初中北师大版（2024）2 图形的旋转课后复习题

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2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题；(重点，难点)
3．能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．
知识点01 旋转的概念
（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.
点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；
图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.
（2）旋转三要素： = 1 \* GB3 ①旋转方向； = 2 \* GB3 ②旋转中心； = 3 \* GB3 ③旋转角度
注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.
知识点02 旋转的性质
旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
知识点03 确定旋转中心
确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
知识点04 旋转作图
旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
题型01 判断生活中的旋转现象
【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．足球在地上的滚动B．电梯的运行C．热气球点火升空D．钟摆的摆动
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的定义，根据“在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转”即可解答．
【详解】解：A、足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意；
B、电梯的运行是平移，不符合题意；
C、热气球点火升空是平移，不符合题意；
D、钟摆的摆动是旋转，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）下列现象属于旋转的是（ ）
A．电梯的上下移动B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．
【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；
故选C．
2．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）下列生活中的实例是旋转的是（ ）
A．钟表的指针的转动B．汽车在笔直的公路上行驶
C．传送带上，瓶装饮料的移动D．足球飞入球网中
【答案】A
【分析】根据旋转变换和平移变换的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、钟表的指针的转动，属于旋转变换，故此选项符合题意；
B、汽车在笔直的公路上行驶，属于平移变换，故此选项不符合题意；
C、传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移变换，故此选项不符合题意；
D、足球飞入球网中，属于平移变换，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转和平移的概念，把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换；熟练掌握此定义是解题的关键．
题型02 找旋转中心、旋转角、对应点
【例题】（2023上·天津东丽·九年级校联考期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，
(1)旋转中心是______．旋转角为______度．
(2)求的长度．
【答案】(1)C；90
(2)
【分析】（1）根据旋转中心和旋转角的概念求解即可；
（2）根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：∵将绕点C逆时针旋转得到，
∴旋转中心是C，旋转角是和，
∵在正方形中，
∴旋转角为90度，
故答案为：C，90；
（2）解：由（1）知，旋转角是，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了旋转图形的概念和性质，勾股定理，准确识别旋转角是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，四边形是正方形，E是上的一点，是的旋转图形．

(1)由顺时针旋转到，旋转中心是________，旋转角的度数是________；
(2)连接，判断并说明的形状．
【答案】(1)点；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正方形的性质，熟练利用旋转性质是解题关键．
（1）利用旋转性质得出旋转中心，利用旋转位置得出旋转角即可；
（2）利用旋转性质可得到，得到，，根据正方形性质求出，即可判定出是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：由图可知，顺时针旋转到，旋转中心是点，旋转角是，
故答案为：点；；
（2）如图：连接，

是等腰直角三角形，理由如下：
旋转得到，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
即，
是等腰直角三角形．
2．（2023上·湖南永州·八年级校考开学考试）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点．

(1)旋转中心为点 ，并求出旋转角= 度；
(2)求出的度数和的长．
【答案】(1)A；130
(2)，
【分析】（1）由“逆时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，求出即可得旋转角；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解：，
即，
逆时针旋转一定角度后与重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为130；
故答案为：A；130
（2）解：逆时针旋转一定角度后与重合，
，，，
，
∵点C恰好成为AD的中点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
题型03 根据旋转的性质求解
【例题】（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键．
先根据直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得出，，根据勾股定理即可得出结论.
【详解】在Rt△ABC中，，，
，
将△ABC绕点A顺时针旋转得到，
，，
故答案为：
【变式训练】
1．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先由旋转的性质得到，进而得到，再由平行线的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15．
2．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将绕点A旋转到的位置，点E在边上，与交于点G．若，，则 ．
【答案】/65度
【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质求得，根据三角形内角和定理求得，再根据对顶角相等求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
题型04 求绕原点旋转90°点的坐标
【例题】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知点，将点绕原点逆时针方向旋转得点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接，过点A作轴于H，过点B作轴于，连接，然后根据点A的坐标求出，再根据旋转的性质求出，然后写出点的坐标即可．
【详解】解：如图，连接，过点A作轴于H，过点B作轴于，连接，
∵，
，
∵将点绕原点逆时针方向旋转得点，
，
∴点．
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标索中在x轴上，若，将三角板绕原点O旋转得到，则点A的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含角的直角三角形的性质和勾股定理．过点A作轴于点C，求出，的长度是解题关键．
【详解】解：过点A作轴于点C，
则，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
2．（2023下·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，B点在第一象限，A点在x轴正半轴上，，点B到x轴的距离是8，将绕点O逆时针旋转，点B对应点的坐标是 ．

【答案】
【分析】过B作于，过作轴于，构建，利用勾股定理得到，即可得出答案．
【详解】过B作于，过作轴于，

∴，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
题型05 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
【例题】（2023上·全国·九年级期末）平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，

