(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第06讲三角恒等变换(原卷版+解析)

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1．掌握两角和与差的三角函数。
2．掌握二倍角的三角函数。
3.掌握常见的几个三角恒等式。
4.熟练应用三角恒等变换解决三角函数问题。
【基础知识】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角差的余弦公式:cs(α-β)= cs αcs β+sin αsin β;
两角和的余弦公式:cs(α+β)= cs αcs β-sin αsin β;
两角差的正弦公式:sin(α-β)= sin αcs β-cs αsin β;
两角和的正弦公式:sin(α+β)= sin αcs β+cs αsin β;
两角和的正切公式:tan(α+β)= tanα+tanβ1-tanαtanβ;
两角差的正切公式:tan(α-β)= tanα-tanβ1+tanαtanβ.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcs α;
(2)cs 2α= cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=2tanα1-tan2α.
3.半角公式
sinα2=±1-csα2,
csα2=±1+csα2,
tanα2=±1-csα1+csα.
【考点剖析】
考点一：公式的直接应用
例1-1．若，，则________.


例1-2． 已知，则___________.

例1-3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．

变1．已知，，其中都是锐角.求：
(1)的值；
(2) 的值.

考点二：公式的逆用及变用
例2-1．（ ）
A．B．C．D．

例2-2．sin 32°cs28°＋cs32°sin 28°＝( )
A．1B．C．D．

例2-3．___________.

变2-1．计算：tan 73°-tan 193°－tan 73°tan 13°＝________．

变2-2．求值：
(1)sin－cs；
(2).

考点三：角的变换与名的变换
例3．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4


变3．已知，则______.

考点四：三角函数式的化简
例4．已知，都是锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．

变4．已知，则________．


考点五：三角函数式的求值
例5．＝________．

变5．求值：
(1)；
(2).

考点六：三角恒变换的综合应用
例6．已知函数，．
(1)求不等式的解集；
(2)求当取得最大值、最小值时的值，并求最大值、最小值．

变6．已知．
(1)设，求的值域；
(2)设，求的值．


【真题演练】
一、单选题
1．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为

2．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．

3．（2021·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．

4．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2

5．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．

6．（2011·全国·高考真题（理））已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
7．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.

【过关检测】
1．已知，均为锐角，且满足，，则（ ）
A．B．C．D．

2．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．


3．已知，且，则等于（ ）
A．B．C．D．


4．的值是（ ）
A．B．C．D．

5．若，，则（ ）
A．B．C．D．

6．设为锐角，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．

二、填空题
7.已知，且是第三象限角，则_____；_____．

8．已知，，则_________.

9．已知，，则______．

10. 若，，且，，则的值是______．

三、解答题
11．已知，都为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．

12．求下列各式的值．
(1)cs 105°；
(2)cs 75°cs 15°－sin 255°sin 15°.

13. 已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若，求的值．

14.已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若，求函数的最值.

15．已知．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变．得到通数的图象，求函数在区间上的值域．

1.公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式:(1)sin2α=1-cs2α2;(2)cs2α=1+cs2α2;(3)sin αcs α=12sin 2α.
3.升幂公式:(1)1+cs α=2cs2α2;(2)1-cs α=2sin2α2;(3)1±sin α=sinα2±csα22.
第06讲 三角恒等变换
【学习目标】
1．掌握两角和与差的三角函数。
2．掌握二倍角的三角函数。
3.掌握常见的几个三角恒等式。
4.熟练应用三角恒等变换解决三角函数问题。
【基础知识】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角差的余弦公式:cs(α-β)= cs αcs β+sin αsin β;
两角和的余弦公式:cs(α+β)= cs αcs β-sin αsin β;
两角差的正弦公式:sin(α-β)= sin αcs β-cs αsin β;
两角和的正弦公式:sin(α+β)= sin αcs β+cs αsin β;
两角和的正切公式:tan(α+β)= tanα+tanβ1-tanαtanβ;
两角差的正切公式:tan(α-β)= tanα-tanβ1+tanαtanβ.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcs α;
(2)cs 2α= cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=2tanα1-tan2α.
3.半角公式
sinα2=±1-csα2,
csα2=±1+csα2,
tanα2=±1-csα1+csα.
【考点剖析】
考点一：公式的直接应用
例1-1．若，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再利用余弦二角和公式求解即可.
【详解】
因为，，
所以，
所以.
故答案为：

