人教版数学八年级上册 第11章三角形压轴题训练（含答案）

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第11章 三角形 压轴题训练
1．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；
阅读下面的内容，并解决后面的问题：

(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；
(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．
2．如图，在中，，D为射线上一点，过点D作于点E．

(1)如图①，当点在线段上时，请直接写出与的数量关系；
(2)如图②，当点在的延长线上时，交的延长线于点，探究与的数量关系，并说明理由；
(3)在（）的条件下，若点为线段上一点，过点作于点，连接，且，，延长，交于点，求的度数．


3．如图，直线MN的同侧放置着角度分别为45°、45°、90°的三角板OAB和角度分别为30°、60°、90°的三角板OCD．点A、O、C在直线MN上，点O、B、D三点共线，OA=OB=OC=3cm．

(1)如图1，连接BC，则∠BCD=_________．
(2)如图2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于点G，求四边形的面积．
(3)如图3，三角板OAB绕着点O旋转，当ABMN时，AB与OD交于点H，在OA上取一点P，∠PHO的角平分线HQ与线段BO的延长线交于点Q，试探索∠AHP与∠HQB的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，若将图1中的三角板OAB绕着点O以每秒5°的速度顺时针旋转一周，当边OA或OB与边CD平行时，求旋转时间t的值．
4．如图，已知ABCD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．

（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝ °，∠PFQ＝ °．
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
5．如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q．

(1)若，则____________，____________；
(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若，则____________，____________；（用含x的代数式表示）；
(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．
6．在平面直角坐标系中，，，直角三角形的边与轴分别相交于、两点，与直线分别交于、点，．

(1)将直角三角形如图位置摆放，如果，则______；
(2)将直角三角形如图位置摆放，为上一点，
①若，请直接写出与之间的等量关系：______；
②若，请判断与之间的等量关系，并说明理由．
(3)将直角三角形如图位置摆放，若，延长交于点，点是射线上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论题中的所有角都大于小于：______．
7．在中，

(1)如图（1），、的平分线相交于点．
①若，求的度数．
②若，则_________．
(2)如图（2），在中的外角平分线相交于点，，求的度数．
(3)如图（3），的、的平分线相交于点，它们的外角平分线相交于点．请回答：与具有怎样的数量关系？并说明理由．
8．（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是　　．
（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是　　．
（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．

9．如图，，点A、分别在、上运动（不与点重合）．

(1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．
①若，则______；
②猜想：的度数是否随A，的移动发生变化？并说明理由．
(2)如图，若，，则______；
(3)若将改为（如图3），，，其余条件不变，则______（用含，的代数式表示，其中）．
10．（1）如图1，F是OC边上一点，求证：∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；
（2）如图2，∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，点D、E在射线OA、OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F．设∠EDP＝x，若DE⊥OA，是否存在这样的x使得∠EFD＝3∠EDF？若存在，求出x；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若射线DA绕点D顺时针旋转至DO后立即回转，射线EO绕点E顺时针旋转至ED停止，射线DA转动的速度是4.5°/s，射线EO转动的速度是1°/s．若射线DA先旋转2s，射线EO才开始绕点E顺时针旋转，在射线EO到达ED之前，射线EO旋转到第________s时，射线DA与射线EO互相平行．



11．已知AD∥BC，∠ADB＝28°，点E在直线BD上，点F在射线BC上，E不与B、D重合，F不与B、C重合．

(1)如图1，当点E在线段BD的延长线上，点F在线段BC上时，连EF，求证：∠EFB＋∠DEF＝152°；
(2)如图2，当点E在直线DB上运动，点F在线段BC上时，连EF，探究∠EFB与∠DEF之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点E在线段BD延长线上，点Q在线段BC延长线上，点F在射线BC上，且点Q在点F的右侧时，直线DP平分∠ADE，直线FP平分∠EFQ，DP、FP交于点P，直接写出∠DEF和∠DPF的关系．


12．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动．
　　
(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F= ；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小也不发生变化，其大小为∠CED= .
(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF= ；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
13．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．

(1)求证：ABCD；
(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．




14．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°．
①【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由．
②【拓展延伸】
在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．

15．如图1，在平面直角坐标系中，，过C作轴于B．

(1)如图1，则三角形的面积_____________；
(2)如图2，若过B作交y轴于D，则的度数为_____________；若分别平分，求的度数；
(3)若线段与y轴交点M坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β．

