重难点突破08 利用导数解决一类整数问题（四大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc169251853" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169251853 \h 2
\l "_Tc169251854" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169251854 \h 2
\l "_Tc169251855" 题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 PAGEREF _Tc169251855 \h 2
\l "_Tc169251856" 题型二：整数解问题之直接限制法 PAGEREF _Tc169251856 \h 9
\l "_Tc169251857" 题型三：整数解问题之虚设零点 PAGEREF _Tc169251857 \h 14
\l "_Tc169251858" 题型四：整数解问题之必要性探路 PAGEREF _Tc169251858 \h 18
\l "_Tc169251859" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169251859 \h 24
利用导数解决一类整数问题常见技巧有：
1、分离参数、分离函数、半分离
2、直接限制法
3、虚设零点
4、必要性探路
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】原不等式等价于，设，，
则，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又，时，，
因此与的图象如图，
当时，显然不满足题意；
当时，当且仅当，或.
由第一个不等式组，得，即，
由第二个不等式组，得，该不等式组无解.
综上所述，.
故选：A.
【典例1-2】若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，得有两个实根，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数取得极大值，且，
又时，；时，；当时，，，
作出函数的大致图象，如图所示：
直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，
由题意知，又，，
因为存在唯一的整数，所以，
又直线与的图象有两个交点，
由图可知：，即.
故选：C.
【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
即的解集中有且仅有两个大于2的整数，
构造函数，
即的解集中有且仅有两个大于2的整数，
当时，对于，，
即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.
所以.
.
若，即，
设，
，
设，
，
在上递减，且，
所以当时，，递减，
由于，
所以当时，，
所以当时，递减，
所以，
所以当时，恒成立，
即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.
所以，即，
解得，所以的取值范围是.
故选：D
【变式1-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
作出的函数图象如图所示：
由仅有一个整数解，
得只有一个整数解，
设，由图象可知：
当时，在上恒成立，不符合题意，
当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，
所以，即，解得．
故选：D．
【变式1-3】若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，且，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且，
由题意可得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.
【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】令，得.
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
如图，分别作出函数与的图象，
其中直线恒过定点.
由图可知，，，
存在唯一的整数，使得，则需，
故实数a的取值范围是，
其中，，
而，，
故选：AC.
【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数存在唯一的整数，使得，
设与,
即存在唯一的整数，使得在直线上方,
，当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减，,，
若要存在唯一的整数，使得在直线上方，
则或，代入得或，
解得,
故答案为：.
题型二：整数解问题之直接限制法
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为 ．
【答案】
【解析】恒成立，
等价于.
令，，则，
注意到时，，，时，.
则在上单调递减，在上单调递增，则.
则，则
.
令，.
当，，故满足条件；
当，则在上单调递减，
故.
令，.
则，得在上单调递增，
时，，不合题意；
综上，整数x的最大值为.
故答案为：.
【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）
【解析】由可知，，
又在上有最小值，
所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以，解得，
又因为，所以.
故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.
【变式2-1】（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】不等式可整理为，
当时，成立，所以其它两个整数解大于1，
当时，原不等式可整理为，
令，则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
又，所以，所以在上单调递增，
所以不等式的两个整数解只能是2,3，
所以不等式的三个整数解为1,2,3，
则，解得，
因为，，，
所以整数.
故选：B.
【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为 ．
【答案】，，，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为，因为，所以切线方程为．
因为切线经过点，所以，
由题意关于的方程没有实数解，
则，解得．
因为为整数，所以的取值可能是，，.
故答案为：，，，只需写出一个答案即可
【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过原点．
(1)求的值；
(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．
【解析】（1）易知的定义域为，
又，
的图象在处的切线方程为，
将代入，得；
（2）．
当时，取得最小值，．
由（1）知，．
，得的定义域为．
则，
易知单调递增，
又．
即在上有唯一解，故．
于是当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
在处取得极小值也是最小值．
则，
对总，使成立，
只需，得．
故整数的最大值为．
【变式2-4】已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【解析】（1）当时，，
，
令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，
所以，
所以，
而，
所以.
（2）令.
则.
当时，因为，所以，所以在上单调递增，
又因为.
