人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程随堂练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程随堂练习题，共12页。试卷主要包含了圆的基本要素，圆的标准方程等内容，欢迎下载使用。


知识点01 圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心和半径
2.圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是CM=r，即（x-a）2+（y-b）2=r两边平方，得
（x-a）2+（y-b）2=r2，此式通常称为圆的标准方程．
【即学即练1】（24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是4,0，且过点2,2；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点3,-4；
(3)求过两点C-1,2和D1,23，圆心在x轴上的圆的标准方程．
【即学即练2】（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为C-3,4，半径是5；
(2)圆心为C-8,3，且经过点M-5,-3.
知识点02由圆的标准方程确定点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
【即学即练3】（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）若点Aa+1,3在圆C：x-a2+y-12=m外，则实数m的取值范围是（ ）
A．-∞,5B．-∞,5C．0,5D．0,5
【即学即练4】（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点P(1,-5)，则该点与圆x2+y2=25的位置关系是 ．
知识点03 圆的一般方程
1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为
r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
【即学即练5】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程x2+y2+tx+ty+t+4=0表示圆，则实数t的取值范围为（ ）
A．(-2,4)B．(-∞,-2)∪(4,+∞)
C．(-4,2)D．(-∞,-4)∪(2,+∞)
【即学即练6】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知A(2,0)，B(4,2)，O为原点，则△AOB的外接圆方程为 .
知识点04 由圆的一般方程确定点与圆的位置关系
已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表：
判断二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；
二看它能否表示圆．此时判断D²＋E²- 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.
【即学即练7】（22-23高二上·辽宁朝阳·期中）已知A(1,2)为圆C:x2+y2-2ax-4y+5a=0外一点，则实数a的取值范围为 .
【即学即练8】（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x²+y²+（λ-1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值范围是
难点：动点问题
示例1：（22-23高二下·江西赣州·期中）已知O为坐标原点，A2,0，设动点C满足OC≤2，动点P满足PA⋅PC=0，则OP的最大值为（ ）
A．22B．3+1C．2D．2
【题型1：由圆的标准、一般方程确定圆心与半径】
例1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为1,0，半径为2的圆的方程是（ ）
A．x-12+y2=2B．x+12+y2=2
C．x-12+y2=4D．x+12+y2=4
变式1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在(-3,4)，半径为5，则它的方程为（ ）
A．x-32+y-42=5B．x+32+y+42=25
C．(x+3)2+(y-4)2=25D．x+32+y-42=5
变式2．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆x-12+y-22=5的圆心为1,2，半径为5
B．圆x+22+y2=b2b≠0的圆心为-2,0，半径为b
C．圆x-32+y+22=2的圆心为3,-2，半径为2
D．圆x+22+y+22=5的圆心为2,2，半径为5
变式3．（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知⊙C:x2+y2+x-2y+12=0，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．-12,1，32B．-1,2，3
C．12,1，3D．1,-2，32
变式4．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是x2+y2-2x+4y+3=0，则下列直线中通过圆心的是（ ）
A．x+y-2=0B．x-y-1=0
C．2x-y-3=0D．x-2y-5=0
变式5．（24-25高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2+y2-2x-5=0；
(2)x2+y2+2x-4y-4=0.
变式6.（23-24高二下·全国·课前预习）方程x2+y2+2x-4y-4=0表示的圆的圆心为 ，半径为 .
变式7.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x2+y2+2ax-4ay+6a-1=0表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径．
【方法技巧与总结】
由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点.
【题型2：由圆心与半径确定圆的标准方程】
例2．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 y=x上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）
A．(x-1)2+(y-1)2=2B．(x-1)2+(y+1)2=2
C．(x-1)2+(y+1)2=2D．(x-1)2+(y-1)2=2
变式1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在y轴上，半径为2，且过点2,4的圆的方程为（ ）．
A．x2+y-12=1 B．x-22+y2=4
C．x-22+y-42=4D．x2+y-42=4
变式2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知A4,0，B1,3，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A．x-522+y-322=3B．x-22+y2=4
C．x2+y2=4D．x-12+y2=4
变式3．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆C:x-12+y2=1，以圆心C和P3,2为直径的圆的标准方程是 ．
变式4．（2024·江西南昌·三模）设圆心在x轴的圆C过点1,1，且与直线y=2x-1相切，则圆C的标准方程为 .
