高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体本节综合与测试第1课时教案

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本节课为人教B版必修4《立体几何初步》第一部分——空间几何体的综合复习课，本节课引导学生综合复习棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的定义和结构特征，并理解空间几何体及组合体的结构特征；了解斜二测画法的基础上会用斜二测画法画出一些简单图形的直观图；掌握柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积的求法，并能通过一些计算方法求出组合体的表面积与体积。通过学生自主学习和动手实践，进一步增强他们的空间观念，用直观图表示现实世界中的物体。掌握柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积的求法；提高学生分析问题和解决问题的能力。通过例题再现本章知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力.
【教学重点】
空间几何体的结构特征、斜二测画法画直观图及直观图的还原和计算、面积和体积的计算
【教学难点】
直观图的还原和计算、组合体的结构特征和表面积、体积计算
一.知识总结
1.本章知识结构图
2.空间几何体的分类
（1）按围成几何体的面是否是平面分为： （2）按底面的情况可分为：

4.空间几何体的表现形式：斜二测画法
5.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
6球的表面积、体积公式
半径为R的球，其表面积为S表=4πR2，体积V=.
二.典型例题
题型1：空间几何体的结构特征
例1．下列说法正确的是（ ）
A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
【答案】B
【解析】
对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误；
对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示：
故B正确；
对于C，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故C错误；
对于D，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D错误．
故选：B.
例2．下列叙述中正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面
C．过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D．球面上四个不同的点有可能在同一平面内
【答案】D
【解析】
在中，将矩形以矩形的一条对角线为轴，旋转所得的就不是圆柱，故错；
在中，长方体中两个相互平行的平面不一定是棱柱的底面，故错误；
在中，两点确定一条直线，圆锥过圆锥侧面上的一点只有一条母线，故错误；
在中，球面上四个不同的点有可能在同一平面内，故正确，故选D．
例3．已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设的内心为，设球的半径为，如下图所示：连接.
，
在中，.因为，所以，
由余弦定理可知：，，
当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为：，此时截面的面积为，当截面过球心时，截面的面积最大，此时面积为.截面圆面积的取值范围是.
故选：C
变式1．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能是( )
A．①③④B．②④
C．①②③D．②③④
【答案】C
【解析】
考虑过球心的正方体截面位置的可能情形．当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得①，但无论如何都不能截出④
故选C
变式2．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【解析】
解：设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，
根据截面圆的周长可得，得，
故由题意知，即，所以，
故选：B．
例4．已知圆柱的轴截面是一个矩形，为底面直径，且为的中点，一只蚂蚁沿着圆柱的侧面从点爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
圆柱的底面半径为，侧面展开图是一个矩形 (如图)，
，
所以蚂蚁爬行的最短路径为.
故选：C
变式1．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ）
A．8cmB．cmC．10cmD．cm
【答案】B
【解析】
由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点，
爬行的最短路程长为
如图
作，
由圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，
所以 cm
由，所以
即，所以
故 cm
所以 cm
故选：B
题型2：空间几何体的直观图
例1. 给出下列说法：
① 正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；
② 水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③ 不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；
④ 水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
其中，正确的说法是________．(填序号)
【答案】④
【解析】对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则．对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形．对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．
即正确的说法是④.
例2．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）①；②；③；④.
【答案】③
【解析】
由直观图画出如图所示
其中，①错误；，②错误；
，③正确，④错误
故答案为：③
例3．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不发生变化，则，，
则，则的面积为
故答案为：
变式1．如图三角形为某平面图形用斜二测画法画出直观图，则其原来平面图形的面积是__________．
【答案】
【解析】
原来平面图形是直角边分别为、的直角三角形，
∴．
变式2．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________
【答案】8
【解析】
由斜二测画法还原可得正方形的原图形为下图中的
其中，
原图形周长为：
故答案为
题型3：空间几何体的表面积和体积
例1. 1．如图，球内切于圆柱，记圆柱的侧面积为，球的表面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
设球的半径为，可得圆柱的底面半径为，
高为，则球的表面积，
圆柱的侧面积，
∴，
故选：D．
变式1：如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____
【答案】
【解析】
设球半径为，则．故答案为．
例2.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
变式1：已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
例3. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
【答案】
【解析】
由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为
变式：已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.
【答案】
【解析】
由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，
顶点到底面四边形的距离为，
由四棱锥的体积公式可得：.
例5. 若正六棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为______.
【答案】
【解析】
设正六棱锥斜高为，则，．
底面正六边形中心到边的距离为，
∴正六棱锥的高为，
底面积为，
∴体积为．
故答案为：．
变式1：如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．
【答案】
【解析】
如图所示，连结，交于点，很明显平面，
则是四棱锥的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为
，
故答案为.
题型4：空间几何体的应用
例1. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
【答案】118．8
【解析】
由题意得， ，
四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，
其质量为．
变式1：如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.

（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；
（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.
【答案】（1）；（2）70
【解析】
（1）设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，
由题意可知圆柱的高
圆柱的侧面积
半球的表面积
所以铆钉的表面积（）
（2）
设钉身长度为，则
由于,所以，
解得1
答：钉身的表面积为，钉身的长度约为.
例2. 如图在中，，动点，，分别在边，，上，四边形为矩形，剪去矩形后，将剩余部分绕所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【解析】
解：设，，其中，由题易得，
所以，则所求几何体的表面积为：
当且仅当，即时等号成立.
故选B.
变式：《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方造一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且测量垂直底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，若当阳马的体积最大时，则堑堵的体积为__________
【答案】2
【解析】
设AC=x，BC=y，由阳马B-A1ACC1体积最大，得到AC=BC= ，由此能求出堑堵ABC-A1B1C1的体积．
【详解】
设AC=x，BC=y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2=4，
∵当阳马B-A1ACC1体积最大，
∴V=×2x×y=xy取最大值，
∵
，当且仅当x=y=时，取等号，
∴当阳马B-A1ACC1体积最大时，AC=BC=，
此时堑堵ABC-A1B1C1的体积
故答案为2.
小结
1.对于空间几何体的结构特征，一是要类比记忆棱柱、棱锥、棱台等多面体的概念性质；二是圆柱、圆锥、圆台及球都是旋转体，轴截面是解决这四类几何体问题的关键。
2.斜二测画法，不仅要理解画法规则，还要能将原图和直观图进行相互的转换，而且还能进行相关的计算。
3.空间几何体的表面积与体积的计算方法。
考点
教学目标
核心素养
空间几何体的结构特征
掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的定义和结构特征，并理解空间几何体及组合体的结构特征
直观想象、数学抽象
斜二测画法
了解斜二测画法的基础上会用斜二测画法画出一些简单图形的直观图，并掌握直观图的还原和计算
直观想象、数学抽象、数学运算
空间几何体的表面积和体积
掌握柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积的求法、并运用表面积体积公式解决实际应用问题，并能通过一些计算方法求出组合体的表面积与体积
直观想象、数学抽象、数学运算