(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第13讲概率(原卷版+解析)

这是一份(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第13讲概率(原卷版+解析)，共39页。
1．理解掌握随机事件和样本空间的含义。
2．掌握概率的性质及古典概型公式。
3．掌握互斥事件和独立事件。
【基础知识】
一．样本点和样本空间
1.随机试验
把相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验 (简称为试验).
2.样本点
随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点.
3.样本空间
（1）定义：由所有样本点组成的集合称为样本空间.
（2）表示：基本事件空间常用大写希腊字母表示.
二．随机事件
1.事件发生
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个. 而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生否则，称A不发生.
2.不可能事件､必然事件､随机事件
三．随机事件发生的概率
事件发生可能性大小可以用事件发生的概率来衡量，概率越大，代表越有可能发生，通常用P(A)来表示.
（1）规定：P(∅)=0；P(Ω)=1
（2）对于任意事件A来说，显然有，因此
四．事件的包含与相等
1．一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A），记作（或），
注：（1）也可用充分必要条件表示为：A发生是B发生的充分条件，B发生时A发生的必要条件.
（2）如果，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们可以得到
2．如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作
注：（1）不难看出：且，也可以用充分必要条件的语言表述为：A发生是B发生的充要条件
（2）当时，有
五．事件的和（并）
1.给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作（或）
注：（1）当事件发生时，当且仅当事件A与事件B至少有一个发生
（2）由于且，因此且
直观上可知，
六．事件的积（交）
1.给定事件，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作（或）
注：（1）按照定义可知，事件发生，当且仅当时间A与时间B都发生
（2）由于且，因此且
七．事件的互斥与对立
1.给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作（或）
注：（1）任何两个基本事件都是互斥的，与任意事件互斥；
（2）当A与B互斥，即，有=，这称为互斥事件的概率加法公式.
（3）一般地，如果是两两互斥事件，则
2.给定样本空间与事件A，则由与所有不属于A的样本点组成是事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点看，是A在中的补集，如图所示.如果，则称A与B相互对立.
注：（1）事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生，注意到必然事件的概率为1，因此1
（2）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.
八．事件的混合运算
前面我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算.
例如 ，这表示与和，
实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生.
同数的加、减、乘、除一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此可简写为：
九．古典概型的定义
（1）一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点的个数是有限的（简称有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（基本事件）发生的可能性大小都相等（简称等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
（2）古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间包含n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件按发生的概率为，此时，如果事件C包含m个样本点，则再又互斥事件的概率加法公式可知：
十.古典概型的计算公式
古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质，假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：
（1）由与可知
0 1
（2）因为中包含的样本点个数为，所以
即
（3）若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A+B包含m+k个样本点，从而：
十一.随机事件独立性的定义
（1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），
事件A与B相互独立的直观理解是：事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
（2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也独立.
（3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
十二.独立事件的概率乘法公式
（1）若A与B相互独立，则，同时，，;
（2）若两两独立，则
【考点剖析】
考点一：样本点与样本空间
例1．先后抛出两枚硬币，观察正反面出现的情况，选择合适的方法表示样本点，并写出样本空间.

变1．从含有5件次品的100件产品中任取3件，观察其中的次品数.
（1）选择合适的表示方法，写出样本空间；
（2）写出事件A：“取到的3件产品中没有次品”的集合表示；
（3）说明事件所表示的实际意义.

考点二：判断是否是随机事件
例2．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①明天是阴天；②方程有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到；④一个三角形的大边对大角，小边对小角.
A．1B．2C．3D．4

变2．下列事件中，是随机事件的有（ ）
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆.
②若a为整数，则a+1为整数.
③发射一颗炮弹，命中目标.
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A．1个B．2个C．3个D．4个

考点三：确定事件与随机事件的概率
例3．下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况
B．某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖

变3．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ）
A．B．C．D．

考点四：事件的包含关系与事件的运算及其含义
例4．抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
（1）试判断事件A与事件B，C，E的关系；
（2）试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.

变4．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）AB，B+C；
（3）记为事件H的对立事件，求.

考点五：互斥事件与对立事件的判断
例5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是互斥事件，且是对立事件
C．与不是互斥事件D．与是互斥事件

变5．（多选）．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色D．2个小球至多有1个是红色

考点六：利用互斥事件与对立事件的概率公式求概率
例6．一只不透明的口袋中装有若干个大小一样的红球、黄球与蓝球，若从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33．求：
（1）摸出红球或黄球的概率；
（2）摸出蓝球的概率．

变6．甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，成平局的概率为0.25，求：
（1）甲不输的概率；
（2）乙不输的概率.

