(3)，
∴A点坐标为：(﹣1，eq \r(3))，B点坐标为：(2，0)，
将两点代入y＝ax2＋bx得：
，解得：a＝，
∴抛物线的表达式为：y＝eq \f(\r(3),3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)x；
(2)如图，∵C(1，﹣eq \f(\r(3),3))，∴tan∠EOC＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠EOC＝30°，
∴∠POC＝90°＋30°＝120°，
∵∠AOE＝120°，
∴∠AOE＝∠POC＝120°，
∵OA＝2OE，OC＝eq \f(2\r(3),3)，
∴当OP＝eq \f(1,2)OC或OP′＝2OC时，△POC与△AOE相似，
∴OP＝eq \f(\r(3),3)，OP′＝eq \f(4\r(3),3)，
∴点P坐标为(0，eq \f(\r(3),3))或(0，eq \f(4\r(3),3)).
(3)如图，取Q(eq \f(1,2)，0).连接AQ，QE′.
∵＝＝，∠QOE′＝∠BOE′，
∴△OE′Q∽△OBE′，
∴＝＝，
∴E′Q＝eq \f(1,2)BE′，
∴AE′＋eq \f(1,2)BE′＝AE′＋QE′，
∵AE′＋E′Q≥AQ，
∴E′A＋eq \f(1,2)E′B的最小值就是线段AQ的长，最小值为＝.