重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

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重难点突破01 奔驰定理与四心问题
目录


技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．

技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．

题型一：奔驰定理
例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.
设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.
故选：A.

例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，∵，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点，
∴．比值为．
故选：C．

例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是所在平面内一点，连接，，延长至使，
∵，∴，
连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等，
由于，所以，又，所以，
在平行四边形中，，则与的面积比为，
故选：C.

变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，

则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B
变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）
  
A．若，则O为△ABC的重心
B．若，则
C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】对于A：如下图所示，

  
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由四边形内角和可知，，则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，同理得，，
则，
令，
由，则，
同理：，，
综上，，
根据奔驰定理得，即C正确.
对于D：由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即D错误；
故选：D.
  
变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）

A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
【答案】BCD
【解析】对选项A：，则，错误；
对选项B：，，
故，，正确；
对选项C：，即，故，
同理可得，，故为的垂心，正确；
对选项D：，故，设内接圆半径为，
，，，即，
即，，正确.
故选：BCD
变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）

A．若，则
B．，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的重心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；
对于B选项，由 ，，可知，
又，所以，
由可得，，，
所以，B错；
对于C选项，若为的内心，，则，
又（为内切圆半径），
所以，，故，C对；
对于D选项，如下图所示，

因为为的重心，延长交于点，则为的中点，
所以，，，且，，
所以，，由“奔驰定理”可得，D对.
故选：ACD.
题型二：重心定理
例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______．
①   ②
③     ④
【答案】①③④
【解析】对于①，重心为G，有，
故，故①正确；
对于②，外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别是AB、AC的中点，有，
∴，故②错误；

对于③，由欧拉线定理得，即，又有，
故，即，故③正确；
对于④，由得，故，
所以，故④正确.
故答案为：①③④.
例5．（2023·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，因为动点满足，
，
则点是的重心，故①正确；
对于②，因为动点满足，
，
又在的平分线上，
与的平分线所在向量共线，
所以的内心在满足条件的点集合中，②正确；
对于③，动点满足，
，，
过点作，垂足为，则，
，向量与边的中线共线，
因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；
对于④，动点满足，
，
，
，
所以的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；
对于⑤，动点满足，
设，
则，
由④知，
，
，
点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；
所以的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．
【答案】
【解析】在中，取中点，连接，
由重心的性质可得为的三等分点，且，
又为的中点，所以，
所以，所以.
故答案为：

变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______．
（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．
（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____．
【答案】
【解析】（1）由题意得：如图
过O作，垂足为，则是的中点
，，
又，


（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分
，


（3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分
，



故答案为：（1）（2）（3）
变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在中，，，，若是的重心，则______.
【答案】7
【解析】如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
设，
∵，，∴，
∵，解得，∴
∵是的重心，延长交于点，则为中点，所以,
∴，,
∴.
故答案为：7

  
变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．
【答案】，
【解析】由题意，，

又，则，
所以，即，
由，，，
所以,，
由为锐角三角形及上式，则，即，可得，
所以在上递减，在上递增，则.
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.
【答案】
【解析】如图，因为O是重心，所以，即，
因为，所以，
所以，
又，则，所以
因为P，O，Q三点共线，所以，
所以，解得.
故答案为：

变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】根据题意，连接，作图如下：

，
在三角形中，因为为其重心，故可得
结合已知条件可得：，
因为三点共线，故可得，即，
由题设可知，，
又，得，
故，令，可得，，
则，又在单调递减，单调递增，
当时，，当时，，当时，，
故.
故答案为：.
题型三：内心定理
例7．（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，又，，
所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，
所以为以为斜边的直角三角形，
设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为，
由直角三角形的内切圆的性质可得，故，
因为，所以，
因为，所以，所以
所以.
故答案为：.

例8．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
【答案】
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为是三角形的内心，设三角形内切圆半径为，
则，解得.
所以，.
依题意点在三角形的内部（不含边界）.
因为，
所以，
所以，
令，
则，
由图可知，当过时，.
当，过，即为直线时，.
所以的取值范围时.
故答案为：

例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设为的内心，，，，则为________．
【答案】
【解析】因为，所以取BC中点为O，连接AO，
则，且的内心在AO上，IO即为的内切圆半径，
又，所以AO，
因为，即，
所以，，

以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，则，，，则，，，
因为，即，
所以解得，所以，
故答案为：.
变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点是的内心，若，则______.
【答案】
【解析】因为，即，
取中点，连接，则，故，故点共线，
又，故，且，所以.
故答案为：.