考点七：写出基本事件
例7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数.
（1）一共有多少个样本点？
（2）记“出现的点数之和大于8”为事件A，写出A包含的样本点

变7．写出下列随机试验的样本空间：
（1）连续抛掷2枚硬币，观察落地后这2枚硬币是正面朝上还是反面朝上；
（2）从集合A={a，b，c，d}中任取3个元素.

考点八：古典概型的概率计算公式
例8．某区要从参加扶贫攻坚任务的名干部甲､乙､丙､丁､戊中随机选取人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则甲或乙被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．

变8．从编号为1~100的球中取出1球，所得的编号是4的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．

考点九：有放回与无放回问题的概率
例9．袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次也摸到红球的概率为（ ）
A．B．C．D．

变9．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A．B．C．D．

考点十：独立事件的判断
例10．在一次试验中，随机事件A，B满足，则（ ）
A．事件A，B一定互斥B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立D．事件A，B一定不互相独立

变10．（多选）．若，，，则事件与的关系错误是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又独立

考点十一：独立事件的乘法公式
例11．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为，那么两人中恰有一人通过的概率为（ ）
A．B．C．D．

变11．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为（ ）
A．0.7B．0.58C．0.12D．0.46

【真题演练】
1.（2016·全国·高考真题（文））小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
A．B．C．D．

2.（2019·全国·高考真题（文））我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.

3.（2020·全国·高考真题（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

【过关检测】
1.下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④

2.从集合中任取两个不同元素，则这两个元素相差的概率为（ ）．
A．B．C．D．

3.甲、乙两个袋中各有3只白球，2只黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，则再从乙袋中取出一球为白球的概率是（ ）
A．B．C．D．

4.已知一次试验，事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，又事件A与事件C不能同时发生．若，，则（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3

5.（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题：
①若任取，则是必然事件：
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④

6.抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（ ）
A．B．B，D为对立事件C．A，C为互斥事件D．A，D相互独立

7.将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间__________.

8.一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．

9.已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验样本点的总数；
（3）写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
（4）说出事件所表示的实际意义．

10.为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如下表：
由于部分数据丢失，仅知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为.
（1）求a，b的值；
（2）从50米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率.

11.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.
（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.

