重庆市第七中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题“”的否定为：“”，
故选：C.
2. 已知函数那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数，将自变量分别代入对应解析式进行求解函数值即可.
【详解】已知，
，
得.
故选：B
3. “”是“”（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分不必要条件定义可得答案.
【详解】一定能推出，
但是不一定能推出，例如，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】结合换元思想，令即可代入求解.
【详解】令，则.
故选：A
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
6. 玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件
【答案】B
【解析】
【分析】
确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：
【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．
7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数是R上的减函数可知：及时，递减，且，由此可求得参数的取值范围.
【详解】解：由题意得：
函数是R上的减函数
当时，函数要递减，则有；
当时，函数要递减，则有；
且
解得：
综上所述：实数a的取值范围可以是
故选 ：D
8. 已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，结合函数单调性及奇偶性即可解不等式
【详解】设，因为，所以，
即，令，则有时，，
所以在上为增函数，
由题知为定义在上的偶函数，
易知为奇函数且在上为增函数，
因为，，所以，
所以
当时，，不等式不成立，
当时，等价于，即，则，
当时，等价于，即，则
综上所述：等式的解集为，
故选：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错或不选得0分）
9. 下列命题为真命题的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据不等式性质逐一判断命题真假即可.
【详解】对于选项A：因为，显然，由不等式可知，，故A正确；
对于选项B：因为，由不等式性质可知，，故B正确；
对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C错误；
对于选项D：因为，由不等式性质可知，，故D错误.
故选：AB.
10. 以下说法正确的是（ ）
A. 与是同一个函数
B. 函数的值域为
C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
D. 函数的最小值为6
【答案】AC
【解析】
【分析】A根据同一函数对应法则、定义域相同判断；B应用分离常量法求值域判断；C根据条件间的推出关系，结合特殊值判断；D应用基本不等式求函数最值，注意等号成立条件判断.
【详解】A：由、，且它们的定义域均为，是同一函数，对；
B：由，易知其值域为，错；
C：对于，若，显然不成立，充分性不成立；
对于，则，必要性成立，对；
D：由，又，
而上式中时等号成立，显然等号不成立，错.
故选：AC
11. 已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（ ）
A. B. 是奇函数C. 是偶函数D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，结合条件可得选项A正确；由得选项B错误；令，可得，选项C正确；令可得，令可判断选项D正确.
【详解】A.令得，，即，解得，选项A正确.
B. ∵，
∴不是奇函数，选项B错误.
C.令，得，
∴，即，
∴是偶函数，选项C正确.
D.令，得，
∴.
令，得，
在中，令，得，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
12. 已知，则实数_______.
【答案】
【解析】
【分析】讨论、，结合集合元素的互异性确定参数a的值.
【详解】若，则，不符合集合元素的互异性，排除；
若，则，可得或（舍），
所以，此时.
故答案：
13. 已知集合，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】解出集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】不等式，即，解得，则，
不等式，即，解得或，则或，
所以.
故答案为：.
14. 已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是________．若该不等式对任意的均成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：代入，根据一元二次不等式解法求结论；空2：当时，不等式恒成立，当时，等价于，可求的取值范围.
【详解】当，不等式即，
解得或，即不等式的解集是.
若对任意的，不等式恒成立，
当时，，此时，
当时，，不等式可化为，
则时，恒成立，
有，解得，
所以对任意的，不等式恒成立，实数a的取值范围是.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，集合，集合，
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义即可求解，
（2）根据集合的补集定义以及交集定义即可求解.
【小问1详解】
由可得，
，则，
所以；
【小问2详解】
，故.
16. 解答下列各题.
（1）若，求的最小值.
（2）若正数满足，
①求的最小值.
②求最小值.
【答案】（1）7； （2）①36；②.
【解析】
【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案；
（2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案
【小问1详解】
由题.
当且仅当，即时取等号；
【小问2详解】
①由结合基本不等式可得：
，又为正数，
则，当且仅当，即时取等号；
②由可得，
则.
当且仅当，又，
即时取等号.
17. 若不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）当的解集为时，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，从而求得的值，进而解不等式即可，
（2）由（1）可知的解集为，从而分类讨论，结合二次函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为的解集是，
所以和1是方程的两个根，且，即，
所以，解得，
所以不等式化为，
即，解得或，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
因为的解集为，
由（1）可知的解集为，
当，即时，
若，不等式可化为，显然满足题意；
若，不等式可化为，显然解集不为，不满足题意；
当时，则有，解得；
综上：，所以的取值范围为.
18. 已知 是 上的奇函数.
（1）求的值，并用定义证明： 在上单调递减；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质，结合已知条件可解；根据单调性的证明步骤逐步证明即可；
（2）转化为在上恒成立，求在的最大值即可.
小问1详解】
由题意可知：，得：，经验证得，当时，为奇函数；
所以，对，不妨设，
，
∵，∴，，
则，
因此在上单调递减.
【小问2详解】
在上恒成立，即在上恒成立，
所以.
因为在上单调递减，且为上的奇函数，
所以为上单调递减，
所以，所以.
19. 若函数
（1）当时，求的解集；
（2）设，若时，的最大值为3，求a的值；
（3）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）应用不含参一元二次不等式解法求解集；
（2）根据题设有，，讨论其对称轴的位置并结合函数区间最值列方程求参数即可；
（3）令有，问题化为，对使恒成立，结合一次函数、二次函数性质求左侧最值，进而求参数范围.
【小问1详解】
由题设，即，解集为；
【小问2详解】
由，，其开口向上且对称轴为，
若时，，此时，满足；
若1a>2⇒0