(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第05讲平面向量(原卷版+解析)

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1．了解向量的概念。
2．掌握向量的运算。
3.掌握向量基本定理及坐标表示。
4.能利用向量解决相关应用问题。
【基础知识】
一．位移与向量
1.位移被“方向”和“距离”唯一确定，其中“距离”也被称为位移的大小.一般的，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。
2.我们用有向线段来直观的表示向量，通常有向线段不带箭头的端点被称为向量的始点（或起点），带箭头的端点被称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段所表示的向量，可以用符号简记为，此时，向量的模用表示.
3.始点和终点相同的向量称为零向量，表示为：，
4.模长等于1的向量称为单位向量，表示为：，
二．向量的相等与平行
1.一般的，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量等于向量，记作，
2.如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量与向量平行，记作，，两个向量平行也称为两个向量共线。
注意：
零向量的方向是任意方向，所以规定零向量与任何向量都平行。
三．向量加法的三角形法则
1.向量加法的定义
一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点A,作，，作出向量,则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量）。
向量与的和向量记作,因此,
2.三角形法则
一般的，当与不共线时，求它们的和可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。
3.对任意向量，有
4. 向量的模与向量的模之间满足不等式
四．向量加法的平行四边形法则
1.一般地，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图所示，平面上任意给定两个不共线向量,在该平面内任取一点A,作，，以，为邻边作一个平行四边形,作出向量,因为,因此.
上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.
2.交换律：对任意向量，都有
五．多个向量相加
1. 结合律：对任意向量，都有
2.因为向量的运算满足交换律和结合律，所有有限个向量相加的结果是唯一的，可以调换其中向量的位置，也可以决定相加的顺序。为了得到有限个向量的和，只需将这些向量收尾相接，那么第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和。
六．向量的减法的三角形法则
1.向量加法的定义
一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点O,作，，作出向量,则向量称为向量与的差（也称为向量与的差向量）。
向量与的差向量记作,因此,
2.三角形法则
一般的，当与不共线时，求它们的差可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量差法的三角形法则。
3.相反向量
给定一个向量，把与这个向量方向相反大小相等的向量称为相反向量。向量的相反向量记作
4.对任意向量，有
5.向量的减法可看做向量加法的逆运算，即
6.对任意向量，满足不等式
七．数乘向量
1. 数乘向量的定义
一般地，给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量，记作,其中：
（1)当且时，的模为,而且的方向如下：
①当时，与的方向相同；
②当时，与的方向相反．
（2)当或时，.
上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。
由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即.
当和都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量。可以看出.
2.向量平行
如果存在实数，使得，则。
3.三点共线
一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，所以，三点共线。
八．向量的加法与数乘向量的混合运算
1.一般地，对于实数和，以及向量，有.
2.一般地，对于实数，以及向量与向量，有.
九.向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及他们的混合运算，统称为向量的线性运算。
九．共线向量基本定理数乘向量
一般地，有如下共线向量基本定理：
如果且,则存在唯一的实数入，使得.
在共线向量基本定理中：
（1) 时，通常称为能用表示。
（2)其中的“唯一”指的是，如果还有,则有.
这是因为：由可知,如果,则,与已知矛盾，所以
,即.
十．平面向量基本定理
一般地，有如下平面向量基本定理：
如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得
.
平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用表示时，表达式唯一，即如果
,那么.
基底：平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量,都可以写成与的线性运算（简称为用与表示向量),而且表达式唯一，因此，平面内不共线的两个向量与组成的集合,常称为该平面上向量的一组基底，此时如果,则称为在基底下的分解式。
十一．平面向量的坐标
如果平面向量的基底中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。
一般地，给定平面内两个互相垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称
为向量的坐标，记作
十二．平面上向量的运算与坐标的关系
假设平面上两个向量，满足，则
（1）；
（2）；
（3），；
（4），；
十三．平面直角坐标系内两点间距离公式与中点坐标公式
设为平面直角坐标系中的两点，其中点为M,则
（1）
（2）
十四．平面向量平行的坐标表示
；
【考点剖析】
考点一：向量的概念与表示
例1．下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3

