(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第08讲复数(原卷版+解析)

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1．了解复数的概念。
2．掌握复数的运算法则。
3．.掌握复数的几何意义。
【基础知识】
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ;
④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .
(3)复数加、减法的几何意义
若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1,OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数;复数z1-z2是OZ1−OZ2=Z2Z1所对应的复数.
【考点剖析】
考点一：复数的有关概念
例1-1．设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
例1-2．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．

例1-3．已知复数，则复数的模为（ ）
A．B．1C．D．

例1-4．若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．1D．

变1-1．下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数B．存在x使得是纯虚数
C．不是实数D．实部和虚部均为1


变1-2．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2


变1-3．已知，复数的实部与虚部相等，则___________.

变1-4．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．

考点二：复数的几何意义
例2-1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限


例2-2．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．


例2-3．在复平面内，复数对应点的坐标是，则_________.

变2-1．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件

变2-2．复数，当m取何实数时：
（1）z为实数；
（2）z为纯虚数；
（3）z对应的点在复平面上实轴的上半部分．

考点三：复数的代数运算
例3-1．计算：
（1）(1－2i)(1＋2i)；
（2）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．

例3-2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.

例3-3．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．

例3-4．已知复数（，为虚数单位）为实数，则的值为（ ）
A．B．C．D．

变3-1．计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.

变3-2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.


变3-3．已知复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．

变3-4．化简：___________.


【真题演练】
1．（2011·全国·高考真题（理））复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．

2．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4B．2C．-2D．-4

3．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．

5．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．

6．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．

7．（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．

8．（2021·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．

9．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3

10．（2022·上海·高考真题）已知，则________

11．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．

【过关检测】
1．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．3B．4C．5D．6

2．若（，是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．1B．C．D．2

3．已知i为虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．

4．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．

5．若，则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6．在复平面内，复数z对应的点的坐标是.则___________.

7．设是虚数单位，复数，则对应的点位于第_____象限

8．复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为___________.

9．若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．

10．实数m取什么值时，复数是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）0？

11．已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.

12．已知复数，.
（1）求；
（2）若满足为纯虚数，求.

内 容
意 义
备 注
复数
的概念
形如 (a∈R,b∈R)的数叫做复数,其中实部为 ,虚部为
当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数
复数
相等
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔
实数能比较大小,虚数不能比较大小
共轭
复数
a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)⇔
实数a的共轭复数是a本身
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面, 叫做实轴,y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的
模
设OZ对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量OZ的长度叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|
|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b∈R)
1.(1±i)2=±2i;1+i1−i=i;1−i1+i=-i.
2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).
3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
5.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
第08讲 复数
【学习目标】
1．了解复数的概念。
2．掌握复数的运算法则。
3．.掌握复数的几何意义。
【基础知识】
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ;
④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .
(3)复数加、减法的几何意义
若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1,OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数;复数z1-z2是OZ1−OZ2=Z2Z1所对应的复数.
【考点剖析】
考点一：复数的有关概念
例1-1．设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据复数的定义、复数的分类判断．
【详解】
根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．
故选：B．


例1-2．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由，得，
所以的虚部是，
故选：B


例1-3．已知复数，则复数的模为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】
根据复数的模的定义直接求解即可.
【详解】
解：因为复数，所以.
故选：C
例1-4．若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．1D．
【答案】C
【分析】
利用复数的概念即可求解.
【详解】
由题意可得，解得.
故选：C
变1-1．下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数B．存在x使得是纯虚数
C．不是实数D．实部和虚部均为1
【答案】B
【详解】
由复数，
当时，为实数，故A、C不正确；
当时，，故B正确；
由于的取值未知，故D错误；
故选：B

变1-2．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】
根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；
【详解】
解：是纯虚数，则，解得，
故选：C.

变1-3．已知，复数的实部与虚部相等，则___________.
【答案】
【分析】
根据复数的相关概念列式，解方程.
【详解】
因为，
所以，
解得，
故答案为：.
变1-4．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
【答案】
【分析】
若复数，则复数的模为．
【详解】
设，则﹒
故答案为：
考点二：复数的几何意义
例2-1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】
根据复数的模化简求出，即可判断对应的点所在象限.
【详解】
，
，
，
对应点在第四象限，
故选：D

例2-2．已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
【答案】或6
【分析】
根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.
【详解】
复数对应点的坐标为，，
若点在虚轴上，
则，解得或．
故答案为：或6.

例2-3．在复平面内，复数对应点的坐标是，则_________.
【答案】##
【分析】
根据复数的几何意义，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】
因为复数对应点的坐标是，所以，因此，
故答案为：

变2-1．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由复数的几何意义求出实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，
因为，
因此，“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充分不必要条件.
故选：A.