例1-2． 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式和两角和的正切公式可求得结果.
【详解】
.
故答案为：.
例1-3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）首先根据三角函数定义得到，，再利用诱导公式求解即可.
（2）根据求解即可.
(1)
因为，，．
所以．
(2)
由于角满足，所以：．
所以或.
变1．已知，，其中都是锐角.求：
(1)的值；
(2) 的值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件结合平方关系求出，再利用差角的正弦公式计算作答.
(2)由(1)结合商数关系求出，再利用和角的正切公式计算作答.
(1)
因，，且都是锐角，则有，，
所以.
(2)
由(1)可得：，
所以.
考点二：公式的逆用及变用
例2-1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据差角余弦公式即可求值.
【详解】
.
故选：B.
例2-2．sin 32°cs28°＋cs32°sin 28°＝( )
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦的和角公式即可计算.
【详解】
sin 32°cs28°＋cs32°sin 28°＝，
故选：C.
例2-3．___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式求解.
【详解】
解：
，
故答案为：
变2-1．计算：tan 73°-tan 193°－tan 73°tan 13°＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合诱导公式、两角差的正切公式计算出正确答案.
【详解】
原式＝tan 73°－tan 13°－tan 73°tan 13°=tan(73°－13°)(1＋tan 73°tan 13°)－tan 73°tan 13°＝.
故答案为：.
变2-2．求值：
(1)sin－cs；
(2).
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）逆用两角差的正弦公式化简求解即可；
（2）逆用两角差的正切公式化简求解即可.
(1)
sin－cs＝2＝2sin＝2sin＝.
(2)
＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
考点三：角的变换与名的变换
例3．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件可得，然后，然后可算出答案.
【详解】
由题意发现，
，
，可得：，
则，
故选：B．

变3．已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据得到，再利用切化弦求解即可.
【详解】
由，，
，解得，
所以.
故答案为：

考点四：三角函数式的化简
例4．已知，都是锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简，得，展开计算，结合两角和的余弦公式可得，再由，得，由函数在上单调递减，可得，从而得答案.
【详解】
因为，所以，即．因为，所以，，因为在上单调递减，所以，即
故选：B．
变4．已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用两角和差公式及二倍角公式化简原式得到，再利用同角三角函数商数关系求解即可.
【详解】
．
故答案为：

考点五：三角函数式的求值
例5．＝________．
【答案】2－##
【解析】
【分析】
观察知，，分别结合正弦和余弦的差角公式化简可得，再由化简即可求解.
【详解】
原式＝
.
故答案为：2－.
变5．求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分子分母同时除以，再把1化为，然后利用两角差的正切得答案；
（2）由条件利用两角和的正切公式，求得所给式子的值．
(1)
将原式分子分母同时除以，
(2)

考点六：三角恒变换的综合应用
例6．已知函数，．
(1)求不等式的解集；
(2)求当取得最大值、最小值时的值，并求最大值、最小值．
【答案】(1).
(2)时，;
时，.
【解析】
【分析】
（1）运用三角函数倍角公式化简函数的表达式，再求解三角不等式可得出结果；
（2）根据函数的定义域及三角函数的单调性，求解函数在特定区间上的最值即可.
(1)
根据题意，
，即
时 ,
解上面不等式得，
即不等式的解集为.
(2)
由（1）可知，
时，
时，即时，取得最小值，且最小值为;
时，即时，取得最大值，且最大值为.
变6．已知．
(1)设，求的值域；
(2)设，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
（2）由题意利用诱导公式及二倍角公式求得结果．
(1)
，
，所以，，
故当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值．
所以的值域为
(2)
由，
得．
于是．