变1．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积D．余弦线、速度

考点二：向量的模、零向量与单位向量
例2．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3

变2．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数

考点三：向量相等与向量平行（共线）
例3．下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行

变3．已知向量，且，则向量的方向（ ）
A．与向量的方向相同B．与向量的方向相反
C．与向量的方向相同D．不确定

考点四：向量加法的三角形法则
例4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．

变4．在平行四边形中， ，，则等于（ ）
A．B．
C．D．

考点五：向量加法的平行四边形法则
例5．已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．

变5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D.设，，则向量＝（ ）
A．B．
C．D．

考点六：向量加法的运算律
例6．化简：（ ）
A．B．C．D．

变6．向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．

考点七：向量减法的法则
例7．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A．B．
C．D．

变7．在中，，分别是，的中点，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．

考点八：相反向量
例8．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．
A．B．C．D．

变8．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．

考点九：向量减法的运算律
例9．化简（ ）
A．B．C．D．

变9．化简：（ ）
A．B．C．D．

考点十：向量数乘有关的计算
例10．设是非零向量，，是非零实数，则下列结论中正确的是
A．与的方向相同B．与的方向相反
C．与的方向相同D．

变10．设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反B．与的方向相同
C．D．

考点十一：向量数乘几何应用
例11．若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A．B．C．D．

变11．已知，设，则（ ）．
A．B．C．D．

考点十二：平面向量的线性运算
例12．等于（ ）
A． B．C．D．0

变12．在中，D是AB边上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．

考点十三：基底的概念及辨析
例13．若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（ ）
A．B．
C．D．

变13．设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与

考点十四：利用平面向量基本定理求参数
例14．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A．B．C．1D．

变14．如图，在中，，，若，则值为（ ）
A．B．C．D．

考点十五：用坐标表示平面向量
例15．如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________．

变15．在平面直角坐标系中，若，，则________．

考点十六：平面向量线性运算的坐标表示
例16．已知＝(2，1)，＝(－3，4)，求的坐标．


变16．已知向量，，则（ ）
A．B．5C．7D．25

考点十七：直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式
例17．求线段的中点坐标：
（1）；（2）；（3）．

变17．已知，，且C与A关于点B对称，求C的坐标.

考点十八：由向量平行（共线）求参数
例18．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．4D．8

变18．若向量，，，则（ ）
A．B．C．D．

考点十九：由坐标解决三点共线问题
例19．若点，，三点共线，则（ ）
A．2B．4C．3D．5


变19．若，，三点共线，则实数的值是（ ）
A．6B．C．D．2

考点二十：向量在平面几何中的应用
例20．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.

变20．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.

考点二十一：向量在平面几何中的应用-力的合成
例21．如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直于斜面向上的弹力．已知，求和的大小．

变21．如图，一个三角形角铁支架ABC安装在墙壁上，AB∶AC∶BC=3∶4∶5，在B处挂一个6kg的物体，求角铁AB与BC所受力的大小（取）．

【真题演练】
1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．

2．（2021·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A．B．
C．D．

3.（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．

4．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.

5．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．

6. （2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．

【过关检测】
1．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．

2．（2021·福建省漳州第一中学高三阶段练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（ ）
A．B．C．D．

3．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．

4．（2022·广东清远·高三期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4

5．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A．B．C．D．

6．（2021·贵州金沙·高二阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，，是平行四边形所在平面内一点，且．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．2

二、多选题
7．（2021·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）已知平面向量，且，则（ ）
A．B．向量与的夹角为
C．D．

三、填空题
8．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）下列命题中，正确命题的序号为______．
①单位向量都相等；②若向量，满足，则；
③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量；
⑤向量，共线与向量意义是相同的．

9．（2021·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________.

10.（2022·北京海淀·高三期末）若，且，则______________，的最大值为______________.

四、解答题
11．（2022·北京昌平·高一期末）设向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求证：A，，三点共线.

12．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知，，的夹角是60°，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.