事件
必然事件
每次试验中一定会发生
不可能事件
每次试验中一定不发生
随机事件
①可能发生也可能不发生
②通常用大写英文字母A，B，C，…来表示
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
第13讲 概率
【学习目标】
1．理解掌握随机事件和样本空间的含义。
2．掌握概率的性质及古典概型公式。
3．掌握互斥事件和独立事件。
【基础知识】
一．样本点和样本空间
1.随机试验
把相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验 (简称为试验).
2.样本点
随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点.
3.样本空间
（1）定义：由所有样本点组成的集合称为样本空间.
（2）表示：基本事件空间常用大写希腊字母表示.
二．随机事件
1.事件发生
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个. 而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生否则，称A不发生.
2.不可能事件､必然事件､随机事件
三．随机事件发生的概率
事件发生可能性大小可以用事件发生的概率来衡量，概率越大，代表越有可能发生，通常用P(A)来表示.
（1）规定：P(∅)=0；P(Ω)=1
（2）对于任意事件A来说，显然有，因此
四．事件的包含与相等
1．一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A），记作（或），
注：（1）也可用充分必要条件表示为：A发生是B发生的充分条件，B发生时A发生的必要条件.
（2）如果，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们可以得到
2．如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作
注：（1）不难看出：且，也可以用充分必要条件的语言表述为：A发生是B发生的充要条件
（2）当时，有
五．事件的和（并）
1.给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作（或）
注：（1）当事件发生时，当且仅当事件A与事件B至少有一个发生
（2）由于且，因此且
直观上可知，
六．事件的积（交）
1.给定事件，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作（或）
注：（1）按照定义可知，事件发生，当且仅当时间A与时间B都发生
（2）由于且，因此且
七．事件的互斥与对立
1.给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作（或）
注：（1）任何两个基本事件都是互斥的，与任意事件互斥；
（2）当A与B互斥，即，有=，这称为互斥事件的概率加法公式.
（3）一般地，如果是两两互斥事件，则
2.给定样本空间与事件A，则由与所有不属于A的样本点组成是事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点看，是A在中的补集，如图所示.如果，则称A与B相互对立.
注：（1）事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生，注意到必然事件的概率为1，因此1
（2）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.
八．事件的混合运算
前面我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算.
例如 ，这表示与和，
实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生.
同数的加、减、乘、除一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此可简写为：
九．古典概型的定义
（1）一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点的个数是有限的（简称有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（基本事件）发生的可能性大小都相等（简称等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
（2）古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间包含n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件按发生的概率为，此时，如果事件C包含m个样本点，则再又互斥事件的概率加法公式可知：
十.古典概型的计算公式
古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质，假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：
（1）由与可知
0 1
（2）因为中包含的样本点个数为，所以
即
（3）若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A+B包含m+k个样本点，从而：
十一.随机事件独立性的定义
（1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），
事件A与B相互独立的直观理解是：事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
（2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也独立.
（3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
十二.独立事件的概率乘法公式
（1）若A与B相互独立，则，同时，，;
（2）若两两独立，则
【考点剖析】
考点一：样本点与样本空间
例1．先后抛出两枚硬币，观察正反面出现的情况，选择合适的方法表示样本点，并写出样本空间.
【答案】样本空间为
【分析】
因为是先后抛出两枚硬币，所以可以用有序实数对表示事件结果，即可写出样本空间.
【详解】
考虑到有先后顺序，可以用表示第1枚硬币出现正面，第2枚硬币出现反面，其他样本点用类似的方法表示，则样本空间为.
【点睛】
本题主要考查如何表示样本空间，属于基础题．
变1．从含有5件次品的100件产品中任取3件，观察其中的次品数.
（1）选择合适的表示方法，写出样本空间；
（2）写出事件A：“取到的3件产品中没有次品”的集合表示；
（3）说明事件所表示的实际意义.
【答案】（1）样本空间.（2）事件.（3）抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品
【分析】
（1）用抽取的3件产品中次品的件数表示事件，即可写出样本空间；
（2）因为取到的3件产品中没有次品，所以次数为0，即可写出；
（3）根据事件中的数字，即可知其表示抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品．
【详解】
用0，1，2，3表示抽取的3件产品中次品的件数，则有：
（1）样本空间.
（2）事件.
（3）表示的实际意义是：抽取的3件产品中没有次品或只有一件次品
【点睛】
本题主要考查样本空间的表示，事件的集合表示，以及解释事件表示的意义，属于基础题．
考点二：判断是否是随机事件
例2．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①明天是阴天；②方程有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到；④一个三角形的大边对大角，小边对小角.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据随机事件的定义即可判断.
【详解】
①③是随机事件；④是必然事件；
对②，，无实数根，②是不可能事件.
故选：B.
变2．下列事件中，是随机事件的有（ ）
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆.
②若a为整数，则a+1为整数.
③发射一颗炮弹，命中目标.
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．
【详解】
解：①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆，为随机事件；
②若a为整数，则a+1为整数，为必然事件；
③发射一颗炮弹，命中目标，为随机事件；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品，为随机事件；
故是随机事件的有3个
故选：C
考点三：确定事件与随机事件的概率
例3．下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况
B．某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖
【答案】C
【分析】
概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.
【详解】
解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；
对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；
对于C，正确；
对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.
故选：C.
变3．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由随机事件的概念作答．
【详解】
抛掷一枚质地均匀的骰子，出现正面朝上的点数为4，这个事件是随机事件，每次抛掷出现的概率是相等的，都是，不会随机抛掷次数的变化而变化．
故选：B．
考点四：事件的包含关系与事件的运算及其含义
例4．抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
（1）试判断事件A与事件B，C，E的关系；
（2）试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【答案】
（1）BA，CA，EA，A=B+C+E
