第04讲 基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：基本不等式及其应用
1．（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：直接法求最值
4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 .
5．（2024·高三·上海青浦·期中）若且满足，则的最小值为 .
6．若，则的最小值为 ．
题型三：常规凑配法求最值
7．若，则的最小值是 ．
8．若，则函数的值域是 .
9．若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
题型四：化为单变量法
10．若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知正数x，y满足，则的最小值为 .
13．已知，若，则的最小值为 .
题型五：双换元求最值
14．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ．
15．（2024·高三·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为 ．
题型六：“1”的代换求最值
16．（2024·高三·江苏南京·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 .
17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为
18．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线过函数，且）的定点，则的最小值为 .
19．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 .
题型七：齐次化求最值
20．（2024·高三·浙江·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 .
21．已知，，，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
题型八：利用基本不等式证明不等式
22．已知，，为正数，函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若且，，不全相等，求证：.
23．不等式选讲已知均为正实数，函数的最小值为4．
(1)求证：；
(2)求证：．
24．（2024·四川资阳·模拟预测）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
题型九：利用基本不等式解决实际问题
25．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）

A．B．
C．D．
26．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
27．（2024·高三·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A．B．
C．D．以上都有可能
28．（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中.当不变，与均变为原来的倍时，下面结论中正确的是（ ）
A．存在和，使得不变
B．存在和，使得变为原来的倍
C．若，则最多可变为原来的倍
D．若，则最多可变为原来的倍
29．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10B．15C．30D．45
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值
30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
31．（多选题）已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）
A．B．
C．D．
32．（多选题）设正实数，，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
33．（多选题）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为
题型十一：三角换元法
34．（多选题）由知实数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为
B．的最大值为
C．
D．当时，的最大值为
35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）实数，满足，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
36．（多选题）若，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型十二：多次运用基本不等式
37．已知，则的最小值为 .
38．（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．或
39．若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
40．已知则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．5
题型十三：待定系数法
41．（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数，，不全为0，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
42．（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型十四：多元均值不等式
43．已知，则的最小值为 .
44．函数的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
题型十五：万能K法
45．已知实数满足，则的最大值为 .
46．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
47．（2024·高三·重庆·期中）已知x，，且，则的最大值为 ．
题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题
48．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为
49．（2024·高三·山东滨州·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
50．若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题
51．已知，向量，则的最大值为 .
52．（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为 ．
53．（2024·四川南充·二模）在中，，，分别为内角，，的对边．已知，．则的最小值为 ．
54．（2024·湖南·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型十八：整体配凑法
55．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）．
56．对于正数，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
57．已知，且，则的取值范围为 .
58．若，则的最小值为 .
1．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数满足，则有最小值4
B．若正实数满足，则
C．的最小值为
D．若，则
2．（2024·河南焦作·模拟预测）已知正数，满足，则当取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（ ）.
A．B．C．D．
5．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
6．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足， 则 的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
7．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2024·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为2D．的最小值为
10．（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知，，，则（ ）
A．且B．
C．D．
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．（多选题）（2024·高三·浙江湖州·期末）已知正数满足，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为2
C．的最小值为D．的最大值为1
13．（2024·湖北黄石·三模）设，，若，则的最小值为 ，此时的值为 .
14．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若，，且，则的最小值为 ．
1．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ．
2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数满足，则的最小值为
A．B．2C．D．4
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元B．120元
C．160元D．240元
6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设a + b = 2, b>0,则的最小值为 .
7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设，且，则的最小值为
8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数、、满足，，则的最大值为 .
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc166568061" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc166568061 \h 2
\l "_Tc166568062" 题型一：基本不等式及其应用 PAGEREF _Tc166568062 \h 2
\l "_Tc166568063" 题型二：直接法求最值 PAGEREF _Tc166568063 \h 3
\l "_Tc166568064" 题型三：常规凑配法求最值 PAGEREF _Tc166568064 \h 3
\l "_Tc166568065" 题型四：化为单变量法 PAGEREF _Tc166568065 \h 3
\l "_Tc166568066" 题型五：双换元求最值 PAGEREF _Tc166568066 \h 3
\l "_Tc166568067" 题型六：“1”的代换求最值 PAGEREF _Tc166568067 \h 4
\l "_Tc166568068" 题型七：齐次化求最值 PAGEREF _Tc166568068 \h 4
\l "_Tc166568069" 题型八：利用基本不等式证明不等式 PAGEREF _Tc166568069 \h 4
\l "_Tc166568070" 题型九：利用基本不等式解决实际问题 PAGEREF _Tc166568070 \h 5
\l "_Tc166568071" 题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值 PAGEREF _Tc166568071 \h 6
\l "_Tc166568072" 题型十一：三角换元法 PAGEREF _Tc166568072 \h 7
\l "_Tc166568073" 题型十二：多次运用基本不等式 PAGEREF _Tc166568073 \h 8
\l "_Tc166568074" 题型十三：待定系数法 PAGEREF _Tc166568074 \h 8
\l "_Tc166568075" 题型十四：多元均值不等式 PAGEREF _Tc166568075 \h 8
\l "_Tc166568076" 题型十五：万能K法 PAGEREF _Tc166568076 \h 9
\l "_Tc166568077" 题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc166568077 \h 9
\l "_Tc166568078" 题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 PAGEREF _Tc166568078 \h 9
\l "_Tc166568079" 题型十八：整体配凑法 PAGEREF _Tc166568079 \h 10
\l "_Tc166568080" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc166568080 \h 10
\l "_Tc166568081" 真题实战练 PAGEREF _Tc166568081 \h 12