变式5．（23-24高二下·上海·期中）已知点A-1,1，B3,5，以线段AB为直径的圆的标准方程为 .
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆心为C-1,3，半径r=3，写出圆的标准方程 ．
变式7．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆C经过A0,1，B4,aa>0两点.
(1)当a=3，并且AB是圆C的直径，求此时圆C的标准方程；
(2)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标.
【方法技巧与总结】
圆的标准方程的两种求法
（1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程.
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设————设所求圆的方程为（x- a）²+（y-b）²=r²；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r；
④代————将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程.
【题型3：圆的一般方程的求解】
例3．（2024·山西临汾·二模）已知圆C过点O(0,0),A(2,0),B(0,4)，则C的方程为 .
变式1．（23-24高三上·江苏·期末）已知△ABC的顶点是A5,1，B7,-3，C1,-1，则△ABC的外接圆的方程是 ．
变式2.（22-23高二上·北京石景山·期末）在△ABC中，A0,3，B-3,0和C3,0．则△ABC的外接圆方程为 ．
变式3．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形ABCD的三个顶点A(1,0)，B(3,-2)，C(4,-1)．
(1)求过A，B，C三点的圆的方程．
(2)设线段AB上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形ABCD的面积．若四边形ABCD为平行四边形，求直线l的方程．
变式4．（23-24高二上·全国·期中）已知△ABC的三个顶点为A4,0,B0,2,C2,6．
(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
变式5．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知O0,0,A1,1,B4,2三点，求：
(1)△OAB的面积.
(2)△OAB外接圆的一般方程.
变式6．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在△ABC中，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC边所在直线的方程为x-y-2=0，AC边上的中线所在直线的方程为x+y-2=0．
(1)求C点的坐标；
(2)求△ABC的外接圆方程．
变式7．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三个顶点为A(-1,1)，B(-4,0)，C(4,-4)，
(1)求三角形ABC外接圆O1的方程；
(2)判断点M13,-1,M22,-3是否在这个圆上.
【题型4：由一般方程确定参数取值范围】
例4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程x2+y2-2mx-4y+2m2-4m-1=0所表示的圆的最大面积为（ ）
A．4πB．9πC．8πD．16π
变式1．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程x2+y2+4mx-2y+4m2-m=0表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A．m<-1B．m<1C．m>-1D．m≥-1
变式2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若a∈-2,-1,0,34,1，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3．（23-24高二上·广东·期末）已知方程x2+y2+2x-2ay+2a+4=0表示一个圆，则实数a取值范围是（ ）
A． -∞,-1∪3,+∞ B．-1,3
C．-∞,-1∪3,+∞D．-1,3
变式4．（22-23高二上·全国·期中）“实数m<2”是“方程x2+y2-3x+y+m=0表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式5．（多选）（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线C:ax2+ay2-2x+4a2y=0，下列结论正确的是（ ）
A．当a=0时，曲线C是一条直线
B．当a≠0时，曲线C是一个圆
C．当曲线C是圆时，它的面积的最小值为2π
D．当曲线C是面积为5π的圆时，a=1
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为1,2，半径为1的圆，则a+b+c= ．
变式7．（24-25高二上·全国·随堂练习）若方程x-m2+y-22=m2-m-2表示圆的标准方程，则m的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
二元二次方程与圆的关系
1.形如x²＋y²+Dx＋By＋F=0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
①由圆的一般方程的定义判断D²＋E²- 4F是否为正. 若D²＋E²- 4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；
②将方程配方变形成“标准"形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.