(1)如图1，若α＋β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由：
(2)如图2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于点O．
①当α＝70°，β＝150°时，则∠BOC＝_______；
②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由．
(3)如图3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝______．（用含α、β的代数式表示）．
17．已知：直线，动点在直线上运动，探究，，之间的关系．

(1)【问题发现】若，，求的度数．
(2)【结论猜想】当点在线段上时，猜想，，三个角之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】若点在射线上或者在射线上时（不包括端点），试着探究，，之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由．


18．中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，．

初探：
(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________；
(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；
(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；
再探：
(4) 如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由．



19．如图，AB、CD被AC所截，，∠CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F．

(1)当点P在点A的右侧时
①若∠ACP＝36°，则此时CP是否平分∠ECF，请说明理由．
②求∠ECF的度数．
(2) 在点P运动过程中，直接写出∠APC与∠AFC之间的数量关系．







20．已知，如图，ABCD，直线交于点，交于点点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．

(1)如图，当时，______；
(2)如图，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图，在问的条件下，若，，过点作交的延长线于点将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值．

参考答案：
1．(1)
(2)①，理由见解析；
②；
③

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；
（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；
②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；
③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；
（1）
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．

（2）
，理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，
③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D
即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴．

②，理由如下：
如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，
由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，
在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，
即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，
即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴；

③，理由如下：
如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，
⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
2．(1)∠BAC=2∠EDC
(2)∠BAC=2∠EDC，理由见解析
(3)∠EKA=18°

【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质，等角的余角相等解决问题即可；
（2）作AM⊥BC于M，由（1）同理可证∠BAC=2∠EDC；
（3）如图2中，设∠C=∠FAC=∠ABC=x，则∠BAF=∠BFA=2x，构建方程求出x即可解决问题．
（1）
如图1中，作AH⊥BC于H，
∵，
∴∠BAC=2∠CAH．
∵DE⊥AC，
∴∠AHC=∠DEC=90°，
∴∠C+∠CAH=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠CAH=∠CDE，
∴∠BAC=2∠EDC．

（2）
结论：∠BAC=2∠EDC．理由如下：
如图2中，作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，
∴∠BAC=2∠CAM．
∵DE⊥AC，
∴∠AMC=∠DEC=90°，
∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠CAM=∠CDE，
∴∠BAC=2∠EDC．

（3）
∵∠AFG=∠CFG，FG⊥AC，
∴∠FAC=∠C．
设∠C=∠FAC=∠ABC=x，
∴∠BAF=∠BFA=2x．
在△BAF中，∠BAF+∠BFA+∠ABC=180°，
∴2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴∠EAK=∠ABC+∠C=36°+36°=72°．
∵KE⊥EC，
∴∠E=90°，
∴∠EKA=90°−∠EAK=18°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质等知识．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3．(1)15
(2)四边形的面积=(2+3) ×1=2.5；
(3)∠AHP=2∠HQB；
(4)旋转时间t的值为12或30或48或66秒．

【分析】（1）求得∠OBC =∠BCO=45°，利用角的和差即可求解；
（2）求得AO= GO=3-1=2(cm)，利用梯形面积公式即可求解；
（3）由角平分线的定义得到并设∠PHQ=∠QHO=α，推出∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，消去α即可求解；
（4）分四种情况讨论，画出图形，利用解方程的方法求解即可．
（1）
解：∵OA=OB=OC=3cm，∠AOB=∠BOC=90°，∠DCO=60°，
∴∠OBC =∠BCO=45°，
∴∠BCD=∠DCO-∠BCO=15°，
故答案为：15；
（2）
解：∵=1cm，∠GAO=45°，
∴AO= GO=3-1=2(cm)，
∴四边形的面积=(2+3) ×1=2.5()；
（3）
解：∠AHP=2∠HQB，理由如下：
∵HQ平分∠PHO，
∴∠PHQ=∠QHO，
设∠PHQ=∠QHO=α，
∵ABMN，
∴∠BOC=∠B=45°，∠AHO=∠HOC=90°，
∴∠BOH=45°，
∴∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，
∴∠AHP+2α=2∠HQB+2α=90°，
∴∠AHP=2∠HQB；
（4）
解：由题意得旋转的角度为5t，
当OACD时，如图：

∴∠AOD=∠D=30°，∠AON=90°-30°=60°，
∴5t=60，
解得：t=12(秒)；
当OBCD时，如图：

∴∠BOC=∠DCO=60°，
∴∠AOC=90°-60°=30°，
∴∠AON=180°-30°=150°，
∴5t=150，
解得：t=30(秒)；
当OACD时，如图：