变2-2．复数，当m取何实数时：
（1）z为实数；
（2）z为纯虚数；
（3）z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
【答案】
（1）或
（2）
（3）或
【分析】
（1）由虚部为0可得；
（2）由实部为0，虚部不为0可得；
（3）由虚部大于0可得．
（1）
因为z为实数，所以，解得或
（2）
由z为纯虚数，则解得
（3）
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或

考点三：复数的代数运算
例3-1．计算：
（1）(1－2i)(1＋2i)；
（2）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．
【答案】
（1）5
（2）32＋7i
【分析】
（1）根据复数的乘法法则或平方差公式即可求得答案；
（2）根据复数的乘法法则即可求得答案.
（1）
方法一：原式＝1＋2i－2i－4i2＝5；
方法二：原式＝1－(2i)2＝1－4i2＝5.
（2）
原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.
例3-2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
（1）分子分母同乘；（2）分子分母同乘；（3）先化简，再分子分母同乘；（4）先化简与，再分子分母同乘
（1）
（2）
（3）
（4）
例3-3．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据复数的模和除法运算，即可得到答案；
【详解】
，
故选：B
例3-4．已知复数（，为虚数单位）为实数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由复数的乘方，除法法则化简复数后，由复数的定义可得．
【详解】
，
故选：C.
变3-1．计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】
（1）1＋7i
（2）1－34i
（3）－1
（4）5＋i
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.

变3-2．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
根据复数的运算律直接计算.
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：；
（4）
解：.

变3-3．已知复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先由求出复数，从而可求出其共轭复数
【详解】
.
故选：D.
变3-4．化简：___________.
【答案】
【分析】
根据复数的乘方法则计算可得.
【详解】
解：因为，，，所以
故答案为：

【真题演练】
1．（2011·全国·高考真题（理））复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用复数的乘除运算求出，结合共轭复数的概念求出它的共轭复数即可.
【详解】
由题意知，
令，
所以复数的共轭复数为，
故选：C
2．（2021·江苏·高考真题）若复数满足，则的虚部等于（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【答案】C
【分析】
利用复数的运算性质，化简得出.
【详解】
若复数满足，则
，
所以的虚部等于.
故选：C.
3．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
4．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得：.
故选：D.
5．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为，故，故
故选：C.
6．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故选：B.
7．（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】
设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
8．（2021·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得：.
故选：C.
9．（2021·浙江·高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【分析】
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
10．（2022·上海·高考真题）已知，则________
【答案】##
【分析】
直接根据共轭复数的概念得答案.
【详解】
故答案为：.
11．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
【答案】
【分析】
利用复数的除法化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
【过关检测】
1．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】
先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.
【详解】
，
则有，，解得，
则，，故．
故选：C
2．若（，是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】
由题意知是纯虚数，解关于的方程组得到.再代入进行化简为，进而可以求出模长.
【详解】
因为是纯虚数，所以且，解得，所以.
因为，所以.
故选：B.
3．已知i为虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用复数的运算法则即可.
【详解】
.
故选:A.
4．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
复数模的概念及复数运算法则.
【详解】
因为，所以．
故选:A.
5．若，则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】
先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.
【详解】
因为，
所以，
故z对应的点位于复平面内第二象限．
故选：B．
6．在复平面内，复数z对应的点的坐标是.则___________.
【答案】##
【分析】
根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.
【详解】
在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则，
所以.
故答案为：
7．设是虚数单位，复数，则对应的点位于第_____象限
【答案】二
【分析】
先利用复数的除法化简复数z，再根据复数的几何意义求解.
【详解】
因为，
所以对应的点位于第二象限，
故答案为：二
8．复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为___________.
【答案】﹣1
【分析】
根据复数的运算法则直接求出Z，然后求可得.
【详解】
因为，
所以
所以的虚部为
故答案为：.
9．若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】
根据关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由求解.
【详解】
因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，
所以，
即，即 ，
解得 ，
所以m的取值范围是，
故答案为：
10．实数m取什么值时，复数是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）0？
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）由条件可得，解出即可；
（2）由条件可得，解出即可；
（3）由条件可得，解出即可.
（1）
若复数是实数，则有，解得
（2）
若复数是虚数，则有，即
（3）
若复数，则有，解得
11．已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，
（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果
（1）
因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
（2）
因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
12．已知复数，.
（1）求；
（2）若满足为纯虚数，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；
（2）根据纯虚数的概念即可求出参数，再根据复数模的计算公式即可求出．
（1）
．
（2）
因为为纯虚数，∴，∴.
即，．
内 容
意 义
备 注
复数
的概念
形如 a+bi (a∈R,b∈R)的数叫做复数,其中实部为 a ,虚部为 b
当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数
复数
相等
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔ a=c,且b=d
实数能比较大小,虚数不能比较大小
共轭
复数
a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)⇔ a=c,且b=-d
实数a的共轭复数是a本身
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面, x轴 叫做实轴,y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的
模
设OZ对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量OZ的长度叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|
|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b∈R)
1.(1±i)2=±2i;1+i1−i=i;1−i1+i=-i.
2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).
3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
5.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.