所以关于的不等式不能恒成立；
当时，.
令，得，所以当时，；
当时，.
因此函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数的最大值为.
令，
因为，
又因为在上单调递减，所以当时，.
所以整数的最小值为3.
【变式2-5】（2024·江西·模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【解析】（1）若时，在区间上单调递减，
所以.
若，则二次函数图象对称轴，
当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以.
当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，
.
若，对称轴在区间上单调递减，
综上，.
（2）因为恒成立，
即恒成立，
令,
所以,
当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数.
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，,
令得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为.
又因为在上是减函数，所以当时，,
即关于的不等式恒成立，
所以整数的最小值为2.
题型三：整数解问题之虚设零点
【典例3-1】已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．
【解析】（1）若，则，，则切点坐标为，
，则切线斜率，
所以切线方程为，即．
（2）由，得，
当时，，；
当时，，
设，，
设，，
则在单调递增，
，，所以存在使得，即．
时，，即；时，，即，
则有在单调递减，在单调递增，，
所以，
因为，所以，所以整数a的最大值为4．
【典例3-2】（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由，即，得，
设，则，
显然是上的增函数.因为，
所以存在，使得，即；
当时，，当时，0，
则；
令，则，当时，，在上单调递减，
因为，所以，则，又为整数，所以.
故选：A
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】由题意得，在上恒成立，
设，，所以，
因为，
令，，则，所以在上单调递增，
因为，，所以在上仅有一个实数根，设为，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以.
因为，，所以，
将代入可得，
令，，则，
所以在上单调递增，又，，
所以，
当时，不成立，
又，则整数的最大值为.
故选：B.
【变式3-2】（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 .
【答案】
【解析】依题意对任意，且有，
因为存在使得不等式成立，
所以存在使得，即，
令，，
则，
令，，则在上单调递增，
且，，
所以使得，即，，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，
所以，
依题意，又为整数，所以，所以的最大值为.
故答案为：
【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
【解析】（1）当时，，
因为 ，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题意，知对任意恒成立，
可知对任意恒成立．
设函数，只需．
对函数求导，得．
设函数，对函数求导，得，
所以函数在上单调递增．
又，
所以存在，使，即，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
所以．又，所以，
所以整数的最大值为2．
题型四：整数解问题之必要性探路
【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．
（参考数据：，，，，）
【解析】（1）依题意，方程在内有根，且，
令，，求导得，
当时，在，上都递增，而，因此函数在、无零点，
当时，令，，，则函数在，上都递增，
当时，当时，，函数在上递增，无零点，
当时，，则存在，使得，即，
当时，递减，在时，递增，
，而，有，
，
因此存在，使得，即函数在上有零点，则，
当时，当时，，函数在上递减，，无零点，
当时，，则存在，使得，即，
当时，递减，在时，递增，，
，令，求导得，
令，则，即函数在上单调递增，
，函数在上单调递增，
因此存在，使得，即函数在上有零点，则，
所以实数的取值范围是.
（2）依题意，，于是，即
因为，取，有，因此取2，
下证：对任意成立，令，
，当时，递增，当时，递减，
，即对恒成立，当时，，
令，，函数在上递增，，
即，从而成立，
当时，只需证：成立，
令，，只需证，
，令，
，显然在上递增，
，，即存在，使，
且当时，递减，当时，递增，
，整理得，
因为函数在递减，
所以，
所以在恒成立，即在递增，
显然，所以成立.
【典例4-2】已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是 .
【答案】1
【解析】通过观察
可得恒成立；
整数满足恒成立则一定满足恒成立；
注意到时，，取特殊值，得到，
可验证当时，若取大于的整数，都有使得.
下面验证满足恒成立：
令，，
，，
由零点存在定理得：存在使得.
且当，，单调递减；
，，单调递增；
满足.
，当且仅当取等，,可得恒成立，
即恒成立，恒成立.
综上，可知满足题意的最大整数为.
