(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第04讲三角函数(原卷版+解析)

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了解任意角的概念与弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式。
理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan α.
经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换。
结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义，能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。
【基础知识】
1．角的概念
(1)任意角：
①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；
②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad常常省略不写）．
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq \f(l,r).正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2.
3．任意角的三角函数
（1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)时，sin α＝v，cs α＝μ，tan α＝eq \f(v,μ)(x≠0)．
（2）比值式定义：设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)，但若不是单位圆时，设|OP|＝r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
（3）三角函数值在各象限的符号：
记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan α.
5.诱导公式
统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
6.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
7.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0，0)，(eq \f(π,2)，1)，(π，0)，(eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)．
余弦函数y＝cs x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0，1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1)．
8.三角函数的周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为2kπ，k∈Z，最小正周期均为2π；正切函数也是周期函数，周期为kπ，k∈Z，最小正周期为π．
9．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, eq \f(π,2), π, eq \f(3π,2), 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象
10．三角函数图象变换
11．函数y=Asin(ωx+φ)的几个概念
若函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝eq \f(2π,ω)叫做周期，f＝eq \f(1,T)叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
12．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β (S(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β (S(α－β))
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β (C(α＋β))
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β (C(α－β))
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) (T(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (T(α－β))
13．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α (S2α)
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α (C2α)
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α) (T2α)
14．公式的变形和逆用
在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
升幂公式：1＋cs 2α＝2 cs2α，1－cs 2α＝2sin2α
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
配方变形：1＋sin α＝(sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2))2，
1－sin α＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
15．辅助角公式
asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
【考点剖析】
考点一：终边相同角的表示
例1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．

变1．终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为________．

解题策略 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
考点二：三角函数的定义
例2．已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且csθ＝－eq \f(5,13)，则sinθ＝_______，tanθ＝_______．


变2．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－eq \f(4,5)，则m的值为________.

解题策略 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，应先需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.然后根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号．
考点三：三角函数值的符号判定
例3． 若tan α>0，则________. (填序号)
A.sin α>0 B.cs α>0 C.sin 2α>0 D.cs 2α>0


变3．若sin αtan α0 D.tan300°0 C.sin 2α>0 D.cs 2α>0
答案 C.
解析 排除法，取α=eq \f(π,3) ，满足tan α>0，但cs 2α