，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，
，
，
，
在和，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当点在原点时，如图所示，

，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
；
当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，

，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，
，，
，，
，
在和，
，
，
，，
，
点在第四象限，
，
，
，
，
综上所述：当时，取到最小值，为，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．
【变式训练】
1．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解．
【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是，
故答案为：．
2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标，
【详解】解：过作轴于点，如图：

，
，
，
，
，，
，
，，
点A的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
题型06 平面直角坐标系中旋转作图
【例题】（2024上·吉林松原·九年级校联考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平而直角坐标系，的顶点都在格点上，已知点，．
(1)将向右平移个单位长度得到，请画出；
(2)将绕点顺时针旋转，画出所得的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图；
（1）根据题意将向右平移个单位长度得到；
（2）根据旋转的性质画出．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
【变式训练】
1．（2023上·四川自贡·九年级校考期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，
(1)画出将向下平移4个单位长度得到的；
(2)画出绕点C逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，点的坐标
【分析】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点的坐标；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
∴点的坐标．
2．（2024上·陕西延安·九年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1，是格点三角形．
(1)画出将向右平移2个单位得到的；
(2)画出将绕点O顺时针方向旋转得到的，并写出点的坐标．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析，
【分析】（1）分别找到点向右平移2个单位得到的对应点，顺次连接即可；
（2）分别找到点绕点O顺时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可得到所求的，再写出点的坐标即可；
此题考查了平移和旋转的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
【详解】（1）解：如解图，即为所求；
（2）如图，即为所求，点的坐标为．
题型07 坐标与旋转规律问题
【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，则三角形（2019）的直角顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变换—旋转规律型问题，解决本题的关键是找到循环节，确定循环的次数．
先用勾股定理求出的长，从而得到的周长为12，根据旋转变换可得的旋转变换为每3次一个循环，由于，由此可判断三角形（2019）与三角形（3）的状态一样，然后计算即可得到三角形（2019）的直角顶点坐标．
【详解】∵，，
，
，
的周长，
观察发现每连续3次旋转后与原来状态一样，
，
∴三角形（2019）与三角形（3）的状态一样，
∴三角形（2019）的直角顶点的横坐标为，
∴三角形（2019）的直角顶点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点、，则点的横坐标为 ．

【答案】
【分析】可求，，，，可得当为偶数时，，当为奇数时，，即可求解．
【详解】解：由题意得
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
当时，
，
，
故答案∶
【点睛】本题考查了动点坐标规律，找出规律是解题的关键你．
2．（2023下·广西·七年级广西大学附属中学校考期中）如图，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转241次，点A依次落在点，，，…，的位置，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】先求出，，，，，找到规律求解．
【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环．
，，，，
，，，，
，，，，
，
，，，，
当时，即，解得，
横坐标为，纵坐标为，
则的坐标，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
题型08 旋转综合题——几何变换
【例题】（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．

(1)若，写出旋转角及其度数；
(2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，，即可求解；
【详解】（1）当时，
，
∵旋转得到，其中旋转到.
∴旋转角为；
（2）∵，
，
∵旋转得到，
，
，
即，
，
即，
；
【点睛】该题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答该题的关键是掌握旋转的性质．
【变式训练】
1．（2023上·河南濮阳·八年级统考期中） 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系．
(1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ；
(2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系?请就图3 的情形进行证明；
②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ．
【答案】(1)
(2)①，，证明见解析，②或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，即可作答；
（2）①同理先证明，即有，，在和中，根据，，即有，则有，问题得解；②分两种情况：第一种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合在等腰中，，以及，即可作答．
【详解】（1）∵，
即，
在和中，，，，
∴
∴；
（2）①，，
证明：如图，交于点F，交于点M，
∵，
∴，
即，
在和中，，，，
∴
∴，，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此，；
②如图，
当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，如图I所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，如图II所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
故的度数为：或．
2．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论；
（2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论；
②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
一、单选题
1．（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（ ）
A．可回收物 B．有害垃圾
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形．
故选：A．
2．（2024上·河北唐山·七年级统考期末）如图，绕点O逆时针旋转，得到，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角以及旋转前后对应角相等是解题关键．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
故选：C
3．（2024上·江西上饶·九年级统考期末）如图，将一块含有的直角三角板（假定，）绕顶点A逆时针旋转得到，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，得到，即可得到答案．
【详解】解：依题意得，
，，
，
．
故选B．
4．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，那么的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，就可以得出，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．
【详解】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，