故答案为：1
【变式4-1】（2024·浙江台州·一模）设
(1)求证：；
(2)若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）
【解析】（1）要证：，（，），
只要证：，又当时，，当时，，
即与同号，故只要证：，即证：，
令，（，），则，
当时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，故原不等式得证．
（2）因为，当时，有，
则，所以整数．
当时，由（1）可得，
下证：，，只要证：．
令，，
因为，
所以在上单调递减，故，所以得证,
综上所述，整数的最大值为2．
【变式4-2】已知，函数，．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．
【解析】（1），令，，
令,解得
在上单调递减,单调递增，
，
，
命题得证.
（2）存在,使得对于成立,
等价于存在,使得对于成立，
由于,原题意的必要条件是,对都成立
设,使得,即，
在是减函数,在是增函数,其中,即，
，
显然,
由上图知,，
对都成立的最大整数是2，
以下证明充分性,当时,存在,使得恒成立,
,由上证明知存在大于0的正的最小值,
故存在大于0的,使得恒成立，
当时,设,
故对不恒成立，
存在,使得对于任意的成立,最大的整数的值是2.
【变式4-3】已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.
【解析】（1）当时，，则，
令得.
若，则；若，则.
所以；
（2）由，可得，当时，，则，即.
当时，令，则，
则在上单调递增，所以，所以成立.
因此整数a的最小值为1.
【变式4-4】 ，对，，求整数的最小值．
【解析】当时，，此时不合题意，
当时，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
函数的最大值为，
即满足题意，
下面证明当时，对恒成立，
由于，
其对称轴为，
故当时，，
综上可得，整数的最小值为1．
1．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数，可得，其中，
若时，，则在上单调递增，且，
所以有无数个整数解，不符合题意，
若时，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
所以，综上可得，实数的取值范围为.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为 ．
【答案】1
【解析】当时，，
不等式恒成立，
则，即恒成立，
亦即恒成立，
令，，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，
因为，所以，
所以恒成立，即，
令，，则，
令，，则恒成立，
所以在单调递增，所以，即在恒成立，
所以在单调递增，所以，
即，，故，
据此可判断满足不等式成立，
所以实数的最小整数为.
故答案为：
3．（2024·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，设和
因为存在唯一整数，使得，
所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示，
因为，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极小值，也为最小值，
且当时，，当时，，
又由直线恒经过原点，斜率为（其中），
所以且，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
4．（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为 .
【答案】1
【解析】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，又，
所以在有且仅有一个根，满足，即，
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以，
由对勾函数可知，即，
因为，即，，，
所以.
故答案为：1.
5．（2024·甘肃·三模）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为 .
【答案】1
【解析】因为对于任意恒成立，
等价于对于任意恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，又，，
所以在有且仅有一个根，满足，即，
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以，
由对勾函数可知，即，
因为，所以，，所以.
故整数的最大值为1.
故答案为：1
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题可知，，，
由于的解集中恰有一个整数，
即，即，
因为，所以的解集中恰有一个整数，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
画出和的大致图象，如图所示：
要使得，可知，
设为和的交点的横坐标，
而的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即，
当时，得；当时，得，
即，，
当直线过点时，得，
当直线过点时，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
7．（2024·高三·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】原不等式等价于，，
设，
所以，
令，得．
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
又，时，，
因此与的图象如下，
当时，显然不满足条件，当时，只需满足，
解可得，．
故答案为：．
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．
(1)若，求证：；
(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．
【解析】（1）时，设，则，，
即在上恒成立，
在上单调增， 又，
即；
（2）时，当时，，所以．
下证符合．
时，当时，，所以当时，．
记，则只需证对恒成立．
，令，则在递减，
又，所以存在，使得，
则在递增，在递减；
又，所以存在使得，且，
所以在递增，在递减，又，所以对恒成立，
因为，所以符合．
综上，整数的最大值为3．
9．（2024·贵州·一模）已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求整数a的最小值．
【解析】（1）的定义域为，
（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；
（ⅱ）当时，令，
令，
∴当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由，可得：，
∵，∴原命题等价于对恒成立．
令，∴，
令，∴，∴在上单调递增．
又，
故存在唯一的，使得．
当时，，∴，
∴在上单调递增，
当时，，∴，
∴在上单调递减．
∴，
∴时，恒成立．
∴，又，∴a的最小整数值为2．
10．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．
【解析】（1），其定义域为，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）由，得，
所以．
令，则，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，即．
故当时，，当时，，
又当时，（等号仅在时成立），
所以当时，；当时，（等号仅在时成立）．
所以在上单调递增，在上单调递减，
则．
令，，则，
所以在上单调递增，则，．
所以，所以．
11．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且存在整数使得恒成立，求整数的最大值.
