(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第01讲集合与常用逻辑用语、不等式(原卷版+解析)

这是一份(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第01讲集合与常用逻辑用语、不等式(原卷版+解析)，共26页。
1．理解掌握集合间的基本关系和基本运算。
2．掌握充分条件、必要条件、充要条件的简单应用。
3.理解全称量词命题和存在量词命题的意义及其它们的否定。
4.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小。
5.熟练掌握利用基本不等式求函数最值问题。
6.掌握一元二次不等式的解法。
【基础知识】
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
(5)集合的分类
若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．
2.集合间的基本关系
子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.
3.全集与补集
(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；
(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
4.集合的运算
5.集合关系与运算的常用结论
(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．
(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B.
(3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
6.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．
(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．
(5) 如果p q，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
7.简单的逻辑联结词
(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．
(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
8.全称量词与存在量词
(1) 全称量词与全称命题
短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(2) 存在量词与存在性命题
短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．
9.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2)．
10.不等式的倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
(2)a＜0＜b⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒eq \f(a,c)＞eq \f(b,d).
11.实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法
12.重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
13.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)( a≥0，b≥0)，当且仅当a＝b时取等号．
其中eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为a，b的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
14.基本不等式的几个常见变形
(1) a＋b≥2eq \r(ab) (a，b＞0)．
(2) x＋eq \f(1,x)≥2(x＞0)，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
15.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
16.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)和定积最大：若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(s2,4)；
(2)积定和最小：若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(p).
17.一元二次不等式的解法
口诀：大于取两边，小于取中间．
18.分式不等式的解法
(1) eq \f(f(x),g(x))＞0f(x)·g(x)＞0，eq \f(f(x),g(x)) ＜0f(x)·g(x)＜0；
(2) eq \f(f(x),g(x))≥0eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(x)·g(x) ≥0，, g(x)≠0，))， eq \f(f(x),g(x))≤0eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(x)·g(x) ≤0，, g(x)≠0，))；
(3) eq \f(f(x),g(x))＞meq \f(f(x),g(x))－m＞0eq \f(f(x)－m·g(x),g(x))＞0
19.几点注意事项
(1)对于不等式ax2＋bx＋c＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a＝0和a≠0讨论．
(2)解分式不等式eq \f(f(x),g(x))＞m时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g(x)正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为eq \f(f(x),g(x))－m＞0，然后通分求解．
【考点剖析】
考点一：集合的基本概念
例1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．

变1．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
考点二：集合间的基本关系
例2．集合A={－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有 个

变2． 设，若，则a的取值范围是 ．

考点三：集合的基本运算
例3．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B) ＝________．

变3．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于________．

考点四：充分条件与必要条件
例4． “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

变4．“m0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．

变5．命题的否定是（ ）.
A. ， B. ，
C. ，D. ，

考点六：由命题真假求参数范围
例6．命题“存在x∈R,2x2－3ax＋90，c0，y>0且x＋y＝1，则eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)的最小值为________．
【真题演练】
1.(2020全国卷3)已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中的元素个数为( ).
A.2 B.3 C.4 D.6
2.（2020新高考卷1）设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2