人教版2024-2025学年八年级数学专题11.2与三角形有关角的综合(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

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专题11.2 与三角形有关角的综合思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。知识点总结一、三角形的内角及内角和定理1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．二、三角形的外角性质1.三角形的外角和为360°；2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．典例分析 【典例1】在△ABC中，∠C=60°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．【问题初探】（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的数量关系为______；【问题再探】（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系；（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系．【问题解决】（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系．【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系．（1）（2）均先根据三角形内角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根据∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，从而求出答案即可；（3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，从而求出答案即可；（4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，从而得到答案即可；（5）分三种情况讨论：①在线段AB的延长线上，②不在线段AB的延长线上，③当点P在AC延长线上，分别画出图形进行解答即可．【解题过程】解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，∴∠APD+∠BPE=120°，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°−120°−120°=120°，故答案为：120；（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∴∠APD+∠BPE=180°−∠α，∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°−120°−180°+∠α=60°+∠α，故答案为：∠1+∠2=60°+∠α；（3）如图所示：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠ABC=180°−60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，∴∠1−∠2=60°+∠α；（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵五边形ABEPF的内角和为5−2×180°=540°，∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，∴∠1+∠2=540°−120°−∠α，即∠1+∠2=420°−∠α；（5）由题意可知点P的位置可能两种情况，①在线段AB的延长线上，如（3）∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；②不在线段AB的延长线上，有两种情况第一种如图所示：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，∴∠A+∠B=180°−60°=120°，∵∠3+∠2+∠α=180°，∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，∵∠A+∠B+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，∴∠1−∠2=60°+∠α，第二种如图所示：∵∠COD=∠POE，∴180°−60°−180°−∠1=180°−∠α−180°−∠2∴∠1−∠2=60°−∠α．③当点P在AC延长线上时，如图：∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α，∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°，∴180°−60°+180°−∠2+∠α=180°，∴300°−∠2+∠α=∠1，∴∠1+∠2=300°+∠α；∴若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；∠1−∠2=60°−α；∠1+∠2=300°+∠α．学霸必刷1．（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（　　）  A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠BDC=12∠BAC；④∠ADC=90°−∠ABD；⑤∠ADB=45°−12∠CDB．其中正确的结论有（    ）  A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图，在ΔABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C，正确的是（ ）  A．1 B．2 C．3 D．44．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A=α，则∠A2023= ．  5．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，点F在BC延长线上，FH⊥AD，交AE于点G，交AB于点H．给出下列结论：①∠DAE=∠F；②∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B．其中结论正确的为 ．（填序号）．6．（2023上·吉林·八年级阶段练习）【题目】如图①：根据图形填空：（1）∠1=∠C+　　，∠2=∠B+　　；（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______+∠1+∠2=　 ；【应用】（3）如图②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；【拓展】（4）如图③，若∠BGF=110°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为______度．7．（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）综合与探究  （1）如图1，将△ABC沿着DE第一次折叠，顶点B落在△ABC的内部点O处，试探究∠1+∠2与∠B之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，将△ABC沿着FG第二次折叠，顶点C恰好与点O重合，若∠A=85°，∠5=62°，求∠1+∠3的度数．（3）如图3，将△ABC沿着GH第三次折叠，顶点A恰好与点O重合，若∠A=α，∠5=β，用含α，β的代数式表示∠6−∠1+∠AGO．8．（2023上·全国·八年级期末）（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A1处，试探究∠1、∠2与∠A的关系；（2）如图2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，求∠BNC的度数；（3）如图3，若点A1落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A1，此时∠1,∠2, ∠BA1C满足怎样的数量关系？并给出证明过程．  9．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．（1）如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系．（直接写结论）10．（2023下·湖北·七年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是 　 　；∠EFB的度数是 　 　，②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．  （1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求∠BPC的度数；（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1,P2，求∠BP1C,∠BP2C的度数；（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P1,P2,…Pn−1，则∠BP1C=________（结果用含n的式子表示），∠BPkC= ________（1≤k≤n−1，k为整数，结果用含n和k的式子表示）12．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．【探究】（1）如图1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°；（2）如图2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α,β表示）（3）如图3，∠ADC=α,∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，α,β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．【挑战】如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β