变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心.
【答案】内
【解析】，，

，
，
，分别是，方向上的单位向量，
向量平分，即平分，同理平分，
为的内心，
故答案为：内
变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】

由椭圆可得，，
如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，
，分别为的重心和内心．
则，，，
所以，
所以


故选：D
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形和三角形中，由正弦定理得：
，
由于，所以，，
同理可得，，
.
所以
，
则.
故选：C

变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点
设，则，则
设
∵三点共线，则，即

即
故选：D．

变式16．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内，给出下列关系式：
（1）；      
（2）；
（3）；
（4）．
则点依次为的（     ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
【答案】C
【解析】（1）显然得出为的重心；
（2），同理，所以为的垂心；
（3）OA,OB分别是的角平分线，所以为的内心；
（4）（M是AB中点）同理（N是BC中点），所以为的外心.
故选：.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：
①；
②；
③；
④；
则点分别为的（   ）
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】D
【解析】先考虑直角，可令，，，
可得，，，设，

①，即为，
即有，，解得，
即有到，轴的距离为1，在的平分线上，且到的距离也为1，
则为的内心；
③，
即为，
可得，，解得，，
由，故为的外心；
④，可得，
即为，，解得，，
由的中点为，，，即分中线比为，
故为的重心；

考虑等腰，底角为，
设，，，，
②，
即为，
可得，，解得，，
即，由，，即有，
故为的垂心．
故选：D
题型四：外心定理
例10．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为______．
①；②；③．
【答案】①③
【解析】由题意可知：．
①，则，两边同时平方得到：
，解得：，故①正确．
②，则，，
两边再平方得到：．所以|，所以②不正确．
③，，两边平方得到：
，，，
同理可得：，，，．
故，，且，，
，即．故③正确．
故答案为：①③
例11．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．
【答案】/-3.5
【解析】如图：分别为的中点，则





故答案为：.

例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知是的外心，若，且，则实数的最大值为______．
【答案】/
【解析】设三角形的外接圆的半径为，
，
根据向量数量积的几何定义可得：
，即，，
又，根据正弦定理可得，，，
，当且仅当时，
即为等边三角形时取等号，
，，实数的最大值为．
故答案为：
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设O为的外心，若，，则___________.
【答案】
【解析】如图，

设D､E分别为的中点，则，
所以
,
故答案为：-2    .
变式19．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．
【答案】.
【解析】如图，

分别取，的中点，，连接，，
则；，
因为，
设的外接圆半径为，由正弦定理可得，
所以两边同时点乘可得,
即,
所以，
所以,
所以，
所以，即，
所以.
故答案为：.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______．
【答案】
【解析】三点共线，可设，
，，即，，
，即，，；
，，
为的外心，，
，
整理可得：，    
，解得：（舍）或；
，
.
故答案为：.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.
【答案】/
【解析】在中，，，点是的外心，又，所以是等腰直角三角形，所以是三角形的斜边中点，所以．
故答案为：．
变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】设中点为，所以，

所以，
即，所以，
又由为中点可得点在的垂直平分线上，
所以点是的外心，
故选：B
题型五：垂心定理
例13．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则是的（    ）
A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）
【答案】C
【解析】在中，为外心，可得，
∵，
∴，
设的中点为，则，，
∴，可得在边的高线上．
同理可证，在边的高线上，
故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，
故选：C

例14．（2023·全国·高三专题练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则______.
【答案】/
【解析】因为，
所以，同理，

由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
故答案为：.
例15．（2023·北京·高三强基计划）已知H是的垂心，，则的最大内角的正弦值是_________．
【答案】
【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有，
设分别为，
根据三角恒等式，
可得，
因此的最大内角的正切值为，因此最大内角的正弦值为．
法2：因为H是的垂心，故，
设，
则，故，
同理，，，
而，
故，
同理，，，
因为，故最大，故.
故答案为：
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则_____．
【答案】
【解析】∵H是的垂心，
∴，，
∴，同理可得，，
故，
∵，
∴，
∴，同理可求得，
∴，，
∴，即.
故答案为：．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
【答案】8
【解析】，
，
因为H为垂心，
所以，，
设，外接圆的半径为，
由余弦定理得，
，
，
同理，
，
，
所以，
，
，
，
，
，
所以8，
故答案为：8
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.
【答案】
【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.

故答案为：.