，．
作轴于，轴于，
．
，
，
．
在和△中，
，
，
∴，．
∵，
，，
，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得是解决问题的关键．
5．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质的应用，三角形内角和定理和等边对等角，根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，然后利用三角形内角和定理和等边对等角逐项求解判断即可．
【详解】①绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
∴，故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直，故③不正确；
④在中，
，，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，在中，以点A为旋转中心，将逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ．
【答案】/39度
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质；掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，得到，，利用等边对等角，进行计算即可．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：
，，
故答案为：．
7．（2023上·安徽淮南·九年级统考期末）如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点、关于点对称，
设点的坐标是，
则，，
解得，，
点的坐标是．
故答案为：．
8．（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，
，，
，，
，
故答案为：3．
9．（2024上·天津宁河·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点旋转后的对应点为，．如图，当点落在边上时，旋转角的大小为 ，点的坐标为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，由点，点得出，从而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，求出即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：点，点，
，
是等腰直角三角形，
，，
当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，
旋转角的大小为，，
点的坐标为，
故答案为：，．
10．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】10或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出，先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到．再分情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
绕点D顺时针旋转得到，
，
点D为的中点，
，
①当时，

，
，
；
②当时，

在中，，
在中，，
综上可知，的长为10或．
故答案为：10或．
三、解答题
11．（2023上·重庆忠县·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)将绕坐标原点O顺时针旋转为，写出点、、的坐标，并在图中作出；
(2)求的面积．
【答案】(1)图见解析，，，，
(2)
【分析】本题考查作图旋转变换，在网格图中求三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质可得点、、的坐标，画图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．点、、．
（2）解：的面积为．
12．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置（），连接．
(1)判断的形状为 ；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．
（1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论；
（2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出结论．
掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转90°到的位置，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）∵旋转，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
13．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F．
(1)直接写出的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，正确画出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得出，结合得出，即可得出结论；
（2）连接，根据旋转的性质得出，，则，进而得出，则，根据三线合一得出，即可求证．
【详解】（1）解：∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，将一个钝角（其中）绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由旋转的性质可得，，从而得出，为等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可推出；
（2）由平行线的性质结合旋转的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
15．（2024上·甘肃武威·九年级校联考期末）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接、与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证明即可求证；
（）由，得到，再根据得到，由三角形的外角性质即可求出的度数；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵将线段绕点旋转到的位置，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，，分别交于点F，G，连接．

(1)求证：；
(2)若，，．
①求的长；
②连接，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②5
【分析】（1）根据旋转性质和三角形的内角和定理可证得结论；
（2）①利用平行线的性质和含30度角的直角三角形的性质求得，再根据旋转性质得到，然后利用勾股定理求解即可；
②过E作交延长线于M，利用含30度角的直角三角形的性质求得，根据勾股定理求得，，由求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转性质，得，，
∵，，，
∴，即；
（2）解：①由旋转性质得，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过E作交延长线于M，

则，，
∴，
∴，，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查旋转性质、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
17．（2024上·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知中，，将沿着射线方向平移得到，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且．
(1)如图①，如果，，那么平移的距离等于______；（请直接写出答案）
(2)如图②，将绕着点逆时针旋转得到，连接，如果，，求的面积；
(3)如图③，在（2）题的条件下，分别以，为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，且满足，如果平移的距离等于，求出的面积．
【答案】(1)
(2)的面积为
(3)的面积为
【分析】本题主要考查图形的变换，理解图形的平移，图形旋转的性质，掌握梯形，三角形面积的计算方法是解题的关键．
（1）根据图形平移，线段的关系即可求解；
（2）根据图形的旋转，图形之间线段的关系，结合梯形，三角形面积的计算方法即可求解；
（3）根据正方形的面积的计算方法可得，再根据可算出，结合（2）中计算的面积的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴平移的距离为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，如图所示，
∴，，，
根据题意，，
∴四边形是直角梯形，
∴，，
∴
，
∴的面积为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴由（2）可知的面积为，
∴当平移的距离等于时，，，
∴，
∴的面积为．
18．（2024上·广东清远·七年级统考期末）三角形和三角形的顶点互相重合，，，，．
(1)如图1，当与重合，时， ；
(2)如图2，三角形固定不动，将三角形绕点旋转，使点落到的延长线上，当，且射线平分时，求的度数；
(3)三角形固定不动，将三角形绕点旋转，当且射线平分时，求．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据已知条件，结合角度之间的关系计算即可；
（2）连接，利用三角形的内角和定理得出，再由角平分线定理得出，再根据等腰三角形的性质得出，由平角为得出，最后再利用三角形的内角和定理求出即可；
（3）分两种情况，当点E在线段上面时，根据题意得，由，即可求得；当点E在线段下面时，可得，由即可求得．
【详解】（1）解：∵当与重合，，，
∴，
故答案为∶．
（2）连接，如下图：
∵，，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∵点落到的延长线上，
∴，
∴；
（3）①当点E在线段上面时，如图，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
则；
②当点E在线段下面时，如图，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
则；
故为或．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的性质三角形内角和定理和旋转所成角度，解题的关键是分类讨论思想的应用和应用角平分性质．