（2）AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
【分析】
（1）写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）写出事件D所包含的基本事件，与事件A进行比较，得到AD所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点，可得到AD与B+C的关系.
（1）
事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以BA，CA，EA，A=B+C+E
（2）
“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C
变4．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）AB，B+C；
（3）记为事件H的对立事件，求.
【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
【分析】
（1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生；
（2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生；
（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生.
【详解】
∵，，，，
∴，，，
∴（1）A∩B=，BC={2}；
（2）AB={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；
（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
考点五：互斥事件与对立事件的判断
例5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是互斥事件，且是对立事件
C．与不是互斥事件D．与是互斥事件
【答案】BC
【分析】
根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.
【详解】
对于A选项，、事件有可能同时发生，不是互斥事件；
对于B选项，与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；
对于C选项，与可以同时发生，不是互斥事件；
对于D选项，与也可以同时发生，不是互斥事件.
故选：BC.
变5．（多选）．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色D．2个小球至多有1个是红色
【答案】ABC
【分析】
根据互斥事件和对立事件的概念结合选项逐项分析即可求出结果.
【详解】
根据互斥事件和对立事件的概念可知“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件；“2个小球恰有1个是红色” 与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件；“2个小球都不是红色”与“2个小球都是红色”互斥但不对立的事件，“2个小球至多有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是互斥事件但也是对立事件，
故选：ABC.
考点六：利用互斥事件与对立事件的概率公式求概率
例6．一只不透明的口袋中装有若干个大小一样的红球、黄球与蓝球，若从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33．求：
（1）摸出红球或黄球的概率；
（2）摸出蓝球的概率．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据互斥事件的概率加法公式即可求解；
（2）由对立事件的概率计算公式即可求解.
（1）
解：记事件为摸出一个红球，记事件为摸出一个蓝球，事件为摸出一个黄球，
因为与是互斥事件，则摸出一个球是红球或黄球的概率 ；
（2）
解：事件与事件是对立事件，
所以摸到蓝球的概率.
变6．甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.30，成平局的概率为0.25，求：
（1）甲不输的概率；
（2）乙不输的概率.
【答案】（1）0.55；（2）0.7.
【分析】
（1）利用互斥事件的概率加法公式即得；
（2）利用对立事件的概率计算公式即得.
【详解】
（1）甲不输即为甲胜或成平局，记甲胜为事件A，平局为事件B.
因为，所以A与B互斥，
则，
故甲不输的概率为0.55.
（2）因为甲胜即乙输，所以甲获胜与乙不输互为对立事件，
则乙不输的概率.
考点七：写出基本事件
例7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数.
（1）一共有多少个样本点？
（2）记“出现的点数之和大于8”为事件A，写出A包含的样本点
【答案】
（1）36个
（2）答案见解析
【分析】
（1）根据题意列出所有的可能性即可得到答案；
（2）根据（1），挑出满足数字和大于8的点即可得到答案.
（1）
两次掷出的点数列表如下：
易知共有36个样本点.
（2）
根据上表，满足“出现的点数之和大于8” 的样本点组成的集合为：A={（6，3），（5，4），（6，4），（4，5），（5，5），（6，5），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6）}.
变7．写出下列随机试验的样本空间：
（1）连续抛掷2枚硬币，观察落地后这2枚硬币是正面朝上还是反面朝上；
（2）从集合A={a，b，c，d}中任取3个元素.
【答案】
（1）{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
（2）{（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}
【分析】
（1）借助树状图，一一列举即可求解.
（2）一一列举即可得出答案.
（1）
画树状图如图所示
因此，这个试验的样本空间Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}.
（2）
样本空间Ω={（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}.
考点八：古典概型的概率计算公式
例8．某区要从参加扶贫攻坚任务的名干部甲､乙､丙､丁､戊中随机选取人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则甲或乙被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
列举出所有可能的情况，并从中找出符合条件的情况，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从名干部中随机选取人，共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊）这种等可能方案，
其中符合条件的有种方案，所求概率为.
故选：D.
变8．从编号为1~100的球中取出1球，所得的编号是4的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由古典概型概率公式即得.
【详解】
从编号为1~100的球中取出1球，基本事件共100个，
其中所得的编号是4的倍数的基本事件有25个，
故所得的编号是4的倍数的概率为.
故选：B.
考点九：有放回与无放回问题的概率
例9．袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次也摸到红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分析出第一次摸到红球红所剩球的总数及所剩红球个数，即可求得第二次摸到红球的概率.
【详解】
第一次摸到的是红球，则还剩3个白球和3个红球，第二次从这6个球中摸到红球的概率为.
故选：D
变9．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
分析总的基本事件的个数和所求基本事件的个数，按照古典概型的概率公式即可求出结果.
【详解】
从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为，，，，，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.
故选：B.
考点十：独立事件的判断
例10．在一次试验中，随机事件A，B满足，则（ ）
A．事件A，B一定互斥B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立D．事件A，B一定不互相独立
【答案】B
【分析】
根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可
【详解】
若事件A，B为互斥事件，则，与矛盾，所以，
所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，
由题意无法判断是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，
故选：B
变10．（多选）．若，，，则事件与的关系错误是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又独立
【答案】ABD
【分析】
计算得出，由此可得出结论.
【详解】
由题意可得，因为，，所以，，
故事件与相互独立.
故选：ABD.
考点十一：独立事件的乘法公式
例11．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为，那么两人中恰有一人通过的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.
【详解】
由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为.
故选：D.
变11．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为（ ）
A．0.7B．0.58C．0.12D．0.46
【答案】B
【分析】
先计算都没有命中的概率，再由对立事件求解即可.
【详解】
两个人各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，
所以都没有命中的概率为，
所以至少有一人命中的概率为.
故选：B.