第05讲 平面向量
【学习目标】
1．了解向量的概念。
2．掌握向量的运算。
3.掌握向量基本定理及坐标表示。
4.能利用向量解决相关应用问题。
【基础知识】
一．位移与向量
1.位移被“方向”和“距离”唯一确定，其中“距离”也被称为位移的大小.一般的，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。
2.我们用有向线段来直观的表示向量，通常有向线段不带箭头的端点被称为向量的始点（或起点），带箭头的端点被称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段所表示的向量，可以用符号简记为，此时，向量的模用表示.
3.始点和终点相同的向量称为零向量，表示为：，
4.模长等于1的向量称为单位向量，表示为：，
二．向量的相等与平行
1.一般的，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量等于向量，记作，
2.如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量与向量平行，记作，，两个向量平行也称为两个向量共线。
注意：
零向量的方向是任意方向，所以规定零向量与任何向量都平行。
三．向量加法的三角形法则
1.向量加法的定义
一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点A,作，，作出向量,则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量）。
向量与的和向量记作,因此,
2.三角形法则
一般的，当与不共线时，求它们的和可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。
3.对任意向量，有
4. 向量的模与向量的模之间满足不等式
四．向量加法的平行四边形法则
1.一般地，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图所示，平面上任意给定两个不共线向量,在该平面内任取一点A,作，，以，为邻边作一个平行四边形,作出向量,因为,因此.
上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.
2.交换律：对任意向量，都有
五．多个向量相加
1. 结合律：对任意向量，都有
2.因为向量的运算满足交换律和结合律，所有有限个向量相加的结果是唯一的，可以调换其中向量的位置，也可以决定相加的顺序。为了得到有限个向量的和，只需将这些向量收尾相接，那么第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和。
六．向量的减法的三角形法则
1.向量加法的定义
一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点O,作，，作出向量,则向量称为向量与的差（也称为向量与的差向量）。
向量与的差向量记作,因此,
2.三角形法则
一般的，当与不共线时，求它们的差可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量差法的三角形法则。
3.相反向量
给定一个向量，把与这个向量方向相反大小相等的向量称为相反向量。向量的相反向量记作
4.对任意向量，有
5.向量的减法可看做向量加法的逆运算，即
6.对任意向量，满足不等式
七．数乘向量
1. 数乘向量的定义
一般地，给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量，记作,其中：
（1)当且时，的模为,而且的方向如下：
①当时，与的方向相同；
②当时，与的方向相反．
（2)当或时，.
上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。
由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即.
当和都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量。可以看出.
2.向量平行
如果存在实数，使得，则。
3.三点共线
一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，所以，三点共线。
八．向量的加法与数乘向量的混合运算
1.一般地，对于实数和，以及向量，有.
2.一般地，对于实数，以及向量与向量，有.
九.向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及他们的混合运算，统称为向量的线性运算。
九．共线向量基本定理数乘向量
一般地，有如下共线向量基本定理：
如果且,则存在唯一的实数入，使得.
在共线向量基本定理中：
（1) 时，通常称为能用表示。
（2)其中的“唯一”指的是，如果还有,则有.
这是因为：由可知,如果,则,与已知矛盾，所以
,即.
十．平面向量基本定理
一般地，有如下平面向量基本定理：
如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得
.
平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用表示时，表达式唯一，即如果
,那么.
基底：平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量,都可以写成与的线性运算（简称为用与表示向量),而且表达式唯一，因此，平面内不共线的两个向量与组成的集合,常称为该平面上向量的一组基底，此时如果,则称为在基底下的分解式。
十一．平面向量的坐标
如果平面向量的基底中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。
一般地，给定平面内两个互相垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称
为向量的坐标，记作
十二．平面上向量的运算与坐标的关系
假设平面上两个向量，满足，则
（1）；
（2）；
（3），；
（4），；
十三．平面直角坐标系内两点间距离公式与中点坐标公式
设为平面直角坐标系中的两点，其中点为M,则
（1）
（2）
十四．平面向量平行的坐标表示
；
【考点剖析】
考点一：向量的概念与表示
例1．下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
根据物理量的定义及性质判断是否为向量即可.
【详解】
根据物理量的定义、性质知：质量、路程是标量，位移、重力、加速度为矢量即向量，
∴③④⑤是向量，①②是标量.
故选：C
变1．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积D．余弦线、速度
【答案】D
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
考点二：向量的模、零向量与单位向量
例2．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.
【详解】
由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；
故选：C
变2．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
【答案】A
【分析】
根据向量的概念、零向量的定义及向量模的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：与的长度相等，方向相反，正确；
B：两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C：零向量的方向任意，故错误；
D：向量的模是一个非负实数，故错误.
故选：A
考点三：向量相等与向量平行（共线）
例3．下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】C
【分析】
根据共线向量（即平行向量）的定义即可求解.
【详解】
解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；
对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；
对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；
对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．
故选：C.
变3．已知向量，且，则向量的方向（ ）
A．与向量的方向相同B．与向量的方向相反
C．与向量的方向相同D．不确定
【答案】A
【分析】
分别在和方向相同和相反两种情况下，结合模长大小关系可得结论.
【详解】
若和方向相同，则它们的和的方向应该与的方向相同；
若和方向相反，而的模大于的模，则它们的和的方向与的方向相同.
综上所述：向量的方向与向量的方向相同.
故选：A.
考点四：向量加法的三角形法则
例4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据向量加法的三角形法则计算可得；
【详解】
解：
故选：A
变4．在平行四边形中， ，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据向量的运算法则，得到，即可求得.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
故选：C.
考点五：向量加法的平行四边形法则
例5．已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：B
变5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D.设，，则向量＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
设△ABC的外接圆圆心为O，如图，连接OD，BD，由题意可得AC为△ABC的外接圆的直径，从而可得AB＝OA＝OD，结合已知条件可得四边形ABDO是平行四边形，再利用向量的加法法则可得结论
【详解】
由题意知，AC为△ABC的外接圆的直径．
设△ABC的外接圆圆心为O，如图，连接OD，BD，则AB＝OA＝OD.
所以,
因为，
所以
所以AB∥OD，
因为AB＝OD.
所以四边形ABDO是平行四边形，
所以
故选：C.
考点六：向量加法的运算律
例6．化简：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据向量的加法法则，计算即可得答案.
【详解】
.
故选：B
变6．向量化简后等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据向量的加法运算即可得到结果.
【详解】
故选：D
考点七：向量减法的法则
例7．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由向量的线性运算，可得解
【详解】
由题意，．
故选：B
变7．在中，，分别是，的中点，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据向量减法的三角形法则，得到，即可求解.
【详解】
在中，，分别是，的中点，若，，
可得.
故选：C.
考点八：相反向量
例8．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据相反向量的定义逐项判断即可．
【详解】
解：由平行向量的定义可知项正确；
因为和的方向相反，所以，故项正确；
由相反向量的定义可知，故选项正确；
由相反向量的定义知，故项错误；
故选：C．
变8．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为实数0C．与方向相同D．
【答案】D
【分析】
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误，方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
考点九：向量减法的运算律
例9．化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量加减法的运算法则和运算律即可得到答案.
【详解】
故选：D.
变9．化简：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据向量加减法公式直接结算结果.
【详解】

