第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc179368770" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc179368770 \h 2
\l "_Tc179368771" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc179368771 \h 3
\l "_Tc179368772" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc179368772 \h 4
\l "_Tc179368773" 知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 PAGEREF _Tc179368773 \h 4
\l "_Tc179368774" 知识点2：二项式展开式中的最值问题 PAGEREF _Tc179368774 \h 5
\l "_Tc179368775" 知识点3：二项式展开式中系数和有关问题 PAGEREF _Tc179368775 \h 6
\l "_Tc179368776" 题型一：求二项展开式中的参数 PAGEREF _Tc179368776 \h 7
\l "_Tc179368777" 题型二：求二项展开式中的常数项 PAGEREF _Tc179368777 \h 7
\l "_Tc179368778" 题型三：求二项展开式中的有理项 PAGEREF _Tc179368778 \h 8
\l "_Tc179368779" 题型四：求二项展开式中的特定项系数 PAGEREF _Tc179368779 \h 8
\l "_Tc179368780" 题型五：求三项展开式中的指定项 PAGEREF _Tc179368780 \h 9
\l "_Tc179368781" 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 PAGEREF _Tc179368781 \h 10
\l "_Tc179368782" 题型七：求二项式系数最值 PAGEREF _Tc179368782 \h 10
\l "_Tc179368783" 题型八：求项的系数最值 PAGEREF _Tc179368783 \h 11
\l "_Tc179368784" 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 PAGEREF _Tc179368784 \h 12
\l "_Tc179368785" 题型十：求奇数项或偶数项系数和 PAGEREF _Tc179368785 \h 13
\l "_Tc179368786" 题型十一：整数和余数问题 PAGEREF _Tc179368786 \h 13
\l "_Tc179368787" 题型十二：近似计算问题 PAGEREF _Tc179368787 \h 14
\l "_Tc179368788" 题型十三：证明组合恒等式 PAGEREF _Tc179368788 \h 15
\l "_Tc179368789" 题型十四：二项式定理与数列求和 PAGEREF _Tc179368789 \h 17
\l "_Tc179368790" 题型十五：杨辉三角 PAGEREF _Tc179368790 \h 18
\l "_Tc179368791" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc179368791 \h 20
\l "_Tc179368792" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc179368792 \h 21
\l "_Tc179368793" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc179368793 \h 22
\l "_Tc179368794" 易错点：混淆项的系数与二项式系数 PAGEREF _Tc179368794 \h 22
\l "_Tc179368795" 答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数 PAGEREF _Tc179368795 \h 23
知识点1：二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
【诊断自测】已知在的二项展开式中，各项系数和为，则展开式中，含项的系数为 .
知识点2：二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
【诊断自测】设为整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 ．
知识点3：二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【诊断自测】设，则 .

题型一：求二项展开式中的参数
【典例1-1】在展开式中的系数为，则的值为 .
【典例1-2】已知二项式的展开式中的常数项为，则 .
【方法技巧】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）在的展开式中，常数项为90，则 ．
【变式1-2】在的展开式中，的系数为12，则的值为 ．
【变式1-3】（2024·高三·上海·开学考试）已知二项式的展开式中存在常数项，正整数的最小值为 ．
【变式1-4】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知展开式中的系数为80，则 .
题型二：求二项展开式中的常数项
【典例2-1】（2024·高三·浙江·开学考试）的展开式中，常数项为 ．
【典例2-2】（2024·高三·江苏·开学考试）展开式中的常数项为 .