∴∠AOC=∠DCO=60°，
∴5t=180+60，
解得：t=48(秒)；
当OBCD时，如图：

∴∠BON=∠DCO=60°，
∴∠AON=90°-60°=30°，
∴5t=360-30，
解得：t=66(秒)；
综上，当边OA或OB与边CD平行时，旋转时间t的值为12或30或48或66秒．
【点评】本题目考查了平行线的性质，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键．掌握分类思想，注意不能漏解．
4．（1）26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由见解析；（3）t=或或．
【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，根据ABCD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△的三边分别与平行，分别画出图形求解即可．
【详解】解：（1）如图1，

延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ=∠BPE=2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH=QEG=90°，
∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，
∴∠EQH=∠EQC=45°+α，
∵∠EQN=64°，
∴∠EGQ=26°，
∴∠BPE=26°．
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α=α+∠PFH，
∴∠PFH=135°，
故答案为：26；135；
（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：
如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，
∵ABCD，
∴∠PGQ=∠BPE=2α，
∵∠GEQ=180°-∠PEQ，
∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，
∴∠HQE=∠EQC=90°+α-∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α-∠PEQ=α+∠PFQ
∴2∠PFQ-∠PEQ=180°；
（3）根据题意，需要分三种情况：

∵∠APE=150°，∴∠BPE=30°，
∵PF平分∠MPE，∴∠FPE=∠BPF=15°，
由（2）得2∠PFQ-∠PEQ=180°，
又∠PEQ=90°，
∴∠PFQ =135°，
∴∠HPF=45°，
∴∠HPB=30°，
由题意得∠=10t，则∠=30+10t，
∠=5t，则∠=110-5t，
设与AB的交点为I，则∠=∠，
如图3（1），当时，
∠=∠=∠，
110-5t=30+10t，
∴t=，
如图3（2），当时，
∠=10t，则∠=30+10t，
∴∠=∠-∠=90-（180-10t-30），
同理∠=∠，
∴90-（180-10t-30）=110-5t，
∴t=，
如图3（3），当时，
∠=10t，则∠=5t-15，
∴∠=∠，
∴110-5t=10t-15，
∴t=，
综上所述：t=或或．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及其推论，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
5．(1)115，25
(2)不发生变化，理由见解析
(3)，
(4)45°，60°，120°，135°

【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）将（2）中换成，同理即可求解；
（4）设，由（3）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于x的等式，解出x即可．
（1）
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴；
∵，
∴．
∵CP平分，CQ平分，
∴，．
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：115，25；
（2）
当的度数发生变化时，、的度数不发生变化
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴


．
∴
由（1）可知不变，
∴．
∴当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；
（3）
∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴


．
∴．
由（1）可知不变，
∴．
故答案为：，；
（4）
设，
由（3）可知，．
∵，
∴可分类讨论：①当时，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∴，
解得：，
∴；
③当时，
∴，
解得：，
∴；
④当时，
∴，
解得：，
∴．
综上可知或或或．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
6．(1)
(2)①；②，见解析
(3)或

【分析】（1）过点作，可得轴，则，，结合，可得，即可得出答案．
（2）①过点作轴，可得轴，则，，结合已知条件与邻补角的定义可得，根据，可得，结合，可得出答案．
②由轴，可得，，结合已知条件与邻补角的定义可得，最后由，可得出答案．
（3）当点在上时，或当点在线段的延长线上时，分别利用平行线的性质可得出答案．
（1）
解：过点作，
，，
轴，
轴，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．

（2）
解：①过点作轴，
轴，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得．
故答案为：．
．
理由如下：
轴，
，，
，，
，
，
．

（3）
解：当点在上时，过点作，

，
，，
，
．
当点在线段的延长线上时，

，
，，
，
，
．
故答案为：或．
【点评】本题考查平行线的判定与性质、角的计算及坐标与图形，能够添加恰当的辅助线是解答本题的关键．
7．(1)①；②；
(2)；
(3)

【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的意义，首先求出，进而求出，即可解决问题；②方法同①；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出和，再根据角平分线的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）由（1）得，由（2）可得，两式相加即可得到结论．
（1）
解：①∵∠A=64°，
∴∠ABC+∠ACB=116°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，
∴，
∴，
∴，
②∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-n° ，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，  
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
解：∵外角和的平分线相交于点Q，
∴




