人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀当堂达标检测题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第二册同步课时讲练52《导数的运算》教师版doc、人教A版高中数学选择性必修第二册同步课时讲练52《导数的运算》原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
学习目标
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一 几个常用函数的导数
知识点二 基本初等函数的导数公式
1．若y＝eq \r(2)，则y′＝eq \f(1,2)×2＝1.( × )
2．若f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4).( √ )
3．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlg5e.( × )
4．若y＝sin 60°，则y′＝cs 60°.( × )
一、利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0； (2)y＝(eq \f(1,3))x； (3)y＝lg x； (4)y＝eq \f(x2,\r(x))； (5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解 (1)y′＝0.
(2)y′＝(eq \f(1,3))xln eq \f(1,3)＝－(eq \f(1,3))xln 3.
(3)y′＝eq \f(1,xln 10).
(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝∴
(5)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，∴y′＝(cs x)′＝－sin x.
反思感悟
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
如y＝eq \f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq \r(5,x3)可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2 020； (2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))； (3)y＝4x； (4)y＝lg3x.
解 (1)因为y＝2 020，所以y′＝(2 020)′＝0.
(2)因为y＝eq \f(1,\r(3,x2))＝所以y′＝
(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.
(4)因为y＝lg3x，所以y′＝eq \f(1,xln 3).
二、利用导数研究曲线的切线方程
例2 已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解 ∵y′＝eq \f(1,x)，∴k＝y′|x＝e＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
延伸探究
求曲线y＝ln x的过点O(0,0)的切线方程．
解 ∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上．∴设切点Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝eq \f(1,x0).
又切线的斜率k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(ln x0,x0)，∴eq \f(ln x0,x0)＝eq \f(1,x0)，即x0＝e，∴Q(e,1)，∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练2 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
答案 A
解析 因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．
解 设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x).
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以＝eq \f(1,x0)＝1，即x0＝1，所以切点为(1,0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.
利用导数公式求切点坐标问题
典例 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴与直线l平行的抛物线的切线方程为2x－y－1＝0.
故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
[素养提升]
(1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)； ②y＝eq \f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq \f(2,27)；
③y＝2x，则y′＝2xln 2； ④y＝lg2x，则y′＝eq \f(1,xln 2).
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－eq \f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq \f(2,27)，故②正确；显然③，④正确．
2．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于( )
A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－1
答案 C
解析 f(x)＝eq \r(x)，得f′(x)＝∴f′(8)
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝eq \f(1,\r(x))，则y′＝－eq \f(1,2)eq \r(x)
C．若y＝eq \r(x)，则y′＝eq \f(1,2\r(x)) D．若y＝x，则y′＝1
答案 ACD
解析 只有B是错误的．因为y′
4．已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝eq \f(1,x\\al(2,0))，则x0＝ .
答案 1
解析 因为f(x)＝ln x(x>0)，所以f′(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝eq \f(1,x\\al(2,0))，所以x0＝1.
5．曲线y＝eq \f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是 ．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－eq \f(9,x2)，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
1．知识清单：
(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式．
(3)切线方程．
2．方法归纳：方程思想、待定系数法．
3．常见误区：不化简成基本初等函数.
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cs x)′＝－sin x B．(x3)′＝x3ln x
C．(ex)′＝xex－1 D．(ln x)′＝eq \f(1,xln 10)
答案 A
2．下列各式中正确的个数是( )
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(eq \r(5,x2))′ ④(cs 2)′＝－sin 2.
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵②(x－1)′＝－x－2；④(cs 2)′＝0.∴②④错误，故选A.
3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴a＝4.
4．若函数f(x)＝cs x，则f′(eq \f(π,4))＋f (eq \f(π,4))的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 f′(x)＝－sin x，所以f′(eq \f(π,4))＋f (eq \f(π,4))＝－sin eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,4)＝0.
5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1) D．(1，－1)
答案 BC
解析 y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
6．已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln 5lg5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为 ．
答案 x－y－1＝0
解析 由已知得f′(x)＝ln 5 eq \f(1,xln 5)＝eq \f(1,x)，所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.
