2025高考数学一轮复习-7.8-利用空间向量求空间角-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.8-利用空间向量求空间角-专项训练【含答案】，共12页。
1.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.
(1)证明:C1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角BAA1D的正弦值.
2.如图,矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直,∠ACB=90°,
BE=2.
(1)证明:DE⊥平面ACD;
(2)若平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值是55,且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是14,求异面直线DE与AB所成角的余弦值.
3.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,过点D1作出正方体ABCDA1B1C1D1的截面,使得该截面平行于平面BEF.
(1)作出该截面与正方体表面的交线,并说明理由;
(2)求BD1与该截面所在平面所成角的正弦值.
4.如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=12AB=12AA1,E,F分别为A1D,CC1的中点.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值.
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5.如图,在四棱锥PABCD中,△PAD为正三角形,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD,AD=2BC=2,CD=3,PB=6.
(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)棱PC上是否存在点M,使得二面角MABD的大小为45°?若存在,求出MB的长;若不存在,请说明理由.
6.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD与ABEF均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面ABEF,AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2.
(1)已知点G为AF上一点,AG=AD,求证:BG与平面DCE不平行;
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55,求点F到平面DCE的距离.
参考答案
【A级 基础巩固】
1.(1)证明:连接C1D,C1B(图略),
因为四边形ABCD为正方形,且边长为2.
所以BC=CD=2,O为BD,AC的中点,且OC=12AC=2.
在△C1CD和△C1CB中,
因为CC1=CC1,∠C1CB=∠C1CD,CD=CB,
所以△C1CD≌△C1CB,
所以C1D=C1B.
又因为O为BD中点.
所以C1O⊥BD.
在△OCC1中,因为CC1=AA1=2,OC=2,∠C1CO=45°.
所以C1O=C1C2+OC2-2C1C·OC·cs45°=2.
所以C1O2+OC2=CC12,所以C1O⊥OC,
因为C1O⊥OC,OC1⊥BD,OC∩BD=O,
OC,BD⊂平面ABCD,
所以C1O⊥平面ABCD.
(2)解:由(1)知AC,BD,C1O两两垂直,则以O为原点,分别以OA,OB,OC1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略),
则B(0,2,0),A(2,0,0),A1(22,0,2),D(0,-2,0),
AA1→=(2,02),AB→=(-2,2,0),AD→=(-2,-2,0).
设平面BAA1的法向量为n=(x1,y1,z1),
则n·AA1→=2x1+2z1=0,n·AB→=-2x1+2y1=0,
令x1=1,则y1=1,z1=-1,故n=(1,1,-1).
设平面AA1D的法向量为m=(x2,y2,z2),
则m·AA1→=2x2+2z2=0,m·AD→=-2x2-2y2=0,
令x2=-1,则y2=1,z2=1,故m=(-1,1,1).
cs=m·n|m|·|n|=-13,故二面角BAA1D的正弦值为223.
2.(1)证明:因为四边形BCDE为矩形,
所以DE⊥CD.
因为∠ACB=90°,即AC⊥BC,
又DE∥BC,所以DE⊥AC,
因为AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD,
所以DE⊥平面ACD.
(2)解:由(1)可得,CA⊥CB,CA⊥CD,CD⊥CB,
以点C为坐标原点,CA→,CB→,CD→为x轴,y轴,z轴正方向,可建立如图所示空间直角坐标系,
设AC=a,BC=b,
则A(a,0,0),D(0,0,2),E(0,b,2),B(0,b,0),
所以AD→=(-a,0,2),DE→=(0,b,0),AE→=(-a,b,2),
因为CD⊥平面ABC,
所以平面ABC的一个法向量为CD→=(0,0,2).
设平面AED的法向量n=(x,y,z),
则AD→·n=-ax+2z=0,DE→·n=by=0,令x=2,
解得y=0,z=a,所以n=(2,0,a),
所以|cs|=|CD→·n||CD→|·|n|=2a24+a2=55,解得a=1.