∴，
∵ ，
∴，
（3）
解：由（1）得，
由（2）可得，
∴
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用三角形内角和定理、外角的性质是解答本题的关键．
8．（1）125°（2）55°（3）35°
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解；
（2）应用角平分线的性质，补角的概念即可求解；
（3）综合（1）、（2）解题思路即可求解；
【详解】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），
＝×（180°﹣∠A）＝55°，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，
故答案为：125°．
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
＝180°+70°＝250°，
∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB，
∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB），
＝125°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，
故答案为：55°．
（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），
＝∠A＝35°，
即∠P等于∠A的一半，
答：∠P的度数是35°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
9．(1)①；②不随A，的移动发生变化，理由见解析
(2)
(3)

【分析】（1）①先利用角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理可得，即可得到，利用角平分线的定义可得，即可求解；
②设，证明过程与①类似；
（2）设，解题过程与（1）类似；
（3）与（1）（2）类似，设出的度数，再进行推导即可．
（1）
解：①，平分，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故答案为：；
②的度数不随，的移动发生变化，理由如下：
设，
平分，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
的度数不随，的移动发生变化；
（2）
解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）
解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形内角和定理，列代数式，角的计算等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
10．（1）见解析；（2）存在，当x＝27°或18°时，∠EFD＝3∠EDF；（3）或．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理与平角的定义证明即可；
（2）求出∠AOC＝18°，然后分情况讨论：①若DP在DE左侧，求出∠FED＝72°，根据三角形内角和定理可得x＋3x＋72°＝180°，解方程可得x的值；②若DP在DE右侧，求出∠DEO＝72°，根据三角形外角的性质可得x＋3x＝72°，解方程可得x的值；
（3）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据平行线的性质，列方程求解即可．
【详解】（1）证明：由三角形的内角和定理可得：∠OAF＋∠AOC＋∠AFO＝180°，
∵∠AFC＋∠AFO＝180°，
∴∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；
（2）解：存在这样的x的值，使得∠EFD＝3∠EDF．
∵∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝18°，
分两种情况：
①如图，若DP在DE左侧，

∵DE⊥OA，
∴∠FED＝90°−18°＝72°，
∴x＋3x＋72°＝180°，
解得x＝27°；
②如图，若DP在DE右侧，

∵DE⊥OA，
∴∠DEO＝90°−18°＝72°，
∵∠DEO＝∠EDF＋∠EFD，
∴x＋3x＝72°，
解得x＝18°；
综上所述，当x＝27°或18°时，∠EFD＝3∠EDF；
（3）解：分两种情况：
①当射线DA向DO旋转时，如图，

当时，∠1＝∠2，
设射线EO旋转的时间为t秒，则∠1＝（72−t）°，∠2＝90−4.5（t＋2）＝（81－4.5t）°，
∴72−t＝81－4.5t，
解得t＝；
②当射线DA由DO回转时，如图，

当时，∠1＝∠2，
设射线EO旋转时间为t秒，则∠1＝（72−t）°，∠2＝4.5（t＋2）−270＝（4.5t－261）°，
∴72−t＝4.5t－261，
解得t＝；
综上，射线EO旋转到第或s时，射线DA与射线EO互相平行，
故答案为：或．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，掌握三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键，另外在解题时注意分类讨论思想的运用．
11．(1)见详解
(2)当E点线段BD的延长线上时，∠EFB+∠DEF=152°；
当E点在线段BD上（不含端点）时，∠DEF-∠EFB=28°；
当E点在线段DB的延长线上时，∠DEF+∠EFB=28°，
理由见详解
(3)2∠DPF-∠DEF=180°，理由见详解