【真题演练】
1.（2016·全国·高考真题（文））小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．
【考点】古典概型
【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．
2.（2019·全国·高考真题（文））我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】0．98.
【分析】
本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】
由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【点睛】
本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
3.（2020·全国·高考真题（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【分析】
（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】
（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
【过关检测】
1.下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【答案】A
【分析】
利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.
【详解】
抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；
因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；
因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
故选：A
2.从集合中任取两个不同元素，则这两个元素相差的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数和有利事件数，代入古典概型的概率计算公式，即可得解.
【详解】
解：从集合中任取两个不同元素的取法有、、、、、共6种，其中满足两个元素相差的取法有、、共3种.故这两个元素相差的概率为.
故选：B.
3.甲、乙两个袋中各有3只白球，2只黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，则再从乙袋中取出一球为白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
把求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再求出每个事件的概率即可计算作答.
【详解】
从乙袋中取出一球为白球的事件A是甲袋中取出一白球，再在乙袋中取出白球的事件B
及甲袋中取出一黑球，再在乙袋中取出白球的事件C的和，B，C互斥，
，，则，
所以再从乙袋中取出一球为白球的概率是.
故选：B
4.已知一次试验，事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，又事件A与事件C不能同时发生．若，，则（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【答案】A
【分析】
根据互斥事件和对立事件的定义和计算公式进行求解即可.
【详解】
因为事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，
所以事件A与事件B为对立事件，而，
所以由，
又因为事件A与事件C不能同时发生，
所以事件A与事件C是互斥事件，因为，
所以，
故选：A
5.（多选）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题：
①若任取，则是必然事件：
②若任取，则是不可能事件；
③若任取，则是随机事件；
④若任取，则是必然事件．
其中正确的命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【分析】
根据集合是集合的真子集，可知集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，再根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可求解.
【详解】
因为集合是集合的真子集，所以集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；
对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合是集合的真子集，集合中存在元素不是集合中的元素，集合中也存在集合中的元素，所以任取，则是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合中的任何一个元素都是集合中的元素，任取，则是必然事件，故④正确；所以①③④正确，
故选：ACD.
6.抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（ ）
A．B．B，D为对立事件C．A，C为互斥事件D．A，D相互独立
【答案】BC
【分析】
根据题意，写出各事件包含的基本事件，再依次讨论求解即可.
【详解】
解：根据题意，事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
所以对于A选项，由于事件中的元素均不在事件中，故错误；
对于B选项，事件与事件互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，正确；
对于C选项，显然事件与事件是不可能同时发生，为不可能事件，故A，C为互斥事件，正确；
对于D选项，由题知，，事件包含的基本事件有，，显然，故错误.
故选：BC
7.将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间__________.
【答案】
【分析】
根据样本空间的定义进行求解即可.
【详解】
将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间，
故答案为：
8.一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）．
【答案】②③
【分析】
由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】
{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件．
故答案为：②③
9.已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验样本点的总数；
（3）写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
（4）说出事件所表示的实际意义．
【答案】
（1）答案见解析；
（2）
（3）
（4）得到的点是第三象限内的点.
【分析】
（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；
（2）由样本空间可得样本点的个数；
（3）找出横纵坐标都大于的样本点即可；
（4）根据事件中样本点的坐标可得实际意义.
（1）
样本空间为：
（2）
由知这个试验样本点的总数为.
（3）
得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
（4）
事件表示得到的点是第三象限内的点.
10.为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如下表：
由于部分数据丢失，仅知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为.
（1）求a，b的值；
（2）从50米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根据学生总数为20，和抽到跳绳优秀的学生的概率为建立方程组，解得答案即可；
（2）列举出所有可能情况，进而根据古典概型求概率的方法求得答案.
（1）
由题意，.
（2）
根据表格，50米往返跑为优秀的学生有6人，记这6人为1,2,3,4,5,6，其中5,6表示这6人中跳绳为优秀的学生，于是从这6人中抽取2人的所有情况为：
{12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46，56}，总共15种情况，
其中至少有一位跳绳优秀的情况有：{15,16，25,26，35,36，45,46，56}，共9种情况.所以所求概率.
11.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.
（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.
【答案】
（1），中位数为；
（2）.
【分析】
（1）由频率和为1求参数a，根据直方图及中位数的性质求中位数即可.
（2）首先由分层抽样原则求选取的5人在、的人数分布情况，再应用列举法求古典概型的概率即可.
（1）
由图知：，解得.
学生成绩在的频率为；
学生成绩在的频率为.
设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，解得，
故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为.
（2）
由（1）知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为.
按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，.
从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，
其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，
∴这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.
事件
必然事件
每次试验中一定会发生
不可能事件
每次试验中一定不发生
随机事件
①可能发生也可能不发生
②通常用大写英文字母A，B，C，…来表示
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21