.
故选：C
考点十：向量数乘有关的计算
例10．设是非零向量，，是非零实数，则下列结论中正确的是
A．与的方向相同B．与的方向相反
C．与的方向相同D．
【答案】C
【分析】
根据向量的数乘运算，可直接得出结果.
【详解】
只有当时，才有与的方向相同，与的方向相反，且.因为，所以与的方向相同.
故选C
【点睛】
本题主要考查向量的数乘，熟记概念即可，属于基础题型.
变10．设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反B．与的方向相同
C．D．
【答案】B
【分析】
根据向量共线的概念以及向量的模长公式，对题目中的选项进行判断即可．
【详解】
解：是非零向量，是非零实数，
与的方向相反或相同，与的方向相同，故错误，正确；
当时，则，故错误；
为一个实数，为与向量共线的向量，两者无法比较，故错误；
故选：．
【点睛】
本题考查了平面向量的共线概念与向量模长的应用问题，属于基础题．
考点十一：向量数乘几何应用
例11．若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据向量的数乘的定义判断．
【详解】
如图，由知在延长线上，且，
因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．
故选：D．
变11．已知，设，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据向量的数乘定义求解．
【详解】
由得是线段上的点，且，如图，
因此，，．
故选：D．
考点十二：平面向量的线性运算
例12．等于（ ）
A． B．C．D．0
【答案】C
【解析】
故选C
变12．在中，D是AB边上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用图形中线段的关系，结合平面向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
故选：D.
考点十三：基底的概念及辨析
例13．若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据平面中基底是两个不共线向量，逐个分析判断即可得解.
【详解】
由是平面内的一组基底，则非零不共线，
由一组基底必不共线，可得：
对A，，故共线，不符题意；
对B，不能互相线性表示，故不共线，满足题意；
对C，，故共线，不满足题意；
对D，，故共线，不满足题意.
故选：B
变13．设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】
根据基底不共线即可判断.
【详解】
解：，是平面内不共线的两个向量，
对A，与不共线，故可以作为基底，故A错误；
对B，与不共线，故可以作为基底，故B错误；
对C，，故与共线，
不可以作为基底，故C正确；
对D，与不共线，故可以作为基底，故D错误；
故选：C.
考点十四：利用平面向量基本定理求参数
例14．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值.
【详解】
由平面向量基本定理，
化简
，
所以，即，
故选：A．
变14．如图，在中，，，若，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出，得λ＝，μ＝，即得解.
【详解】
因为＋μ，
所以λ＝，μ＝，
则λ＋μ＝＋＝.
故选：B
考点十五：用坐标表示平面向量
例15．如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________．
【答案】
【分析】
将向量，，分别向基底，所在的直线分解，由平面向量的坐标表示即可求解.
【详解】
将向量，，分别向基底，所在的直线分解，
则，，，
所以，，，
故答案为：；；.
变15．在平面直角坐标系中，若，，则________．
【答案】
【分析】
根据向量坐标和点坐标的关系，即得解
【详解】
由题意，根据向量坐标和点坐标的关系
故答案为：
考点十六：平面向量线性运算的坐标表示
例16．已知＝(2，1)，＝(－3，4)，求的坐标．
【答案】．
【分析】
根据向量线性运算的坐标表示即可直接求出答案.
【详解】
因为＝(2，1)，＝(－3，4)，
所以＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)，
＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．

