第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc166505350" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc166505350 \h 2
\l "_Tc166505351" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc166505351 \h 3
\l "_Tc166505352" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc166505352 \h 4
\l "_Tc166505353" 知识点1：比较大小基本方法 PAGEREF _Tc166505353 \h 4
\l "_Tc166505354" 知识点2：不等式的性质 PAGEREF _Tc166505354 \h 5
\l "_Tc166505355" 解题方法总结 PAGEREF _Tc166505355 \h 6
\l "_Tc166505356" 题型一：不等式性质的应用 PAGEREF _Tc166505356 \h 6
\l "_Tc166505357" 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 PAGEREF _Tc166505357 \h 8
\l "_Tc166505358" 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 PAGEREF _Tc166505358 \h 11
\l "_Tc166505359" 题型四：不等式的综合问题 PAGEREF _Tc166505359 \h 13
\l "_Tc166505360" 题型五：糖水不等式 PAGEREF _Tc166505360 \h 15
\l "_Tc166505361" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc166505361 \h 18
\l "_Tc166505362" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc166505362 \h 19
\l "_Tc166505363" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc166505363 \h 21
\l "_Tc166505364" 易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 PAGEREF _Tc166505364 \h 21
\l "_Tc166505365" 答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围 PAGEREF _Tc166505365 \h 21
知识点1：比较大小基本方法
【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于，取，，，无法得到，，故AB错误，
取,则，无法得到，C错误，
由于，则，所以，
故选：D
知识点2：不等式的性质
（1）基本性质
【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
解题方法总结
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．

题型一：不等式性质的应用
【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，取，则，故A错误，
对于B，，则，故B错误，
对于C，由于，故在单调递减，故，因此，
由于，所以，故，C正确，
对于D, ,则，故D错误，
故选：C
【典例1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】∵，∴ 即，∴，A正确；
由基本不等式知：，当且仅当时等号成立
又，∴
∴即,当且仅当时等号成立；
已知 ,故，B正确;
令，，C错误；
令，，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
【方法技巧】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．
3、小题可以利用特殊值排除法．
【变式1-1】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
【变式1-2】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，故，故，
由对勾函数性质可得，
，且，
综上所述，有.
故选：C.
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【典例2-1】已知且，，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【解析】．
当时，，所以，则；
当时，，所以，则．
综上可知，当且时，，即．
【典例2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ．
【答案】
【解析】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
【方法技巧】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．
【变式2-1】已知为正实数．求证：.
【解析】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
【变式2-2】（1）比较与的大小；
（2）已知，比较与大小
【解析】（1）因为，
所以，
所以①当时，，
所以，
②当时，，
即，
所以，
③当时，，
即，
所以，
综上所述：当，.
（2）
，
因为，所以，
所以，
由
，
所以，
所以，
即，
故.
【变式2-3】希罗平均数（Hernianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接）
【答案】
【解析】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立；
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以；
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以；
综上所述，，当且仅当时等号成立.
故答案为：
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【典例3-1】已知，，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【解析】，
由不等式的性质，，所以
所以，所以，
当且仅当时，且已知，解得，
即的最大值为.
故选：A.
【典例3-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知及三角形三边关系得，
所以，则，两式相加得，
所以.
故选：C
【方法技巧】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系．
【变式3-1】（多选题）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】依题意，，
所以，所以，所以A选项错误，B选项正确.
所以，所以，所以C选项正确，D选项错误.
故选：BC
【变式3-2】（多选题）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
【变式3-3】已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：，记，，则．
又，∴，∴，
∴．
故选：A
题型四：不等式的综合问题
【典例4-1】记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，所以，
所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故选：A
【典例4-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得：
，
当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
【方法技巧】
综合利用等式与不等式的性质
【变式4-1】（多选题）若实数x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，所以A正确，B错误，
对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，所以C错误，
对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：AD
【变式4-2】（多选题）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【解析】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
题型五：糖水不等式
【典例5-1】（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，，为三条边长，则
D．若，，为三条边长，则
【答案】BCD
【解析】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误.
B.，故B正确.
C.，故C正确.
D.，，故D正确.
故选：BCD
【典例5-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【答案】
【解析】空1：因为，所以可得：
；
空2：由空1可得：，即.
故答案为：；
【方法技巧】
糖水不等式：若，，则，或者．
【变式5-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，，b，则（ ）
A．ln(a−b)>0B．3a0D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知为等比数列，下面结论中正确的是
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】B
【解析】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1b2
C．若a