（参考数据：，）
【解析】（1），，
若，则，，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
若，则，
所以函数在上递增，
若，则，
当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
若，则，
当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
综上所述，当时，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增；
（2）若，，，
，
令，则，
令，则，
所以函数在上递增，即函数在上递增，
又，则当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又，，，
所以函数存在唯一的零点，且，此时，
则当时，，即，当时，，即，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
令，，则，，
所以函数在上递减，
所以，
又，，
所以，
又存在整数使得恒成立，
所以整数的最大值为0.
12．设函数
(1)求的单调区间
(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值
【解析】（1）函数的定义域是，，当时，，所以函数在上单调递增，
当时，时， ，当，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由于，所以，故当， ，等价于
令，①
则，
由(1)可知，当时，函数在上单调递增，
而，所以在存在唯一零点，
故在存在唯一零点，设此零点为，则有，
当时，，当时，，
所以在上的最小时为，又由，可得，
所以 ，由于①等价于，故整数的最大值为2.
13．已知，R．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．
【解析】（1）由题意得的定义域为，
，
①时，，在内单调递减，
②时，令得或（舍）
当，单调递减
当，，单调递增．
（2）由题意得，
整理得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，
令，则，
令，易知在区间内单调递增，
又，，故存在唯一的，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故当时，函数有极大值，也即为最大值，
，
故，又，故，
又a为整数，故a的最小整数值为
14．已知函数.
(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）
【解析】（1），函数定义域为
，
∵在上单调递增，∴在上恒成立，
，记，
，解得，，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
a的取值范围为
（2）由可知，，
∴，记，
∵，
令，，
，解得，，解得
在上单调递减，在上单调递增，
，，
∴，，
，，∴，∴单调递减，
，，，∴单调递增，
，
∵，，
∴，
∴整数k的最大值为6．
15．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，曲线在点处切线方程为.
(1)求实数a的值及函数的单调区间；
(2)若时，，求整数m的最大值.
【解析】（1）函数的定义域为（-∞，+∞），因 ， ，
在处的切线方程为： ，由已知得，
，所以；
由 得，由 得，
所以函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）；
（2）时，不等式等价于，
令，则 ，
由（1）得在（0，+∞）上单调递增，
又因为，，所以在上有唯一零点 ，且 ，
当时， ，
当时， ，
所以的最小值为，由 得
所以，由于，所以，
因为，所以m的最大值为2；
综上，，函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0），
m的最大值为2.
16．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.
【解析】（1）的定义域为，求导得：，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2），，
令，，则，
由（1）知，在上单调递增，且，
则在区间内存在唯一的零点，使，即，
则当时，，，有在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
于是得，因此，，
所以整数的最大值为3.
17．已知函数，在上恒成立，求整数k的最大值.
【解析】由题意，在上恒成立，
即 ()．
设 ()，
则，
令 ()，则，
所以，在上为增函数．
因为，，，
所以在上有唯一实数根，
使得.
当时，，即；
当时，，即.
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
且，
所以.由，得整数k的最大值为3.
18．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值
【解析】（1）因为 ，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，，得舍去，，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为对任意 ， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 .
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 .
当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
19．（2024·高三·广东·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，求的最小值；
(2)若对定义域内的一切实数，都有，求整数的最小值．
（参考数据：）
【解析】（1）时，，故，
因为在上均为增函数，故在上为增函数，
而，故当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故.
（2）由的定义域为，，
因为在上均为增函数，故在上为增函数，
而，
当（从的右侧）时，，故在上存在一个零点，
且时，；时，；
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
而，故，且，
故，故，故，
故，故.
若，则即，
因为在均为增函数，
故在为增函数，
而，但，故，即，
故，但，即成立
故时，恒成立，故整数的最小值为1.