因为AC⊥平面BCDE,所以平面BCDE的一个法向量为 CA→=(1,0,0),
所以|cs|=|CA→·AE→||CA→|·|AE→|=11+b2+4=1b2+5=14,解得b=11,
所以DE→=(0,11,0),AB→=(-1,11,0),
所以cs=DE→·AB→DE→·AB→=1111×23=336,
即异面直线DE与AB所成角的余弦值为336.
3.解:(1)设G,H分别是棱BC,CC1的中点,顺次连接D1,A,G,H,则四边形D1AGH即为所求的截面.
理由如下:
因为点G,H分别是棱BC,CC1的中点,故BC1∥GH,
又BC1∥D1A,所以GH∥D1A,而两平行直线确定一个平面,
所以四边形D1AGH为平面图形.
因为点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,故D1A∥EF,
又D1A⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,
所以D1A∥平面BEF.
因为EB→=AB→-AE→,
D1H→=D1C1→-HC1→,
AB→=D1C1→,AE→=HC1→,
所以EB→=D1H→.
又E,B,D1,H不共线,所以EB∥D1H,
又D1H⊄平面BEF,EB⊂平面BEF,
所以D1H∥平面BEF,
又D1A∩D1H=D1,D1A⊂平面D1AGH,D1H⊂平面D1AGH,
所以平面D1AGH∥平面BEF.
(2)易知BD1与该截面所在平面所成角的正弦值,即BD1与平面BEF所成角的正弦值.
建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,
则B(2,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(1,0,2),故BD1→=(-2,-2,2),BE→=
(0,-2,1),EF→=(-1,0,1),设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z),
则m·BE→=-2y+z=0,m·EF→=-x+z=0,
令z=2,可得m=(2,1,2),
所以cs=m·BD1→|m||BD1→|=-23×23=-39,
故BD1与平面BEF所成角的正弦值为39,
即BD1与该截面所在平面所成角的正弦值为39.
4.(1)证明:取AA1的中点G,连接EG,FG,AC,则EG∥AD.
因为EG∥AD,EG⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以EG∥平面ABCD,
因为AG∥CF,AG=CF,
所以四边形AGFC是平行四边形,所以FG∥AC,
又FG⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以FG∥平面ABCD,
因为FG∩EG=G,FG,EG⊂平面EFG,
所以平面EFG∥平面ABCD,
因为EF⊂平面EFG,所以EF∥平面ABCD.
(2)解:设CD=BC=12AA1=12AB=2,
由AD=CD=BC,得∠DAB=∠ABC=60°,
易知AC⊥BC,所以AC=42-22=23,
由题意知CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(23,0,0),A1(23,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(3,-1,0),
E(332,-12,2),
所以EC1→=(-332,12,2),BC1→=(0,-2,4),
设平面C1EB的一个法向量为n=(x,y,z),
由n·EC1→=0,n·BC1→=0,得-33x+y+4z=0,y-2z=0,
取z=1,得n=(233,2,1),
连接BD,因为BD⊥AD,BD⊥AA1,AD∩AA1=A,所以BD⊥平面AA1D,
所以平面AA1D的一个法向量为DB→=(-3,3,0),
所以cs=-2+623×193=21919,
所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为21919.
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5.(1)证明:如图,取AD的中点K,连接PK,BK,
因为△PAD为正三角形,AD=2,所以PK⊥AD,PK=3.
因为底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD,AD=2BC=2,所以四边形BCDK为矩形,所以BK=CD=3.又PB=6,所以PK2+BK2=PB2,所以PK⊥BK.
又BK∩AD=K,BK,AD⊂平面ABCD,
所以PK⊥平面ABCD.因为PK⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)解:由(1)得KB,KA,KP两两互相垂直,则以K为坐标原点,KA,KB,KP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,3),A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),
当M与C重合时,二面角MABD的平面角为0,不合题意,
设PM→=λPC→(0≤λ0,且a≠1),则F(a,0,0),所以BF→=(a,-2,0).
因为直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55,所以55=|cs|=
|BF→·n||BF→||n|=|2a-2|a2+4×3,化简得11a2-40a-16=0,解得a=4或a=-411(舍去),故AF=4,
所以F(4,0,0),FD→=(-4,0,2),
所以点F到平面DCE的距离d=|FD→·n||n|=43.