初中数学北师大版八年级下册2 图形的旋转测试题

学霸夯基——北师大版八年级下册

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一、单选题

1．在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是（　　）

A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）

【答案】A

【解析】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，

∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，

∴OA=OA′，∠AOA′=90°，

∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，

∴∠OAB=∠A′OB′，

在△AOB和△OA′B′中，

，

∴△AOB≌△OA′B′（AAS），

∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，

∴点A′的坐标为（﹣4，3）．

2．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，当B，C，A′在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　） 

A．150° B．120° C．60° D．30°

【答案】A

【解析】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，

∴BC与B'C是对应边，

∴旋转角∠BCB'＝180°−30°＝150°．

3．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，

∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAC=20°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．

4．如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G.若CG＝2，则CE的长为（　　） 

A． B． C．4 D．

【答案】B

【解析】解：如图所示，连接EG，

由旋转可得，△ADE≌△ABF，

∴AE＝AF，DE＝BF，

又∵AG⊥EF，

∴H为EF的中点，

∴AG垂直平分EF，

∴EG＝FG，

设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，

∴EG＝8﹣x，

∵∠C＝90°，

∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，

解得x＝ ，

∴CE的长为 .

5．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△APQ，使AP平行于CB，CB，AQ的延长线相交于点D．如果∠D=40°，则∠BAC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【答案】B

【解析】解：如图，由旋转变换的性质得：

∠PAQ=∠BAC；

∵AP∥BD，

∴∠PAQ=∠D=40°，

∴∠BAC=40°．

6．如图，在 中， 将 绕点 逆时针旋转得到 使点 落在 边上，连接 ，则 的长度是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：∵ ∠C= 90°，∠ABC=30°，AC=4cm，

由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，

∴ AB=2AC=8cm，

又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，

由旋转的性质可知： ∠CAB=∠BAB′=60∘ ，且 AB=AB′ ，

∴ ΔBAB′ 为等边三角形，

∴ BB′=AB=8 ，

7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A的对应点A2的坐标是（　　） 

A．（5，2） B．（1，0） C．（3，﹣1） D．（5，﹣2）

【答案】A

【解析】解：如图，△A2B2C1即为所求．

观察图象可知：A2（5，2）

8．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：△AOB与△DOE关于点O中心对称的只有D选项．

9．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段 那么 的对应点 的坐标是 （　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：作AD⊥x轴于点D，作A′D′⊥x轴于点D′，

则OD=A′D′，AD=OD′，OA=OA′，

∴△OAD≌△A′OD′（SSS），

∵A（-2，5），

∴OD=2，AD=5，

∴点A′的坐标为（5，2），

二、填空题

10．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2，那么正方形A′B′C′OA绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是　     　． 

【答案】1

【解析】解：如图，连接AC，BD，正方形ABCD的对角线相交于点O，

∴∠ODE=∠OAF=45°，OA=OD，∠AOD=90°，

∵∠EOF=∠DOE+∠DOF=90°，∠AOD=∠DOF+∠AOF=90°，

∴∠DOE=∠AOF，

在△DOE和△AOF中，

，

∴△DOE≌△AOF（ASA），

∴S△AOF=S△DOE，

∴四边形OEDF的面积=S△DOE+S△DOF=S△AOF+S△DOF=S△AOD，

∵S△AOD= S正方形ABCD= ×2×2=1，

∴四边形OEDF的面积为1，即两个正方形重叠部分的面积为1．

11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=8，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　     　． 

【答案】10

【解析】解：如图所示：过点F作FG⊥AC于G． 

由旋转的性质可知：CE=BC=8，CD=AC=12，∠ECD=∠BCA=90°．

∴AE=AC﹣CE=4．

∵FG⊥AC，CD⊥AC，

∴FG∥CD．

又∵F是ED的中点，

∴G是CE的中点，

∴EG=4，FG= CD=6．

∴AG=AE+EG=8．

∴AF= = =10．

12．在正方形ABCD中，AB=4 ，E为BC中点，连接AE，点F为AE上一点，FE=2，FG⊥AE交DC于G，将GF绕着G点逆时针旋转使得F点正好在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG交AB于N点，交AE于M点，则S△MNF=　                                　． 