7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
答案 4
解析 因为y′＝eq \f(1,2\r(x))，所以切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，
令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4.
8．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ．
答案 (1,1)
解析 设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.设g(x)＝eq \f(1,x)(x>0)，则g′(x)＝－eq \f(1,x2).
由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.所以P(1,1)．
9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为eq \f(\r(2),2).
10．已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．
解 设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，xeq \\al(2,0))在切线上，所以xeq \\al(2,0)＋2＝2x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,2)))，
所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))或y＋2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11．已知函数f(x)＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有( )
A．1条 B．2条
C．多于2条 D．不能确定
答案 B
解析 y′＝f′(x)＝3x2，设切点为(x0，xeq \\al(3,0))，由3xeq \\al(2,0)＝1，得x0＝±eq \f(\r(3),3)，
即在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))处均有斜率为1的切线，故有2条．
12．若曲线y＝xα＋1(α∈Q且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝ .
答案 2
解析 y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.
13．已知f(x)＝cs x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为 ．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))))
解析 ∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，∴由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，则sin x＝1，
解得x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴其解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))).
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝ .
答案 sin x
解析 由已知得，f1(x)＝cs x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cs x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.
15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ．
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线方程为y－aeq \\al(2,k)＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，∴ak＋1＝eq \f(1,2)ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝eq \f(1,2)的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为(eq \f(n,n＋1)，0)，则an＝lg eq \f(n,n＋1)＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.
5.2.2 导数的四则运算法则
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋cs \f(π,4)))′＝ex.( √ )
2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( √ )
3．当g(x)≠0时，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,gx)))′＝eq \f(－g′x,g2x).( √ )
一、利用运算法则求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,5)x5＋eq \f(4,3)x3； (2)y＝3x2＋xcs x； (3)y＝eq \f(x,1＋x)； (4)y＝lg x－ex； (5)y＝(eq \r(x)＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－1)).
解 (1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x5＋\f(4,3)x3))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x5))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x3))′＝x4＋4x2.
(2)y′＝(3x2＋xcs x)′＝(3x2)′＋(xcs x)′＝6x＋x′cs x＋x(cs x)′＝6x＋cs x－xsin x.
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,1＋x)))′＝eq \f(x′1＋x－x1＋x′,1＋x2)＝eq \f(1＋x－x,1＋x2)＝eq \f(1,1＋x2).
(4)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝eq \f(1,xln 10)－ex.
(5)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(x)＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－1))))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－\r(x)))′
＝－eq \f(1,2\r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x))).
反思感悟 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x； (2)y＝eq \f(ln x,x2)； (3)y＝eq \f(ex,x)； (4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解 (1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·eq \f(1,x)＝2x＋ln x＋1.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x2)))′＝eq \f(ln x′·x2－ln xx2′,x4)＝eq \f(\f(1,x)·x2－2xln x,x4)＝eq \f(1－2ln x,x3).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex,x)))′＝eq \f(ex′x－exx′,x2)＝eq \f(ex·x－ex,x2).
(4)方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
二、利用运算法则求曲线的切线
例2 (1)曲线y＝eq \f(sin x,sin x＋cs x)－eq \f(1,2)在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 y′＝eq \f(cs xsin x＋cs x－sin xcs x－sin x,sin x＋cs x2)＝eq \f(1,sin x＋cs x2)，故＝eq \f(1,2)，
∴曲线在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为eq \f(1,2).
(2)已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
①求a，b的值；
②如果曲线y＝f(x)的切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切线的方程．
解 ①f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
②∵切线与直线y＝－eq \f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
反思感悟
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练2 (1)曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝5x－4
C．y＝－5x＋6 D．y＝x－1
答案 C
解析 由y＝x3－4x2＋4，得y′＝3x2－8x，y′|x＝1＝3－8＝－5，
所以曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为y－1＝－5(x－1)，即y＝－5x＋6.