2.由圆的一般方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F=0求圆心和半径长的方法：
①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；
②运用二元二次方程x2+y²+Dx＋Ey+F=0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式求出半径
【题型5：点与圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆C的方程为x2+y2-2mx+4my+5m2-3m+3=0，若点(1,-2m)在圆外，则m的取值范围是（ ）
A．(-∞,1)∪(4,+∞)B．(1,+∞)
C．(1,4)D．(4,+∞)
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆x2+y2-2ax+4ay+5a2-9=0上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．-∞,-3B．-3,-32C．3,+∞D．-3,-32
变式2．（2024·河北沧州·二模）若点A2,1在圆x2+y2-2mx-2y+5=0（m为常数）外，则实数m的取值范围为（ ）
A．-∞,2B．2,+∞C．-∞,-2D．-2,+∞
变式3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆x-a2+y-12=2a0A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外
变式4．（22-23高二上·河南郑州·期中）若点P-1,2在圆C:x2+y2-2x+4y+k=0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．-5,5B．-15,5
C．-∞,-15∪5,+∞D．-15,2
变式5．（22-23高二上·浙江·期中）若点Aa,2不在圆(x-1)2+(y+1)2=5a的外部，则实数a的取值范围为（ ）
A．1,5B．2,5C．3,5D．4,5
变式6．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆C：x2+y2-m-2x+m-2y+m2-3m+2=0过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．－2或－1
变式7．(多选)（23-24高二下·江苏南京·期中）点P3,a关于直线x+y-a=0的对称点在圆x-22+y-42=13内，则实数a可以为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【题型6：圆过定点问题】
例6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆C:x²+y²+ax-2ay-5=0恒过的定点为（ ）
A．-2,1,(2,-1) B．-1,-2,(2,1)
C．-1,-2,(1,2) D．-2,-1,(2,1)
变式1．（21-22高二上·浙江温州·期中）点Px,y是直线2x+y-5=0上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点（ ）
A．0,0和1,1B．0,0和2,2C．0,0和1,2D．0,0和2,1
变式2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 .
变式3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆C:x2+y2=4，点M1,1，平面内一定点N（异于点M），对于圆C上的任意动点A，都有ANAM为定值，定点N的坐标为 ．
变式4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线m+2x+m+3y-7-3m=0m∈R过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切.
(1)求定点P的坐标；
(2)求圆C的方程.
变式5．（2021高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形ABCD，且A1,1，B3,1，C3,3，D2,3，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A．x-22+y2=3B．x-22+y2=2
C．x-22+y-22=2D．x-32+y-22=2
2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆C:x-12+y-12=1，则下列点在圆C内的是（ ）
A．0,0B．1,0
C．2,1D．12,12
3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C:x2+y2+mx+1=0的面积为π，则m=（ ）
A．±2B．±22C．±42D．±8
4．（2024高三·全国·专题练习）经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
5．（2024高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
6．（2024高三·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（ ）
A．1B．2
C．3D．5
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）若直线2x+y-1=0是圆x2+y+a2=1的一条对称轴，则圆心坐标为（ ）
A．(0,1)B．(0,-1)C．(0,12)D．(0,-12)
8．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）若圆x2+y2-2ax+6y=0的圆心到x轴、y轴的距离相等，则a= （ ）
A．2B．3
C．±3D．±6
二、多选题
9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）设圆C:x-k2+y-k2=4k∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的面积都是4πB．存在k∈R，使得圆C过点3,0
C．经过点2,2的圆C有且只有一个D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
10．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（ ）
A．x2＋(y＋33)2＝13B．x2＋(y－33)2＝13
C．x2＋(y＋33)2＝43D．x2＋(y－33)2＝43
11．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知P14,9，P26,3两点，以线段P1P2为直径的圆为圆P，则（ ）
A．M6,9在圆P上B．N3,3在圆P内
C．Q5,3在圆P内D．R2,7在圆P外
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0，若点M满足MA2+MO2=10，则点M的轨迹方程是 ．
13．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点P4,-2，点A为圆x2+y2=4上任意一点，则PA连线的中点轨迹方程是 ．
14．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点P2，1在圆C:x2+y2+2x-a=0上，则C的半径r= .
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点1,0的动直线l与圆C1:x2+y2-4x=0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
16．（23-24高二上·广东河源·期末）已知点A(0,-2)，B(1,-1)，直线l:x+2my+1=0与直线AB垂直.
(1)求m的值；
(2)若圆C经过点A,B，且圆心C在x轴上，求点C的坐标.
17．（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点C0,-2；②圆心在直线x-y-1=0上；③以线段AB为直径.
问题：已知圆E经过A6,-2,B0,6两点，且__________.求圆E的方程；
注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
18．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M2 , 0，AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T-1 , 1在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
19．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知圆C经过A0,2,B1,1，且圆心在直线l1:2x+y-4=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)若从点M3,5发出的光线经过直线l2:x+y-1=0反射后恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程.
课程标准
学习目标
掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径
掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化
1.重点：圆的标准方程、一般方程会，根据条件求圆的方程
2.难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
│MA│＝r⇔点M在圆A上
点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
│MA│点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外
│MA│>r⇔点M在圆A外
点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
位置关系
代数关系
点在圆上
x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0
点在圆内
x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
点在圆外
x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0