【真题演练】
一、单选题
1．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
3．（2021·全国·高考真题（文））（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
5．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
6．（2011·全国·高考真题（理））已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出的值，再由，在所得分式的分子和分母中同时除以，再代入的值计算即可得解.
【详解】
由已知条件可知，点在直线上，则，，
所以，.
故选：B.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
7．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
【过关检测】
1．已知，均为锐角，且满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据已知条件，先求解出，然后结合使用余弦的和差公式构造出，然后根据条件给的，的范围排除增根，即可完成求解.
【详解】
，所以，，因为，均为锐角.所以，
故选：D.

2．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用差角余弦公式、辅助角公式，可将条件化为，再由诱导公式求的值.
【详解】
，
，则，
故选：B．

3．已知，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由角的范围结合同角三角函数的平方关系求得、，再有，应用差角余弦公式求出，即可确定大小.
【详解】
由题意得：，又，则，
∴，
锐角，
故选：C．

4．的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两角差的余弦公式计算即可.
【详解】
故选：A

5．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由已知条件整理化简得，再用和角公式即可求得.
【详解】
由，可得，
即，因为，所以，所以，
解得，所以，所以，所以，
又，所以，所以．
故选：D

6．设为锐角，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据为锐角，，得到，再利用二倍角公式得到，，然后再由求解.
【详解】
解：为锐角，，
，
，．
故，
，
，
故选：．
二、填空题
7.已知，且是第三象限角，则_____；_____．
【答案】 ## ##0.96
【解析】
【分析】
利用平方关系求出，再利用商数关系及二倍角的正弦公式计算作答.
【详解】
因，且是第三象限角，则，
所以，.
故答案为：；
8．已知，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，进而求出，然后利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】
因为，，所以，则，
故.
故答案为：.

9．已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
化简已知，即得解.
【详解】
解：由题得，
所以.
故答案为：

10. 若，，且，，则的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由以及，求出的值，再求出，再由可求出的值，利用两角和的余弦公式计算的值，结合角的范围即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
三、解答题
11．已知，都为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据角的变换，先求出的正余弦函数，利用两角差的正弦公式求解；
（2）根据角的变换，先求出的正余弦函数，利用两角差的余弦公式求解.
(1)
因为，都为锐角，故，
故，
又，
故，
(2)
由（1）知，，，，
故.

12．求下列各式的值．
(1)cs 105°；
(2)cs 75°cs 15°－sin 255°sin 15°.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据及两角和的余弦公式进行求解；
（2）利用诱导公式和两角差的余弦公式进行求解.
(1)
解：
；
(2)
解：
.
13. 已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由图像即可求得和,进而得.得到函数的解析式,将最高点代入解析式,即可求得的值,即可求得函数的解析式;
（2）化简已知得，化简即得解.
(1)
解：由函数图象可知,,即,
所以,从而函数
将代入解析式得,,,
又,故
所以函数解析式为
(2)
解：，
.
14.已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若，求函数的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】
（1）将函数转化为，利用周期公式求解；
（2）由，得到，再利用正弦函数的性质求解.
(1)
解：∵，
∴.
的最小正周期为.
(2)
∵，
∴，
∴，
∴.
∴的最大值为2，最小值为.
15．已知．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变．得到通数的图象，求函数在区间上的值域．
【答案】(1)单调减区间.
(2).
【解析】
【分析】
（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
（2）根据三角函数的图象变换，得到，再由，可得，则，可得，即可求解.
(1)
解：由函数
，
令，解得，
所以单调减区间．
(2)
解：将函数的图象向左平移个单位，得到，
将函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到，
因为，可得，则，
可得，
所以在上值域为．
【点睛】
方法点睛：解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
1.公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式:(1)sin2α=1-cs2α2;(2)cs2α=1+cs2α2;(3)sin αcs α=12sin 2α.
3.升幂公式:(1)1+cs α=2cs2α2;(2)1-cs α=2sin2α2;(3)1±sin α=sinα2±csα22.