【方法技巧】
写出通项，令指数为零，确定，代入．
【变式2-1】 的展开式中的常数项为 .（请用数字作答）
【变式2-2】二项式的展开式中的常数项为 ．
【变式2-3】 的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示）
【变式2-4】（2024·全国·模拟预测）的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为 ．
题型三：求二项展开式中的有理项
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）的展开式中，有理项是第 项．
【典例3-2】（2024·山东烟台·三模）已知的展开式中共有项，则有理项共 项．（用数字表示）
【方法技巧】
先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．
【变式3-1】已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 ．
【变式3-2】（2024·高三·上海·单元测试）二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为 ．
【变式3-3】（2024·高三·吉林通化·期中）在的展开式中，有理项的个数为 ．
【变式3-4】在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项．
【变式3-5】已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
【典例4-1】二项式展开后的第三项是
【典例4-2】（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 .
【方法技巧】
写出通项，确定r，代入．
【变式4-1】（2024·陕西渭南·二模）展开式中的项是 .
【变式4-2】（2024·湖北·模拟预测）展开式中项的系数为 .
【变式4-3】二项式的展开式的中间项为
【变式4-4】（2024·高三·上海浦东新·期中）的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
题型五：求三项展开式中的指定项
【典例5-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）的的展开式中的系数为（ ）
A．30B．C．20D．
【典例5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．C．120D．
【方法技巧】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
【变式5-1】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）的展开式中的系数是（ ）
A．5B．10C．20D．60
【变式5-2】（2024·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（ ）
A．20B．30C．25D．40
【变式5-3】（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（ ）
A．10B．C．60D．
【变式5-4】（2024·河北沧州·二模）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．D．
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【典例6-1】（2024·高三·全国·课后作业）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．7168D．
【典例6-2】（2024·北京大兴·三模）在的展开式中，x的系数为（ ）
A．9B．15C．D．
【方法技巧】
分配系数法
【变式6-1】（2024·西藏·模拟预测）在yx−2xyx+y6的展开式中，的系数为（ ）
A．B．4C．D．8
【变式6-2】已知展开式中的系数为28，则该展开式的各项系数和为（ ）
A．B．C．0D．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．3D．27
【变式6-4】（2024·福建福州·模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．34D．74
题型七：求二项式系数最值
【典例7-1】（2024·贵州·模拟预测）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答）
【典例7-2】已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
【方法技巧】
利用二项式系数性质中的最大值求解即可．
【变式7-1】 的展开式中所有二项式系数的最大值是 （用数字作答）．
【变式7-2】已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ．
【变式7-3】已知的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
【变式7-4】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 .
题型八：求项的系数最值
【典例8-1】已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
【方法技巧】
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．
【变式8-1】（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
【变式8-2】已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第6项B．第7项C．第11项D．第6项和第7项
【变式8-3】 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项B．第12项C．第13项D．第14项
【变式8-4】（2024·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【典例9-1】（2024·四川乐山·三模）设，则（ ）
A．1B．C．2024D．
【典例9-2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．
【变式9-1】若，则（ ）
A．4048B．C．1D．
【变式9-2】（2024·陕西·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则（ ）
A．32B．31C．16D．15
【变式9-3】已知，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．除以5所得的余数是1
C．
D．
【变式9-4】已知，则（ ）
A．B．14C．D．7
【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）已知，若，且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-6】（2024·福建福州·模拟预测）设是常数，对于，都有，则（ ）
A．2019B．2020C．2019!D．2020!
【变式9-7】若，则（ ）
A．B．
C．D．
题型十：求奇数项或偶数项系数和
【典例10-1】设，则 ．
【典例10-2】（2024·高三·河北保定·开学考试）若，则 .
【方法技巧】
，令得系数和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，联立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
【变式10-1】（2024·广东·一模）若 ，则 .
【变式10-2】已知多项式，则 ．
【变式10-3】（2024·浙江·模拟预测）当，则 ．
【变式10-4】（2024·湖南邵阳·一模）已知，则 .
