第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc166251764" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc166251764 \h 2
\l "_Tc166251765" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc166251765 \h 3
\l "_Tc166251766" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc166251766 \h 4
\l "_Tc166251767" 知识点1：充分条件、必要条件、充要条件 PAGEREF _Tc166251767 \h 4
\l "_Tc166251768" 知识点2：全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc166251768 \h 4
\l "_Tc166251769" 知识点3：含有一个量词的命题的否定 PAGEREF _Tc166251769 \h 5
\l "_Tc166251770" 解题方法总结 PAGEREF _Tc166251770 \h 5
\l "_Tc166251771" 题型一：充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc166251771 \h 6
\l "_Tc166251772" 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 PAGEREF _Tc166251772 \h 6
\l "_Tc166251773" 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 PAGEREF _Tc166251773 \h 7
\l "_Tc166251774" 题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 PAGEREF _Tc166251774 \h 8
\l "_Tc166251775" 题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 PAGEREF _Tc166251775 \h 8
\l "_Tc166251776" 04 真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc166251776 \h 9
\l "_Tc166251777" 05 课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc166251777 \h 10
\l "_Tc166251778" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc166251778 \h 11
\l "_Tc166251779" 易错点：混淆充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc166251779 \h 11
\l "_Tc166251780" 答题模板：充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc166251780 \h 11
知识点1：充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．
【诊断自测】（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
知识点2：全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
【诊断自测】下列命题中的假命题是( )
A．RB．R
C．RD．R
知识点3：含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
解题方法总结
1、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
简记：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．

题型一：充分条件与必要条件的判断
【典例1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例1-2】（2024·湖南·二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
【变式1-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（多选题）已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．r是q的充分条件B．p是q的充分条件
C．r是q的必要而不充分条件D．r是s的充分而不必要条件
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【典例2-1】设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件.
【方法技巧】
1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．
2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错．
【变式2-1】已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ．
【变式2-2】已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ．
【变式2-3】已知命题，若是的充要条件，则 ．
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例3-1】下列正确命题的个数为（ ）
①，；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【典例3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【方法技巧】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可．
【变式3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．
B．每个等腰三角形都有内切圆
C．
D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数
【变式3-2】（2024·广东东莞·三模）已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知集合M，N满足，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ．
【典例4-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【方法技巧】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题的补集即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到．
【变式4-1】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 ．
【变式4-2】（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 .
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“，，”的否定形式是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【典例5-2】（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在B．存在
C．存在D．对任意的
【方法技巧】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式5-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】已知命题，则（ ）
A．，，且是真命题
B．，，且是假命题
C．，，且是假命题
D．，，且是真命题
【变式5-3】（2024·贵州遵义·一模）已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
1．设集合满足条件p，满足条件q.
（1）如果，那么p是q的什么条件？
（2）如果，那么p是q的什么条件？
（3）如果，那么p是q的什么条件？
试举例说明.
2．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，有实数根，;
(3);
(4);
(5).
3．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
4．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1)，一元二次方程有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3)；
(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于.
易错点：混淆充分条件与必要条件
易错分析： 对于条件p，q，如果，则是的充分条件，是的必要条件，如果，则是的充要条件．解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明．
答题模板：充分条件与必要条件的判断
1、模板解决思路
解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关系．
2、模板解决步骤
第一步：确定题中的条件和结论．
第二步：判断“”的真假．
第三步：判断“”的真假．
第四步：得出结论．
【易错题1】（2024·江西·模拟预测）“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【易错题2】（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）必要条件、充分条件、充要条件；
（2）全称量词与存在量词；
（3）全称量词命题与存在量词命题的否定．
2024年新高考II卷第2题，5分
2023年新高考I卷第7题，5分
2023年天津卷第2题，5分
2023年全国甲卷第7题，5分
2022年天津卷第2题，5分
2021年全国甲卷第7题，5分
从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点：
（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；
（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题．
复习目标：
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有