(2)已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．
答案 1,1
解析 f′(x)＝eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)－ln x)),x＋12)－eq \f(b,x2).由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq \f(1,2)，且过点(1,1)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
三、与切线有关的综合问题
例3 (1)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D．2
答案 B
解析 设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，∴＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝eq \f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)，
即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是eq \f(\r(2),2).
(2)设曲线 y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
答案 eq \f(2,e)
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为f′(1)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(1)＝2.
因为f(x)＝a(x－1)ex，所以f′(x)＝aex ＋a(x－1)ex＝axex，所以f′(1)＝ae，故a＝eq \f(2,e).
反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3 求曲线y＝eq \f(2,e)(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积．
解 由题意可知，y′＝eq \f(2,e)x·ex，y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝eq \f(2,e)(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.eq \f(19,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(13,3) D.eq \f(10,3)
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq \f(10,3).
2．设函数y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excs x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cs x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excs x)＝－2ex(sin x＋cs x)．
3．若函数f(x)＝eq \f(1,2) f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \f(1,2) f′(－1)x2－2x＋3，所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，所以f′(－1)＝－1.
4．已知f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝eq \f(ln x′·x－ln x·x′,x2)＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x,x2)＝eq \f(1－ln x,x2)，所以f′(1)＝1.
5．已知函数f(x)＝f′(eq \f(π,4))cs x＋sin x，则f(eq \f(π,4))的值为________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′(eq \f(π,4))sin x＋cs x，∴f′(eq \f(π,4))＝－f′(eq \f(π,4))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，得f′(eq \f(π,4))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sin x，∴f (eq \f(π,4))＝1.
1．知识清单：
(1)导数的运算法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′－x2′,x2) D．(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′
答案 AD
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′x2－sin xx2′,x22)，故错误；
D项中，(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′，故正确．
2．函数f(x)＝excs x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B.eq \f(π,4) C．1 D.eq \f(π,2)
答案 B
解析 对函数求导得f′(x)＝ex(cs x－sin x)，∴f′(0)＝1，∴函数f(x)＝excs x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为eq \f(π,4).
3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e C.eq \f(ln 2,2) D．ln 2
答案 B
解析 ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
答案 B
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5．(多选)当函数y＝eq \f(x2＋a2,x)(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是( )
A．a B．0 C．－a D．a2
答案 AC
解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq \f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq \f(x2－a2,x2)，由xeq \\al(2,0)－a2＝0得x0＝±a.
6．已知f(x)＝eq \f(sin x,1＋cs x)，则f′(eq \f(π,3))＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 因为f′(x)＝eq \f(sin x′1＋cs x－sin x1＋cs x′,1＋cs x2)＝eq \f(cs x1＋cs x－sin x－sin x,1＋cs x2)
＝eq \f(cs x＋cs2x＋sin2x,1＋cs x2)＝eq \f(cs x＋1,1＋cs x2)＝eq \f(1,1＋cs x).所以f′(eq \f(π,3))＝eq \f(1,1＋cs \f(π,3))＝eq \f(2,3).
7．已知f(x)＝eq \f(ex,x)，则f′(1) ＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝________.
答案 0 eq \f(1,2)
解析 因为f′(x)＝eq \f(ex′x－exx′,x2)＝eq \f(exx－1,x2)(x≠0)．所以f ′(1)＝0.
由f′(x0)＋f(x0)＝0，得解得x0＝eq \f(1,2).
8．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
答案 y＝x
解析 ∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cs x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
9．若曲线y＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解 ∵y＝x2－ax＋ln x，∴y′＝2x－a＋eq \f(1,x)，
由题意可知，存在实数x>0使得2x－a＋eq \f(1,x)＝0，即a＝2x＋eq \f(1,x)成立，
∴a＝2x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(2)(当且仅当2x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(\r(2),2)时等号成立)．
∴a的取值范围是[2eq \r(2)，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excs x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cs 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．已知曲线f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则实数a等于( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
答案 C
解析 ∵f′(x)＝eq \f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq \f(x2＋2x－a,x＋12)，又f′(1)＝tan eq \f(3π,4)＝－1，∴a＝7.