题型十一：整数和余数问题
【典例11-1】（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（ ）
A．1B．4C．5D．8
【典例11-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（ ）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期五
【变式11-1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（ ）
A．2010B．2021C．2019D．1997
【变式11-2】若能被25整除，则正整数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式11-3】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如和被除得的余数都是，则记.若，且，则的值可以是（ ）
A．4021B．4022C．4023D．4024
【变式11-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
题型十二：近似计算问题
【典例12-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6B．12.7C．12.8D．12.9
【典例12-2】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A．1.31B．1.32C．1.33D．1.34
【变式12-1】（2024·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式12-2】（2024·江西南昌·一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：
对于任意实数，
当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：
.
用这样的方法，估计的近似值约为（ ）
A．2.922B．2.926C．2.928D．2.930
【变式12-3】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数）
【变式12-4】用二项式定理估算 .（精确到0.001）
【变式12-5】 （精确到0.01）
题型十三：证明组合恒等式
【典例13-1】求证：
【典例13-2】求证：
【变式13-1】求证：
【变式13-2】（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)证明：
【变式13-3】莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为.
(1)求的值；
(2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.
【变式13-4】（1）求证：；
（2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：.
（3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数.
题型十四：二项式定理与数列求和
【典例14-1】 （ ）
A．B．C．D．
【典例14-2】已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式14-1】已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式14-2】（2024·河南洛阳·三模）若，则的值为（ ）
A．B．1C．0D．-1
【变式14-3】若，且，则实数的值为 .
【变式14-4】对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 .
【变式14-5】已知等差数列an，对任意都有成立，则数列的前项和 ．
【变式14-6】设是正整数，化简 .
题型十五：杨辉三角
【典例15-1】如图所示的“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 ．
【典例15-2】如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 .
【变式15-1】我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为Sn，则 .
【变式15-2】在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.

【变式15-3】如图所示的梯形数阵中，第行第个数的值为

【变式15-4】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记作数列an，若数列an的前n项和为，则 ．
1．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022年新高考北京数学高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
3．（2024年上海市1月春考数学试题） 展开式中的系数为 .
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
5．（2024年天津高考数学真题）在的展开式中，常数项为 ．
1．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74B．121C．D．
2．在的展开式中，的系数是 .
3．证明：
（1）的展开式中常数项是；
（2）的展开式的中间一项是.
4．用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
5．求证：.
6．如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：

(1)在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化．请你试一试，从推广到（m，）．
(2)请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n次，从二项到m项等，说说数学家是如何发现问题和解决问题的．
易错点：混淆项的系数与二项式系数
易错分析：项的系数与二项式系数虽然相关，但概念不同。项的系数是二项式系数与其他数字因数的积，而二项式系数仅与二项式的幂的指数和项数有关。在解题时，需仔细区分这两者，避免出错。
【易错题1】的展开式中含的项的二项式系数是 （用数字作答）.
【易错题2】的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有项的系数为 .
答题模板：求二项展开式中的特定项或项的系数
1、模板解决思路
在求解二项展开式中的特定项或项的系数时，关键在于首先写出二项展开式的通项公式。然后，根据题目给出的条件，我们可以设立一个方程来找到满足条件的k值。这里，k代表二项展开式中项的序号，其取值范围是0到n。一旦找到k，我们就可以将其代回通项公式，从而求解出所需的项或项的系数。
2、模板解决步骤
第一步：根据二项式定理写出二项展开式的通项，并化简.
第二步：根据已知条件，列出方程并求解.
第三步：代回二项展开式的通项，求出特定项或项的系数.
【经典例题1】若的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【经典例题2】展开式中常数项为 .
考点要求
考题统计
考情分析
（1）二项式定理
（2）二项式系数的性质
2024年北京卷第4题，4分
2024年甲卷（理）第13题，5分
2023年北京卷第5题，4分
2023年天津卷第11题，5分
2023年上海卷第10题，5分
2022年I卷第13题，5分
(1)今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主,以考查基本运算和基本方法为主,难度中等偏下,与教材相当.
(2)本节内容在高考中的比重可能会持续降低,但仍然是备考的重要内容.
复习目标：
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．