人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步课时讲练5.4《巩固练习(范围：§5.1～§5.3)》（2份，原卷版+教师版）

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巩固练习(范围：§5.1～§5.2)1．(多选)自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是(　　)A．从x0到x1的平均变化率B．在x＝x1处的变化率C．点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率D．在区间[x0，x1]上的导数答案　AC解析　eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)表示函数从x0到x1的平均变化率，也表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率．2．已知物体的运动方程为s＝t2＋eq \f(3,t)，则物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)A.eq \f(19,4) B.eq \f(17,4) C.eq \f(15,4) D.eq \f(13,4)答案　D解析　∵s′＝2t－eq \f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq \f(3,4)＝eq \f(13,4).3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)A．4 B．－eq \f(1,4) C．2 D．－eq \f(1,2)答案　A解析　∵f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.4．对于函数f(x)＝eq \f(ex,x2)＋ln x－eq \f(2k,x)，若f′(1)＝1，则实数k等于(　　)A.eq \f(e,2) B.eq \f(e,3) C．－eq \f(e,2) D．－eq \f(e,3)答案　A解析　因为f′(x)＝eq \f(exx－2,x3)＋eq \f(1,x)＋eq \f(2k,x2)，所以f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝eq \f(e,2)，故选A.5．若曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)A．1 B．e C．－eq \f(1,e) D.eq \f(1,e)答案　D解析　设M(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x)(x>0)，所以切线斜率为k＝所以切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)．由题意得0－ln x0＝eq \f(1,x0)(0－x0)，即ln x0＝1，所以x0＝e.所以k＝eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e)，故选D.6．已知f(x)＝eq \f(f′1,x)＋4x，则f′(1)＝________.答案　2解析　因为f(x)＝eq \f(f′1,x)＋4x，所以f′(x)＝－eq \f(f′1,x2)＋4，所以f′(1)＝－eq \f(f′1,12)＋4，即f′(1)＝2.7.若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位：m，时间单位：s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.答案　0.4解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，∴v＝s′|t＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．8．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，则a＝________，切点的横坐标为________．答案　1　ln 2解析　由题意可得，f′(x)＝ex－eq \f(a,ex)是奇函数，∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)，f′(x)＝ex－eq \f(1,ex).∵曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，∴eq \f(3,2)＝ex－eq \f(1,ex)，可得ex＝2(舍负)，∴x＝ln 2.9．求下列函数的导数：(1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)x4＋6； (2)f(x)＝(5x－4)cos x； (3)f(x)＝eq \f(ln2x,x).解　(1)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x4＋6))′＝x2－2x3.(2)f′(x)＝[(5x－4)cos x]′＝5cos x－5xsin x＋4sin x.(3)f′(x)＝eq \f([ln2x]′×x－[ln2x]×x′,x2)＝eq \f(1－ln 2x,x2).10．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，∴f(0)＝1，又f′(x)＝2ax－2＋eq \f(1,x＋1)，∴f′(0)＝－1，∴切点P的坐标为(0,1)，切线l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x有f(x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为(　　)A．3 B.eq \f(5,2) C．2 D.eq \f(3,2)答案　C解析　f′(0)＝b>0.对于任意实数x有f(x)≥0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0，))则2eq \r(ac)≥b，因此eq \f(f1,f′0)＝eq \f(a＋c,b)＋1≥2.当且仅当a＝c＝eq \f(b,2)时，取等号．12．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(1)等于(　　)A．24 B．－24 C．10 D．－10答案　A解析　∵f′(x)＝(x－1)′·(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′·(x－1)，∴f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＝24.故选A.13．若函数f(x)＝－eq \f(1,b)eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为(　　)A．4 B．2eq \r(2)C．2 D.eq \r(2)答案　D解析　函数的导数为f′(x)＝－eq \f(1,b)eax·a，所以f′(0)＝－eq \f(1,b)e0·a＝－eq \f(a,b)，即在x＝0处的切线斜率k＝－eq \f(a,b)，又f(0)＝－eq \f(1,b)e0＝－eq \f(1,b)，所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,b)))，所以切线方程为y＋eq \f(1,b)＝－eq \f(a,b)x，即ax＋by＋1＝0.圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＝1，即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)答案　C解析　依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，由于af(a)．5．(多选)已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调区间为(　　)A．(－∞，0) B．(0,2)C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)答案　ABC解析　∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a×22＋2b×2＝0，,3a＋2b＝－3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，))令f′(x)＝3x2－6x0)．①当2a－1≥0，即a≥eq \f(1,2)时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)无极值．②当2a－10，f(x)单调递增；x1，∵x>1，∴原不等式转化为a>eq \f(1＋ln x,x)，设g(x)＝eq \f(ln x＋1,x)，得g′(x)＝eq \f(－ln x,x2)，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0时，有eq \f(xf′x－fx,x2)>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．答案　(－1,0)∪(1，＋∞)解析　令g(x)＝eq \f(fx,x)(x≠0)，则g′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2).∵当x>0时，eq \f(xf′x－fx,x2)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞)．∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1)．g(x)0，得f(x)>0(x≠0)．又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．16．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋5x＋5,ex).(1)求函数f(x)的极大值；(2)求f(x)在区间(－∞，0]上的最小值；(3)若x2＋5x＋5－aex≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝eq \f(－xx＋3,ex)，当x