变16．已知向量，，则（ ）
A．B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】
根据向量的坐标运算求解模长即可.
【详解】
根据题意，向量，，
则，故.
故选：B．
考点十七：直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式
例17．求线段的中点坐标：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】
根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得
【详解】
解：（1）
，，∴的中点坐标为；
（2）
，，∴的中点坐标为；
（3）
，，∴的中点坐标为．
【点睛】
本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.

变17．已知，，且C与A关于点B对称，求C的坐标.
【答案】
【分析】
利用中点坐标公式计算可得.
【详解】
解：∵C与A关于点、B对称，
∴点B是线段的中点.
设C点坐标为，
则，，
解得，.即点的坐标为.
【点睛】
本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.
考点十八：由向量平行（共线）求参数
例18．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】A
【分析】
利用向量平行的条件列方程即可求解.
【详解】
向量，，且，
所以，解得：.
故选：A
变18．若向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由向量平行的坐标表示可构造方程求得.
【详解】
，，解得：.
故选：B.
考点十九：由坐标解决三点共线问题
例19．若点，，三点共线，则（ ）
A．2B．4C．3D．5
【答案】D
【分析】
三点共线，即，利用平面向量共线的坐标表示列方程解出．
【详解】
点，，三点共线，则
，，解得
故选：D