【分析】（1）根据，可得∠ADB=∠DBF，再根据三角形内角和定理即可求证；
（2）根据E点位置不同，分当E点线段BD的延长线上时、当E点在线段BD上（不含端点）时、当E点在线段DB的延长线上时，三种情况讨论，利用三角形的外角的定义与性质即可求解；
（3）设DP交EF于点N，M点是PD延长线上的一点，延长DP交BQ于点G，根据DP平分∠ADE，可得∠ADM=∠EDM=76°，在根据，可得∠PGF=∠ADM，由PF平分∠EFQ，得到∠PFG=∠EFQ，再根据三角形的外角的定义与性质有∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，即可求解．
（1）
∵，
∴∠ADB=∠DBF，
∵∠ADB=28°，
∴∠DBF=28°，
∵∠DBF+∠EFB+∠DEF=180°，
∴∠EFB+∠DEF=180°-∠DBF=180°-28°=152°，
得证；
（2）
根据E点位置不同，∠EFB与∠DEF之间的数量关系也不同，
当E点线段BD的延长线上时，∠EFB+∠DEF=152°；当E点在线段BD上（不含端点）时，∠DEF-∠EFB=28°；当E点在线段DB的延长线上时，∠DEF+∠EFB=28°，理由如下，
分情况讨论，
第一种情况，当E点线段BD的延长线上时，
根据（1）的结果可知：∠EFB+∠DEF=152°；
第二种情况，当E点在线段BD上（不含端点）时，如图，

∵∠EFB+∠DBF=∠DEF，
又∵∠DBF=28°，
∴∠EFB+28°=∠DEF，
∴∠DEF-∠EFB=28°，
此时数量关系为：∠DEF-∠EFB=28°；
第三种情况，当E点在线段DB的延长线上时，如图，

∵∠EFB+∠DEF=∠DBF，
又∵∠DBF=28°，
∴∠EFB+∠DEF=∠DBF=28°，
∴∠EFB+∠DEF=28°，
此时数量关系为：∠DEF+∠EFB=28°；
（3）
2∠DPF-∠DEF=180°，理由如下，
设DP交EF于点N，M点是PD延长线上的一点，延长DP交BQ于点G，如图，

∵∠ADB=28°，
∴∠ADE=180°-28°=152°，
∵DP平分∠ADE，
∴∠ADM=∠EDM=∠ADE=76°，
∵，
∴∠PGF=∠ADM=76°，
∵PF平分∠EFQ，
∴∠PFG=∠EFQ，
∵∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠PGF=76°，
∴∠DPF=76°+∠EFQ，
∵∠DBF=28°，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，
∴∠DPF=76°+∠EFQ=76°+(28°+∠DEF)，
∴2∠DPF-∠DEF=180°，
得证．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角定义及性质、角平分线的性质等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键．
12．(1)不变，∠AEB＝135°；
(2)45°，67.5°；
(3)90°；∠ABO的度数为60°或45°．

【分析】（1）先求出∠BAO＋∠ABO＝90°，结合角平分线的定义可得∠BAE＋∠ABE＝45°，再利用三角形的内角和定理可求解∠AEB的度数；
（2）由平角的定义求出∠BAP＋∠ABM＝270°，利用角平分线的定义可求∠DAB＋∠ABC＝135°，利用三角形的内角和定理可求出∠F，然后根据四边形的内角和定理可得∠ADC＋∠BCD＝225°，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；
（3）先求出∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，然后根据△AEF中，有一个角是另一个角的3倍分4种情况求解即可．
（1）
解：不变，
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB＋∠BAO＋∠ABO＝180°，
∴∠BAO＋∠ABO＝90°，
∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，
∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE＋∠ABE＝45°，
∵∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝135°；
（2）
∵∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠BAP＋∠ABM＝180°＋180°−90°＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠DAB＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，
∴∠DAB＋∠ABC＝135°，
∴∠F＝180°－∠DAB－∠ABC＝45°，
又∵∠DAB＋∠ABC＋∠ADC＋∠BCD＝360°，
∴∠ADC＋∠BCD＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE＝∠ADC，∠DCE＝∠BCD，
∴∠CDE＋∠DCE＝112.5°，
∴∠CED＝180°－∠CDE－∠DCE＝67.5°，
故答案为：45°，67.5°；
（3）
∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠OAG，
∵∠BAO＋∠OAG＝180°，
∴∠EAO＋∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，
∵OE平分∠BOQ，
∴∠BOQ＝2∠EOQ，
∵∠EOQ＝∠E＋∠OAE，∠BOQ＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠ABO＝2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，
故有4种情况：
①∠EAF＝3∠E＝90°时，则∠E＝30°，∠ABO＝60°；
②∠EAF＝3∠F＝90°时，则∠F＝30°，
∴∠E＝90°－30°＝60°，
∴∠ABO＝120°，（不合题意，舍去）；
③∠F＝3∠E时，
∵∠E＋∠F＝90°，
∴∠E＝22.5°，
∴∠ABO＝45°；
④∠E＝3∠F时，
∵∠E＋∠F＝90°，
∴∠E＝67.5°，
∴∠ABO＝135°，（不合题意，舍去）；
综上，∠ABO的度数为60°或45°．
故答案为：90°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，四边形的内角和问题，灵活运用三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°来求解角的度数是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析