【答案】

【解析】解：过B作BP⊥AE于P， 

∵正方形ABCD中，AB=4 ，E为BC中点，

∴ BC=2 ，

∴AE= =10，

∴BP= = =4，

∴PE= = =2，

∴EF=EP，

∴F与P重合，

∴B，F，G共线，

过F作OS⊥DC，交AB于O，DC于S，则OS⊥AB，

过F作FQ⊥BC于Q，

sin∠FBE= ，

∴ ，

∴FQ= ，

∴BQ= ，

易得矩形OFQB，

∴FO=BQ= ，

∴FS=4 ﹣ = ，AO=AB﹣OB=4 ﹣ = ，

∵GF⊥AE，

∴∠AFG=90°，

∴∠GFS+∠AFH=∠AFH+∠FAH，

∴∠GFS=∠FAB，

∴tan∠FAB=tan∠GFS= ，

∴ = ，

∴GS= ，

∴DG=DS﹣GS=AO﹣GS= ﹣ =2 ，

∵GH=GF，

∴DH2+DG2=GS2+FS2，

∴DH2+（2 ）2= ，

∴DH=4，

∴AH=4 ﹣4，

tan∠ANH=tan∠DHG= ，

∴ ，

AN= ，

过M作MR⊥AB于R，

设MR=x，则AR=2x，

tan∠ANH=tan∠DHG= ，

∴ ，

∴RN= ，

由AR+RN=AN得：2x+ = ，

x=6﹣2 ，

∴MR=6﹣2 ，

∴S△MNF=S△ANF﹣S△AMN= AN•FO﹣ AN•MR= AN（FO﹣MR）= × ×（ ﹣6+2 ）= ．

13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，AE与BC交于点F，若∠C=20°，则∠CFE的大小是　     　．

【答案】60°

【解析】∵△ABC绕点A顺时针旋转40°得△ADE，

∴∠CAE=40°．

∵∠C=20°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFE=60°．

三、作图题

14．作图： 

如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°．

如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．

如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．

如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°．

【答案】解： 如图甲，点P′为所求； 

如图乙，线段A′B′为所求；

如图丙，△A′B′C′为所求；

如图丁，△A′BC′为所求．

【解析】（1）连接OP，将OP顺时针旋转45°，即可得到P的对应点P′； 根据旋转角为90°，旋转方向是逆时针，旋转中心为O可找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接即可； 根据旋转角为120°，旋转方向是顺时针，旋转中心为O可找出旋转后各点的对应点，然后顺次连接即可；（4）根据旋转角为180°，旋转中心为B可找出各点的对应点，然后顺次连接即可． 

四、解答题

15．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边上的一点，把线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．

（1）求证：AE∥BC；

（2）当点D是AB的中点时，CE的长 ；

（3）当四边形ABCE是平行四边形时，CE的长 ．

【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，

∴CD=CE，∠DCE=60°，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中

，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=60°，

∴∠CAE=∠ACB=60°，

∴AE∥BC；

（2）解：∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D是AB的中点，

∴CD⊥BD，BD=1，

在Rt△BDC中，CD===，

∴CE=CD=；

（3）解：∵四边形ABCE是平行四边形时，

∴CE=AB=2．

故答案为，2．

【解析】（1）利用等边三角形的性质得AC=BC，∠B=∠ACB=60°，再根据旋转的性质得CD=CE，∠DCE=60°，则∠BCD=∠ACE，于是可根据“SAS”判断△BCD≌△ACE，得到∠B=∠CAE=60°，所以∠CAE=∠ACB，根据平行线的判定即可得到AE∥BC；

（2）利用等边三角形的性质得CD⊥BD，BD=1，则根据勾股定理可计算出CD=，然后利用旋转得性质有CE=CD=；

（3）根据平行四边形的性质求解．

16．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣7，1），B（1，1），C（1，7）．线段DE的端点坐标是D（7，﹣1），E（﹣1，﹣7）．

（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；

（3）画出（2）中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形．

【答案】解：（1）将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位．（其它平移方式也可以）；

（2）根据A，C对应点的坐标即可得出F（﹣l，﹣1）；

（3）画出如图所示的正确图形．

【解析】（1）将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位即可得出符合要求的答案；

（2）根据A，C对应点的坐标特点，即可得出F点的坐标；

（3）分别将D，E，F，A，B，C绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图象即可．

17．如图所示的图案是由7个正六边形组成的,下面是三名同学对该图案的形成过程的不同见解.

甲:该图案可看成是由其中一个正六边形经过6次平移而形成的.

乙:该图案可看成是由图案的一半经过轴对称变换而形成的.

丙:该图案可看成是由图案的一半经过中心对称变换而形成的.

你认为上述观点都正确吗?

【答案】解:甲从平移的角度,以一个正六边形为基本图形进行分析;乙从轴对称的角度,以图案的一半为基本图形进行分析;丙从中心对称的角度,以图案的一半为基本图形进行分析.虽然各自分析的角度不同,但是他们的观点都是正确的

【解析】利用平移、轴对称、中心对称的相关知识解答此题即可。

18．如图所示，在Rt中，，OA=OB=6,，将 绕点O 沿逆时针方向旋转90得到．

（1）线段0A1的长是         ，的度数是         ；
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形.

【答案】解：（1）6，135°；
（2）∵∠AOA1=∠OA1B1=90°
∴OA∥A1B1
又OA=AB=A1B1，

【解析】

（1）旋转后的图形与原图形全等知OA1与OA相等，∠AOB1=∠AOA1+∠A1OB1=90°+45°=135°.
(2)根据一组对边平等且相等的四边形是平等四边形可证明四边形OAA1B1是平行四边形.

19．如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标． 

【答案】解：△A1B1C1如图所示； 

A1（0，﹣1），B1（﹣3，1），C1（﹣2，﹣2）．

【解析】先补成网格结构，再根据平面直角坐标系找出点A、B、C关于原点O的对称点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可；再根据平面直角坐标系写出A1，B1，C1的坐标．