重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题“”的否定为：，
故选：A.
2. 若全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集和交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：A.
3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对应关系及定义域逐项判断即可.
【详解】对于A：两函数对应关系不一样，不表示同一函数，；
对于B：，，两函数定义域不同，不表示同一函数；
对于C：：，，对应关系相同且定义域相同（都是），表示同一函数；
对于D：，两函数对应关系与定义域都不相同，不表示同一函数.
故选：C
4. 已知函数fx=ax2+bx+c，若，则的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断出的符号后可得正确的选项.
【详解】因为，故即，
而，故，
BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾，
故选：D.
5. 设，用x表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】取，则，则，故“”推不出“”.
若，设，其中，，
此时x−y=x−y+r1−r2≥1+r1−r2>0，故成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
6. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法错误的是（ ）
A. 函数是偶函数B. 方程有两个根
C. 不等式的解集为(1，2)D. 函数的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】根据定义写出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项.
详解】由题意可得，，
作出函数图象，如图所示：
由图象可知，为偶函数，故A正确；
方程有三个解，故B错误；
由，当时，解得，可得交点坐标，
由，当时，解得，可得交点坐标
由图像可知：mx>−x的解集为(1，2)，故C正确；
由图可知，的最大值为，值域为，故D正确.
故选：B
7. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域对称求出，再根据单调性和奇偶性可求不等式的解.
【详解】因为为偶函数，故即，
而在上单调递增且为偶函数，故在上为减函数，
而即为，
故，故或，
故选：C.
8. 对于函数，若存在，则称为不动点．若函数对恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可.
【详解】因为函数恒有两个不动点，即恒有两个不等实根，
显然，整理得，
所以，即，对恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】由不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A：由，可得：，故，正确；
对于B：若，则，正确；
对于C：若，则，所以，故正确；
对于D: 由，可得：，故错误.
故选：ABC
10. 已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为1
C. 的最大值为2D. 最小值为9
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断AB的正误，利用二次函数的性质可判断C的正误，利用“1”的代换结合基本不等式可判断D的正误.
【详解】对于A，，
而，故即，
故即，
当且仅当时等号成立即的最大值为，故A成立；
对于B，，
等号成立的条件为即，但，故等号不成立，
所以的最小值不为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
但此时，与a>0矛盾，故的最大值不为2，故C错误；
对于D，，
当且仅当时等号成立，故最小值为9，
故D正确；
故选：AD.
11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 的值域是
B. 对任意，都有
C. 对任意，都有
D. 若规定，其中，则
【答案】BD
【解析】
【分析】A：求出函数的解析式，根据单调性求值域；
B C：作出函数图像，根据凸函数性质判断，根据单调性判断；
D：根据已知条件推出一般结论，然后求解．
【详解】A：，
函数是奇函数，
当时，，
∴当时，时，，
，即函数的值域为，
故A错误；
B，C：，作出图像：
根据图像可知，在0,+∞，满足，，
在，由对称性可得：满足，故C错误；
若对任意x∈R，都有，
则等价为函数为增函数，
当时，
则为减函数，为减函数，
则增函数，
是奇函数，
∴fx在上为增函数，故B正确；
D：∵
，
，
所以
∴故D正确﹒
故选：BD
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案写在答题卡相应位置上．
12. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【详解】因为，∴，∴，∴解集为.
故答案为：．
13. 定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数.
【详解】由题设中新集合的定义可得：
，，故，
故其子集个数为，
故答案为：.
14. 设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则当的面积最大时，矩形的面积为_____
【答案】
【解析】
【分析】设，，计算可得，则，利用基本不等式可求最大值，从而可求对应的矩形的面积.
【详解】由题设有，由折叠过程可得，
故，设，，而，
故即即，
则，故，
所以，故，
所以，故，
令，
则，
当且仅当，故当时，的面积最大时，
矩形的面积为.
故答案为：.
四、解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集，集合，
（1）求;
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出集合利用交集的定义可求；
（2）求出，再就是否为空集分类讨论后可得参数的范围.
【小问1详解】
，，
故.
【小问2详解】
由（1）可得，故，
若，则即，符合；
若，则或，故，
综上，或.
16. 已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值;
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得，再分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以，为关于的方程的两根且，
所以1+2=−ba1×2=2aa>0，解得；
【小问2详解】
不等式，
即，即，
当时，解得，所以不等式的解集为；
当时，不等式即x+3mx−1>0，
若，即，此时不等式即，解得，所以不等式的解集为；
若−3m>1m0即为fx2>fc−cx，
故在−1,1上恒成立，
所以取，则，
故在−1,1上恒成立且，
所以即.
19. 我们知道，函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数．可以将其推广为:函数y=fx的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数．已知函数．
（1）求函数y=fx图象的对称中心;
（2）已知函数关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解；
（2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.
【小问1详解】
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
【小问2详解】
解：因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合，
则原问题转化为，
因为函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在0,1上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在0,2上递增，
又，
所以的值域为，即，
又，
所以，解得，
当即时，在0,1上递减，则函数在上也减函数，
所以函数在0,2上递减，
则，
又，
所以，解得，
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，解得，
综上所述实数m的取值范围为.
【点睛】此类问题可转化为函数值域的包含关系即可.
阶梯
用户用水量(吨)
综合水价(元/吨)
其中
自来水费(元/吨)
污水处理费(元/吨)
第一阶梯
(含)
3．50
2．50
1．00
第二阶梯
(含)
4．22
3．22
第二阶梯
360以上
5．90
4．90