【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设，，，，过作，过作，推出，根据平行线的性质得到，，得到，于是得到结论；
（3）设，，，，根据平行线的性质得到，由三角形的外角的性质得到，根据平角的定义得到，于是得到结论．
（1）
解：，，，
，
；
（2）
解：设，，，，
过作，过作，
，，，
，
，，
，，
，
，
；

（3）
解：，，
设，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，四边形的内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是正确的识别图形．
14．（1）见解析；（2）①26°，理由见解析；②∠P=α+β，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）【问题探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题．
【拓展延伸】由（1）的结论易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再将已知条件代入化简即可求解∠P．
【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，
∠C+∠D+∠CED=180°，
∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）①解∶如图3，

∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∠P+∠PAB=∠B+∠4，
又∠1=∠PAB，
∴∠P+∠1=∠B+∠4，
又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，
∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，
又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D
∴∠P =(∠B+∠D)=26°
②解：∠P=α+β．
理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，
由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，
∴∠P+∠CDB =∠C+∠CAB，①
∠P+∠CAB=∠B+∠CDB，②
①×2+②，得2∠P+∠CDB+∠P+∠CAB=2∠C+∠CAB+∠B+∠CDB，
∴3∠P=2∠C+∠B
∴∠P==α+β．
【点评】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．(1)4；
(2)90°，45°；
(3)存在，或．

【分析】（1）根据题意求出BC=2，AB=OA+OB=4，根据三角形面积公式即可求出三角形的面积为；
（2）根据题意求出∠OBD+∠ODB=90°，根据得到∠OBD=∠BAC，即可得到；连接，得到，，，根据三角形内角和为180°和即可求出；
（2）设P点坐标为，根据三角形和三角形的面积相等，得到，求出或，问题得解．
（1）
解：∵， 轴，
∴BC=2，AB=OA+OB=4，
∴三角形的面积为；
故答案为：4
（2）
解：∵OB⊥OD，
∴∠BOD=90°，
∴∠OBD+∠ODB=90°，
∵
∴∠OBD=∠BAC，
∴，
故答案为：90°；
连接，如图2，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∵，即，
而，
∴，
∴；

（3）
解：存在．如图3，设P点坐标为，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，
即，
即
∴或，
∴P点坐标为或．

【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，三角形的内角和，直角三角形两锐角互余等知识，综合性较强，难度较大，理解相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
16．(1)BMCN，理由见解析
(2)①20°；②，理由见解析
(3)

【分析】（1）由α+β=180°先判断ABCD，根据平行线的性质得出∠DCE=∠ABC，再由角平分线的性质证得结论；
（2）①根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD，根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；
②根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；
（3）根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可．
（1）
解：CNBM，
理由如下：
∵α+β=180°，
∴ABCD，
∴∠DCE=∠ABC，
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠CBM，
∴CNBM；
（2）
解：①∵α=70°，β=150°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-70°-150°=140°，
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，
∴x=∠BOC+y，
∴∠BOC=x-y，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+140°-2y=180°，
∴x-y=20°，
∴∠BOC=20°．
故答案为：20°；
②∠BOC=，
理由如下：
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，
∴x=∠BOC+y，
∴∠BOC=x-y，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，
∴，
∴∠BOC=；
（3）
解：∠BOC=，
理由如下：
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），
∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，
∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，
设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，
∵∠CBM=∠BOC+∠BCO，∠ECN=∠BCO，
∴y=∠BOC+x，
∴∠BOC=y-x，
∵∠ECD+∠DCB=180°，
∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，
∴，
∴∠BOC=．
故答案为：∠BOC=．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．
17．(1)60°；
(2)∠DPC=∠ADP+∠PCB，理由见解析；
(3)∠PCB=∠DPC+∠ADP；或∠ADP=∠DPC+∠PCB，图及理由见解析．

【分析】（1）过P作，由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用两直线平行内错角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；
（2）过P作，由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用两直线平行内错角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；
（3）分别就两种情况画图2和图3，根据平行线的性质和外角的性质可得结论．
（1）
如图1，过P作，

