2025高考数学一轮复习-7.6-利用空间向量证明平行和垂直-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.6-利用空间向量证明平行和垂直-专项训练【含答案】，共14页。
1.若两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=
(-2,0,2),则l1和l2的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.垂直D.不确定
2.已知平面α的法向量为a=(1,2,-2),平面β的法向量为b=(-2,-4,k),
若α⊥β,则k等于( )
A.4B.-4 C.5 D.-5
3.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=
(6,-2,z),且α∥β,则y+z的值是( )
A.-3 B.-4 C.3 D.4
4.已知直线a的方向向量为a,平面α的法向量为n,下列结论成立的是( )
A.若a∥n,则a∥α B.若a⊥n,则a⊥α
C.若a∥n,则a⊥α D.若a⊥n,则a∥α
5.(多选题)已知平面α的一个法向量为n1=(1,-2,-12),平面β的一个法向量为n2=(-1,0,-2),直线l的方向向量为a=(1,0,2),直线m的方向向量为b=(0,1,-2),则( )
A.l⊥α
B.α⊥β
C.l与m为相交直线或异面直线
D.a在b上的投影向量的坐标为(0,-35,65)
6.已知直线l的方向向量为a=(-1,1,1),平面α的法向量为b=
(2,x2+x,-x),若l∥α,则实数x= .
7.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BC→,BP→=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x= ,y= ,z= .
8.在正三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,
C1N→=λNC→,且AB1⊥MN,则λ的值为 .
9.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.
(1)证明:平面A1BD∥平面B1CD1;
(2)证明:MN⊥平面A1BD.
10.在四边形ABCD中,对角线AC,BD垂直且相交于点O,且OA=OB=OD=
4,OC=3,将△BCD沿BD折到△BED的位置,使得二面角EBDA的大小为90°(如图).已知Q为EO的中点,点P在线段AB上,且AP=2.
证明:直线PQ∥平面ADE.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
11.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为( )
A.(1,1,1)B.(23,23,1)
C.(22,22,1)D.(24,24,1)
12.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且EF⊥A1E.若AB=2,AD=1,AA1=3,则B1F的最小值为 .
13.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证:EF∥平面A1B1BA;
(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1.
14.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,设E,F分别为PC,BD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PDC.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
15.(多选题)在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP→=λBC→+μBB1→,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥PA1BC的体积为定值
C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:因为v2=-2v1,即v2与v1共线,所以两条不重合直线l1和l2的位置关系是平行.故选A.
2.解析:因为α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=-2-8-2k=0,解得k=-5.故
选D.
3.解析:因为α∥β,所以u1∥u2,故存在实数λ,使得u1=λu2,即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故6λ=-3,-2λ=y,λz=2,解得y=1,z=-4,所以y+z=1-4=-3.故选A.
4.解析:因为直线a的方向向量为a,平面α的法向量为n,若a∥n,则a⊥α,故A错误,C正确;若a⊥n,则a∥α或a⊂α,故B,D错误.
故选C.
5.解析:因为a·n1=0,所以l∥α或l⊂α,所以A错误;
因为n1·n2=0,所以α⊥β,所以B正确;
因为01≠2-2,则a∥b不成立,所以l与m为相交直线或异面直线,所以C正确;
a在b向量上的投影向量为a·b|b|2·b=-45×(0,1,-2)=(0,-45,85),所以D错误.故选BC.
6.解析:因为l∥α,则a⊥b,而a=(-1,1,1),b=(2,x2+x,-x),因此a·b=-2+(x2+x)+(-x)=x2-2=0,解得x=±2.
答案:±2
7.解析:由条件得3+5-2z=0,x-1+5y+6=0,3(x-1)+y-3z=0,
解得x=407,y=-157,z=4.
答案:407 -157 4
8.解析:如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以M为坐标原点,MC→,MA→,
MP→的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.因为底面边长为1,侧棱长为2,所以A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(12,0,0),
C1(12,0,2),M(0,0,0),因为C1N→=λNC→,所以N(12,0,21+λ),所以AB1→=
(-12,-32,2),MN→=(12,0,21+λ).又因为AB1⊥MN,所以AB1→·MN→=0,所以-14+41+λ=0,所以λ=15.
答案:15
9.证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),
A(2,0,0).设平面A1BD的一个法向量为m=(x,y,z),因为DA1→=(2,0,2),
DB→=(2,2,0),所以2x+2z=0,2x+2y=0,
取x=-1,得m=(-1,1,1).同理可得平面B1CD1的一个法向量为n=
(-1,1,1).
因为m∥n,所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)因为M,N分别为AB,B1C的中点,所以M(2,1,0),N(1,2,1),则MN→=
(-1,1,1),因为MN→∥m,所以MN⊥平面A1BD.
10.在四边形ABCD中,对角线AC,BD垂直且相交于点O,且OA=OB=OD=
4,OC=3,将△BCD沿BD折到△BED的位置,使得二面角EBDA的大小为90°(如图).已知Q为EO的中点,点P在线段AB上,且AP=2.
证明:直线PQ∥平面ADE.
证明:由题易得OE⊥BD,OA⊥BD,OE⊂平面EBD,OA⊂平面ABD,且二面角EBDA的大小为90°,
所以∠AOE=90°,故OA,OB,OE两两垂直,从而可建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,4,0),E(0,0,3),D(0,-4,0),A(4,0,0),
由题知|AB→|=42+42=42,故AB→=4AP→,
又AB→=(-4,4,0),故AP→=(-1,1,0),从而P(3,1,0),
又Q(0,0,32),故PQ→=(-3,-1,32),
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),
易得DA→=(4,4,0),DE→=(0,4,3),
由n·DA→=0,n·DE→=0,得4x+4y=0,4y+3z=0,
取x=3,得y=-3,z=4,
所以n=(3,-3,4),
因为n·PQ→=0,故n⊥PQ→,
又PQ⊄平面ADE,
所以直线PQ∥平面ADE.
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11.解析:设AC与BD相交于点O,如图,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥OE,又O是正方形ABCD对角线交点,所以M为线段EF的中点.在空间坐标系中,E(0,0,1),
F(2,2,1).由中点坐标公式,知点M的坐标为(22,22,1).故选C.
12.解析:以点C1为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间
直角坐标系,则A1(2,1,0),设E(2,0,m),F(0,1,n),3≥m≥0,3≥n≥0,则A1E→=(0,-1,m),EF→=(-2,1,n-m).
因为EF⊥A1E,所以A1E→·EF→=0,即-1+m(n-m)=0,化简得mn=1+m2.当m=0时,显然不符合题意;
当0