12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．－eq \f(3,2) D．－1
答案 C
解析 因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·eq \f(1,x)，所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－eq \f(1,2)，所以a＝－eq \f(3,2)，故选C.
13．已知函数f(x)＝f′(－1)eq \f(x2,2)－2x＋3，则f(－1)的值为________．
答案 eq \f(9,2)
解析 ∵f′(x)＝f′(－1)·x－2，∴f′(－1)＝－f′(－1)－2，解得f′(－1)＝－1.
∴f(x)＝－eq \f(x2,2)－2x＋3，∴f(－1)＝eq \f(9,2).
14．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点坐标为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x(x>0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.
答案 212
解析 因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.
16．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点坐标为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝eq \f(5,2)，c＝－eq \f(9,2).
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(5,2)x4－eq \f(9,2)x2＋1.
5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
知识点 复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考 函数y＝lg2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
答案 函数y＝lg2(x＋1)是由y＝lg2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
1．y＝cs 3x由函数y＝cs u，u＝3x复合而成．( √ )
2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cs 2x.( × )
3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.( √ )
一、求复合函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,1－3x4)； (2)y＝cs(x2)； (3)y＝lg2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2.
解 (1)令u＝1－3x，则y＝eq \f(1,u4)＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝eq \f(12,1－3x5).
(2)令u＝x2，则y＝cs u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)设y＝lg2u，u＝2x＋1，则yx′＝yu′ux′＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,2x＋1ln 2).
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟
(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))； (2)y＝5lg2(1－x)； (3)y＝sin(2x＋eq \f(π,3)).
解 (1)设y＝u＝1－2x，
则y′x＝
(2)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2).
(3) 设y＝sin u，u＝2x＋eq \f(π,3)，则yx′＝(sin u)′(2x＋eq \f(π,3))′＝cs u·2＝2cs(2x＋eq \f(π,3)).
二、复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(ln 3x,ex)； (2)y＝xeq \r(1＋x2)； (3)y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
解 (1)∵(ln 3x)′＝eq \f(1,3x)×(3x)′＝eq \f(1,x)，∴y′＝eq \f(ln 3x′ex－ln 3xex′,ex2)＝eq \f(\f(1,x)－ln 3x,ex)＝eq \f(1－xln 3x,xex).
(2)y′＝(xeq \r(1＋x2))′＝x′eq \r(1＋x2)＋x(eq \r(1＋x2))′＝eq \r(1＋x2)＋eq \f(x2,\r(1＋x2))＝eq \f(1＋2x2\r(1＋x2),1＋x2).
(3)∵y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝x(－sin 2x)cs 2x＝－eq \f(1,2)xsin 4x，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xsin 4x))′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(x,2)cs 4x·4＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x.
反思感悟
(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝sin2eq \f(x,3)； (2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝xln(1＋x)．
解 (1)方法一 ∵y＝eq \f(1－cs \f(2,3)x,2)，∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(cs \f(2,3)x,2)))′＝eq \f(1,3)sin eq \f(2,3)x.
方法二 y′＝2sin eq \f(x,3)cs eq \f(x,3)·eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)sin eq \f(x,3)cs eq \f(x,3)＝eq \f(1,3)sin eq \f(2,3)x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′＝3sin2xcs x＋cs x3·3x2＝3sin2xcs x＋3x2cs x3.
(3)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋eq \f(x,1＋x).
三、与切线有关的综合问题
例3 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0
答案 A
解析 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝eq \f(2,2x－1)，∴＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).
(2)设f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在(0,0)点相切．求a，b的值．
解 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，
则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0.
反思感悟
(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．
(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \f(k＋ln x,ex)(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为 ．
答案 1
解析 由f(x)＝eq \f(ln x＋k,ex)，得f′(x)＝eq \f(1－kx－xln x,xex)，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ．
答案 2 eq \f(1,4)
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.