变19．若，，三点共线，则实数的值是（ ）
A．6B．C．D．2
【答案】B
【分析】
由，，三点共线，则和共线，进而利用坐标运算即可.
【详解】
因为三点，，共线，
所以 ,
若，，三点共线，则和共线
可得：，
解得；
故选：B
考点二十：向量在平面几何中的应用
例20．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.
【答案】证明见解析
【分析】
由题知，，进而根据题意得，再根据向量共线即可证明.
【详解】
证明：因为四边形是平行四边形，
所以，，
因为，，
所以，即，且，
所以四边形是平行四边形.
变20．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）用向量表示，得出向量与、的关系，再根据向量与共线，得出向量与共线即可；
（2）根据向量与反向，且||=3||得出向量与的数量关系，即得PQ：AB的值.
【详解】
（1）∵Q为BD中点，∴，
又P为AC中点，∴；
∴2()，
又向量与共线，
设向量，
则2(1+λ)，
∴①，
又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1，
∴，即PQAB；
（2）∵向量与反向，且||=3||；
所以，即λ代入①式，
得，
∴PQ：AB.
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握平面向量的线性运算是解题关键.
考点二十一：向量在平面几何中的应用-力的合成
例21．如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直于斜面向上的弹力．已知，求和的大小．
【答案】，.
【分析】
把物体受到的重力在斜面和垂直于斜面方向上分解，依据物体处于平衡状态物体所受合力为零即可得解.
【详解】
如图，由向量加法的平行四边形法则知，，，计算可得，．
变21．如图，一个三角形角铁支架ABC安装在墙壁上，AB∶AC∶BC=3∶4∶5，在B处挂一个6kg的物体，求角铁AB与BC所受力的大小（取）．
【答案】；.
【分析】
根据的合成与分解原理，利用向量的加法运算的平行四边形法则，进行受力分析，然后计算.
【详解】
解：如图所示进行受力分析，,
，
∵AB∶AC∶BC=3∶4∶5，
∴，∴；.
;
,
所以角铁AB与BC所受力的大小、.
【真题演练】
1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结，则为的中位线，
，
故选：A
2．（2021·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由向量的线性运算，可得解
【详解】
由题意，．
故选：B
3.（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【分析】
由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得，
因此，.
故答案为：.
4．（2021·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
【答案】
【分析】
根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】
∵
∴
∴.
故答案为：.
5．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
6. （2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】1
【分析】
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
【过关检测】
1．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
且与不同向，进而求解即可得答案.
【详解】
解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，
故.
故选:D.
2．（2021·福建省漳州第一中学高三阶段练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由三点共线得出满足的关系，然后由基本不等式得出结论．
【详解】
因为是△ABC的重心，所以，
又，，所以，
因为三点共线，所以，即，
显然，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最小值是．
故选：A．
3．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.
【详解】
设，如图所示：
则，
因为与的夹角为120°，
所以，
因为，且的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，
所以的取值范围为，
故选；A
4．（2022·广东清远·高三期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
【答案】C
【分析】
延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.
【详解】
如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C.
5．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【详解】
由中，，且边上一点满足，如图所示，
根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
6．（2021·贵州金沙·高二阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，，，是平行四边形所在平面内一点，且．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【分析】
根据平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和运算法则，即可求解.
【详解】
如图，取的中点，则．
因为，所以，，三点共线．
连接并取的中点，连接，则．
因为，，，，所以．
又，所以，．
当时，最小，且最小值为，所以的最小值为．
故选：B.
二、多选题
7．（2021·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）已知平面向量，且，则（ ）
A．B．向量与的夹角为
C．D．
【答案】BD
【分析】
由条件可得，，然后根据向量的运算逐一判断即可.
【详解】
由得，
由得，
，选项A错误.
向量与的夹角为，选项B正确；
，
而，
，选项C错误；
，选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
8．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）下列命题中，正确命题的序号为______．
①单位向量都相等；②若向量，满足，则；
③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量；
⑤向量，共线与向量意义是相同的．
【答案】④⑤
【分析】
由向量中单位向量，向量相等、零向量和共线向量的定义进行判断，即可得出答案 .
【详解】
对于①. 单位向量方向不同时，不相等，故不正确.
对于②. 向量，满足时，若方向不同时，不相等，故不正确.
对于③. 有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量.
向量可以用有向线段来表示，二者不等同，故不正确,
对于④.根据零向量的定义，正确.
对于⑤. 根据共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正确.
故答案为：④⑤
9．（2021·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】
如图，以点为坐标系原点，所在直线为轴，DA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性，只需求解点在线段上运动时的最小值即可.
【详解】
以点为坐标系原点，所在直线为轴，DA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设，
则，
所以
因为，所以，所以的最小值为.
故答案为：
10.（2022·北京海淀·高三期末）若，且，则______________，的最大值为______________.
【答案】2
【分析】
由即可求，结合已知条件可得在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，应用数形结合法判断的最大时的位置，即可确定最大值.
【详解】
由，可得，
由题设，在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，若，如下图示，

∴，要使的最大，只需共线，在上的投影最短，
由图知：共线时，的最大为.
故答案为：2，.
【点睛】
关键点点睛：由已知条件将向量转化为图形形式，数形结合法分析的最大时动点的位置，即可求最大值.
四、解答题
11．（2022·北京昌平·高一期末）设向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求证：A，，三点共线.
【答案】（1）1（2）2（3）证明见解析
【分析】
（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
（1）
，；
（2）
，所以，解得：，所以；
（3）
因为，所以，所以A，，三点共线.
12．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知，，的夹角是60°，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出；
（2）先求出，根据向量夹角关系即可求出.
（1）
由题可得，
，所以；
（2）
，
设和的夹角为，
所以.