∵，
∴，
∴∠ADP=∠DPM，∠MPC=∠PCB，
∴∠DPM+∠CPM=∠ADP+∠PCB，
∴∠DPC=∠ADP+∠PCB，
∵∠ADP=25°、∠BCP=35°，
∴∠DPC=25°+35°=60°；
（2）
∠DPC=∠ADP+∠PCB，
理由：过P作，如图1所示：
∵，
∴，
∴∠ADP=∠DPM，∠MPC=∠PCB，
∴∠DPM+∠CPM=∠ADP+∠PCB，
∴∠DPC=∠ADP+∠PCB；
（3）
①当P在射线AE上运动时，如图2，∠PCB=∠DPC+∠ADP，

理由：∵，
∴∠PQA=∠PCB，
∵∠PQA=∠DPC+∠ADP，
∴∠PCB=∠DPC+∠ADP，
②当点P在射线BF上运动时，如图3，∠ADP=∠DPC+∠PCB，

理由：∵，
∴∠ADP=∠DQC，
∵∠DQC=∠DPC+∠PCB，
∴∠ADP=∠DPC+∠PCB，
故答案为：∠PCB=∠DPC+∠ADP；∠ADP=∠DPC+∠PCB．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质及外角的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
18．(1)；
(2)；
(3)；
(4)，见解析．

【分析】（1）连接，证明即可；
（2）利用（1）中结论解答即可；
（3）直接利用三角形的外角性质求解即可；
（4）同样直接利用三角形的外角性质求解即可．
（1）
解：如图，连接，

，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）
解：由（1）可知，
，
故答案为：；
（3）
解：如图，

，
，
，
即，
故答案为：；
（4）
解：，证明如下：
如图，连接，

，
，
，
．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角和性质，解题的关键是灵活运用所学求解．
19．(1)①平分，理由见解析；②36°
(2)当点P在点E的右侧时，；当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，；当点P、点E、点F均在点A的左侧时， ．

【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠ACD=72°，再由CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，可得∠ACD=2∠ECF，再由∠ACP＝36°，可得∠PCF=∠PCE=18°，即可求解；②由①，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当点P在点E的右侧时，；当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时；当点P、点E、点F均在点A的左侧时，即可求解．
（1）
解：①CP平分∠ECF，理由如下：
∵，∠CAB＝108°，
∴∠ACD=180°-∠CAB=72°，
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，
∴∠ACP=2∠PCE，∠DCP=2∠PCF，
∴∠ACD=2∠ECF，
∴∠ECF=∠PCE+∠PCF=36°，
∵∠ACP＝36°，
∴∠ACE=∠PCE=18°，
∴∠PCF=∠PCE=18°，
即CP平分∠ECF；
②由①得：∠ECF=36°；
（2）
解：当点P在点E的右侧时，
∵，
∴∠AFC=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠PCF=∠AFC，
∴∠APC=∠PCF+∠AFC=2∠AFC；
当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，

∵，
∴∠DCF=∠AFC，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠PCF=∠AFC，
∵∠APC+∠PCF+∠AFC=180°，
∴；
当点P、点E、点F均在点A的左侧时，如图，

∵，
∴∠DCF=∠PFC，∠PCD=180°-∠APC，
∵CF平分∠DCP，
∴∠PCF=∠DCF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵∠PCF=∠AFC-∠APC，
∴∠PFC=180°-∠AFC=∠AFC-∠APC，
∴；
综上所述，当点P在点E的右侧时，；当点P、点E在点A的左侧，点F在点A的右侧时，；当点P、点E、点F均在点A的左侧时， ．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角和定理是解题的关键．
20．(1)135°
(2)；理由见解析
(3)或或

【分析】延长交于，设，交于点，设，则，根据AB∥CD可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和得出关系式，进一步得出结果；
类比的方法过程，得出结果；
分为的三边分别与平行，当PF'∥NM'时，与同的夹角锐角相等，从而列出方程求得结果，当PH'∥NM'时，同样的方法求得，当F'H'∥NM'时，此时，根据四边形内角和列出方程求得结果．
（1）
解：如图，

延长交于，设，交于点，
设，则，
∵AB∥CD，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：，
，
故答案为：；
（2）
解：如图，
延长交于，设，交于点，
设，设，则，
∵AB∥CD，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：
；
（3）
解：如图，

当PF'∥NM'时，
，
，
如图，

当PH'∥NM'时，
，
，
如图，

当F'H'∥NM'时，即，
，
，
综上所述：或或．
【点评】本题考查了平行线判定和性质，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．