重难点突破10 圆锥曲线中的向量与共线问题（五大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176601304" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176601304 \h 2
\l "_Tc176601305" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176601305 \h 2
\l "_Tc176601306" 题型一：向量的单共线 PAGEREF _Tc176601306 \h 2
\l "_Tc176601307" 题型二：向量的双共线 PAGEREF _Tc176601307 \h 4
\l "_Tc176601308" 题型三：三点共线问题 PAGEREF _Tc176601308 \h 6
\l "_Tc176601309" 题型四：向量中的数量积问题 PAGEREF _Tc176601309 \h 8
\l "_Tc176601310" 题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量 PAGEREF _Tc176601310 \h 10
\l "_Tc176601311" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176601311 \h 11
首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
题型一：向量的单共线
【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，.
(1)求C的方程；
(2)已知异于F的动点P，使得.
（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：
（ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值.
【典例1-2】（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.
【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.
【变式1-2】设直线l：与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
(1)证明：；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．
【变式1-3】已知点，椭圆上的两点．满足，则当为何值时，点横坐标的绝对值最大？
【变式1-4】在直角坐标系中，已知．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值．
题型二：向量的双共线
【典例2-1】如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.
【典例2-2】已知椭圆的方程为，分别是的左、右焦点，A是的上顶点.
(1)设直线与椭圆的另一个交点为，求的周长；
(2)给定点，直线分别与椭圆交于另一点，求的面积；
(3)设是椭圆上的一点，是轴上一点，若点满足，，且点在椭圆上，求的最大值，并求出此时点的坐标.
【变式2-1】已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【变式2-2】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；
(3)设，，求的取值范围.
【变式2-3】（2024·辽宁·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：为定值；
题型三：三点共线问题
【典例3-1】（2024·高三·山东威海·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.
(1)求的标准方程；
(2)直线交直线于点，证明：，，三点共线.
【典例3-2】（2024·高三·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
【变式3-1】（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
【变式3-2】已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
【变式3-3】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆C：的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为，过点的直线l与椭圆C交于两点，A关于x轴对称的点为M，证明：三点共线.
【变式3-4】（2024·上海松江·一模）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；
题型四：向量中的数量积问题
【典例4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，线段的中点分别为，．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求．
【典例4-2】（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长交椭圆于，若，求直线的方程.
【变式4-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；
(1)求的离心率；
(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；
(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【变式4-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式4-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
【变式4-4】已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点．
(1)若，求的值；
(2)若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点，使得为定值，证明：点在定直线上．
【变式4-5】（2024·高三·山东·开学考试）已知椭圆，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点．
(1)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(2)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
【典例5-1】如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于，证明：为定值.
【典例5-2】如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
【变式5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，过点不与轴重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：线段的中点在直线上；
(3)过点作轴的平行线，与直线的交点为，证明：点在以线段为直径的圆上．
2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究直线与的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
3．已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
5．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．

6．（2024·吉林长春·一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
7．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
8．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线的左顶点为，直线与的一条渐近线平行，且与交于点，直线的斜率为．
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，问：是否存在满足的点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
9．如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;
10．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
11．已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
12．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率.
13．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
14．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上．
15．（2024·高三·山东临沂·期末）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
16．在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线．
(1)求的顶点C的轨迹方程；
(2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围．
17．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.
(1)若，试求直线的斜率;
(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值.