重难点突破02 向量中的隐圆问题（五大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc171861061" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc171861061 \h 2
\l "_Tc171861062" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc171861062 \h 3
\l "_Tc171861063" 题型一：数量积隐圆 PAGEREF _Tc171861063 \h 3
\l "_Tc171861064" 题型二：平方和隐圆 PAGEREF _Tc171861064 \h 3
\l "_Tc171861065" 题型三：定幂方和隐圆 PAGEREF _Tc171861065 \h 4
\l "_Tc171861066" 题型四：与向量模相关构成隐圆 PAGEREF _Tc171861066 \h 4
\l "_Tc171861067" 题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆） PAGEREF _Tc171861067 \h 5
\l "_Tc171861068" 03 过关测试 PAGEREF _Tc171861068 \h 6
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型：
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：
．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
技巧五．阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
题型一：数量积隐圆
【典例1-1】已知平面向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量，，满足，若，则的最小值为
A．B．C．D．0
【变式1-1】设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．
题型二：平方和隐圆
【典例2-1】已知是单位向量，满足，则的最大值为________．
【典例2-2】已知平面向量、满足，，设，则________.
【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：定幂方和隐圆
【典例3-1】已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.
【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A．B．C．D．
【变式3-2】已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
题型四：与向量模相关构成隐圆
【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 .
【变式4-2】已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．
【变式4-3】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）
【典例5-1】已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】已知平面向量，，满足：，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
1．已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )
A．B．
C．D．2
3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
5．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（ ）
A．B．C．4D．
9．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．2
11．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
12．已知是平面中的三个单位向量，且，则的最小值是 .
13．在平面内，已知非零向量与单位向量的夹角为，若向量满足，则的最小值为 .
14．（2024·高三·浙江·开学考试）平面中存在三个向量，，，若，，且，且满足，则的最小值 ．
15．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 .
16．已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 .
17．已知为单位向量，且，则的最小值为 .
18．设向量满足，与的夹角为，则的最大值为
19．设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 .
20．已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
21．已知向量，，满足，，，，则的取值范围为 .
22．已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为 .
23．在平面内，若有，，，则的最大值为 .