因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，
所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－eq \f(1,2).∴S＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,4).
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn
答案 AD
2．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于( )
A．3(2 020－8x)2 B．－24x
C．－24(2 020－8x)2 D．24(2 020－8x)2
答案 C
解析 y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.
3．函数y＝x2cs 2x的导数为( )
A．y′＝2xcs 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cs 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcs 2x＋2x2sin 2x
答案 B
解析 y′＝(x2)′cs 2x＋x2(cs 2x)′＝2xcs 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcs 2x－2x2sin 2x.
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝ .
答案 eq \f(3,2)
解析 ∵f′(x)＝eq \f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq \f(3,3－1)＝eq \f(3,2).
5．曲线 y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为 ．
答案 x＋y－1＝0
解析 ∵y′＝eq \f(－1,2－x)＝eq \f(1,x－2)，∴y′| x＝1＝eq \f(1,1－2)＝－1，即切线的斜率是k＝－1，
又切点坐标为(1,0)．∴y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
1．知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4
答案 BCD
解析 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，其中B由y＝cs u，u＝x＋eq \f(π,4)复合而成；
C由y＝eq \f(1,u)，u＝ln x复合而成；D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5)
C．2xln(2x＋5) D.eq \f(x,2x＋5)
答案 B
解析 ∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5).
3．函数y＝x3ecs x的导数为( )
A．y′＝3x2ecs x＋x3ecs x B．y′＝3x2ecs x－x3ecs xsin x
C．y′＝3x2ecs x－x3esin x D．y′＝3x2ecs x＋x3ecs xsin x
答案 B
解析 y′＝(x3)′ecs x＋x3(ecs x)′＝3x2ecs x＋x3ecs x·(cs x)′＝3x2ecs x－x3ecs xsin x.
4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
答案 C
解析 ∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C.
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
6．函数y＝sin 2xcs 3x的导数是 ．
答案 y′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x
解析 ∵y＝sin 2xcs 3x，∴y′＝(sin 2x)′cs 3x＋sin 2x(cs 3x)′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x.
7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′(eq \f(π,9))sin 3x＋cs 3x，则f′(eq \f(π,9))＝ .
答案 3eq \r(3)
解析 ∵f(x)＝f′(eq \f(π,9))sin 3x＋cs 3x，∴f′(x)＝f′(eq \f(π,9))·3cs 3x－3sin 3x，
令x＝eq \f(π,9)可得f′(eq \f(π,9))＝f′(eq \f(π,9))×3cs eq \f(π,3)－3sin eq \f(π,3)＝eq \f(3,2) f′(eq \f(π,9))－3×eq \f(\r(3),2)，解得f′(eq \f(π,9))＝3eq \r(3).
8．点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是 ，此时点P的坐标为 ．
答案 eq \f(7\r(2),8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))
解析 与直线y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短．
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2(x0＋1)＝1，∴x0＝－eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4).
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(－12＋12))＝eq \f(7\r(2),8).
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cs 4x.
解 (1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq \f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq \f(ex＋2x,ex＋x2).
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)∵y＝sin4x＋cs4x＝(sin2x＋cs2x)2－2sin2 x·cs2 x＝1－eq \f(1,2)sin2 2x＝1－eq \f(1,4)(1－cs4x)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cs 4x.
∴y′＝－sin 4x.
10．曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．
解 ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcs x，∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故直线l可设为x－y＋m＝0.
由eq \f(|m－1|,\r(1＋－12))＝eq \r(2)得m＝－1或3.
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1
答案 A
解析 依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
12．(多选)已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D. eq \f(7π,8)
答案 CD
解析 因为y＝eq \f(4,ex＋1)，所以y′＝eq \f(－4ex,ex＋12)＝eq \f(－4ex,e2x＋2ex＋1)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).
因为ex>0，所以ex＋eq \f(1,ex)≥2(当且仅当x＝0时取等号)，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
13．设函数f(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0