重难点突破12 双切线问题的探究（七大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc176607706" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176607706 \h 2
\l "_Tc176607707" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176607707 \h 2
\l "_Tc176607708" 题型一：定值问题 PAGEREF _Tc176607708 \h 2
\l "_Tc176607709" 题型二：斜率问题 PAGEREF _Tc176607709 \h 3
\l "_Tc176607710" 题型三：交点弦过定点问题 PAGEREF _Tc176607710 \h 4
\l "_Tc176607711" 题型四：交点弦定值问题 PAGEREF _Tc176607711 \h 6
\l "_Tc176607712" 题型五：交点弦最值问题 PAGEREF _Tc176607712 \h 7
\l "_Tc176607713" 题型六：交点弦范围问题 PAGEREF _Tc176607713 \h 8
\l "_Tc176607714" 题型七：“筷子夹汤圆”问题 PAGEREF _Tc176607714 \h 10
\l "_Tc176607715" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176607715 \h 12
双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点设出切线方程．
②和曲线方程联立，求出判别式．
③整理出关于双切线斜率的同构方程．
④写出关于的韦达定理，并解题．
题型一：定值问题
【典例1-1】已知直线与抛物线：交于，两点．是线段的中点，点在直线上，且垂直于轴．
(1)求证：的中点在上；
(2)设点在抛物线：上，，是的两条切线，，是切点．若，且位于轴两侧，求证：．
【典例1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的一条准线的方程为，点分别为椭圆的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求的标准方程；
(2)过上任一点作的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值．
【变式1-1】（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的离心率为，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为，过点作椭圆的两条切线，切点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求所在直线的方程；
(3)过点作直线交椭圆于两点，交直线于点，求的值.
题型二：斜率问题
【典例2-1】如图，点为抛物线外任意一点，过点作抛物线两条切线分别切于两点，的中点为，直线交抛物线于点．
(1)证明：（为直线在轴上的截距），且直线方程为；
(2)设点处的切线，求证．
【典例2-2】已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【变式2-1】（2024·高三·浙江·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为2，，为双曲线的上、下焦点，双曲线在点处的切线与圆：（）交于A，B两点.
(1)求的面积；
(2)点为圆上一动点，过能作双曲线的两条切线，设切点分别为，，记直线和的斜率分别为，，求证：为定值.
【变式2-2】在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程.
题型三：交点弦过定点问题
【典例3-1】在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值.
【典例3-2】（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
【变式3-1】已知抛物线，直线与交于，两点，且．
(1)求的值；
(2)过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点；
(3)直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值．
【变式3-2】已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点.
①证明：直线过定点；
②求面积的最大值.
题型四：交点弦定值问题
【典例4-1】（2024·河北·三模）已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值．
【典例4-2】（2024·江苏·一模）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由.
【变式4-1】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【变式4-2】如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.
题型五：交点弦最值问题
【典例5-1】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点.
(1)证明：点P在一条定直线上；
(2)求的面积最小值．
【典例5-2】已知抛物线，动圆，为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
(1)若求的最小值；
(2)若过圆心作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若线段的中点为，连交抛物线于点，记的面积为，求的表达式及其最小值.
【变式5-1】（2024·山东临沂·一模）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
题型六：交点弦范围问题
【典例6-1】设抛物线的焦点为F,Q为上一点．已知点的纵坐标为，且点到焦点的距离是．点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，记两切线的斜率分别为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点的坐标为，求值；
(3)设直线与轴分别交于点，求的取值范围．
【典例6-2】如图，设抛物线的焦点为F，点P是半椭圆上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴于点M、N．
（1）证明：；
（2）求的取值范围．
【变式6-1】已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
（i）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别为.求证：；
（ii）求的取值范围.
【变式6-2】（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为，求四边形面积的取值范围．
题型七：“筷子夹汤圆”问题
【典例7-1】（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过直线上任一点作该直线的垂线，，线段的中垂线与直线交于点．
(1)当在直线上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)过向圆引两条切线，与轨迹的另一个交点分别
①判断：直线与圆的位置关系，并说明理由；
②求周长的最小值．
【典例7-2】（2024·河南·三模）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为，过上一点引圆的两条切线（切线斜率均存在且不为0），分别交于点（异于）.
(1)求直线与的斜率之积的值；
(2)记为坐标原点，试判断三点是否共线，并说明理由.
【变式7-1】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）.
(1)若为圆上的动点，求线段长度的最小值；
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究直线与的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
【变式7-3】已知A，B为抛物线C：y2=2pxp>0上的两点，△OAB是边长为的等边三角形，其中O为坐标原点．
(1)求C的方程．
(2)过C的焦点F作圆M：的两条切线，．
（i）证明：，的斜率之积为定值．
（ii）若，与C分别交于点D，E和H，G，求的最小值．
1．已知点，分别为椭圆：（）的左、右顶点，点，直线交于点，，且是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线．记、、的斜率分别为、、，求证：．
2．（2024·全国·二模）如图，过点的动直线交抛物线于两点.
(1)若，求的方程；
(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.
3．已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
4．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为是椭圆在第一象限上的点，满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上的一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，证明：.
5．已知圆，直线．
(1)若直线l与圆O相切，求m的值；
(2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程．
6．（2024·湖南·一模）已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．
7．左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
8．（2024·高三·西藏林芝·期末）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和上顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线上是否存在一点，过点作椭圆的两条切线分别切于点与点，点在以为直径的圆上，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.
(1)求圆和抛物线的方程；
(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．
10．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
11．已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点.
12．已知椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于、），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，证明直线经过定点，并求出定点的坐标．
13．已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为．
(1)求抛物线的方程．
(2)证明直线过定点，并且求出定点坐标．
14．已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点．
15．已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，右准线为直线，圆．
(1)若点A在圆上，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2)若直线上存在点，使为等腰三角形，求椭圆的离心率的取值范围；
(3)若点在（1）中的椭圆上，且过点可作圆的两条切线，切点分别为，求弦长的取值范围．
16．已知⊙C：（C为圆心）内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于M，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若点M的轨迹为曲线X，设为圆上任意一点，过作曲线X的两条切线，切点分别为，判断是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.
17．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知抛物线上任意一点满足的最小值为（为焦点）.
(1)求的方程；
(2)过点的直线经过点且与物线交于两点，求证：；
(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明.
18．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
19．已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线对称，与x轴相切，被直线截得的弦长为．若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B点．
(1)求四边形面积的最小值：
(2)求直线过定点的坐标．