人教版2024-2025学年八年级数学专题11.1与三角形有关线段的综合(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

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专题11.1 与三角形有关线段的综合思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结一、三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．二、三角形的角平分线、中线和高1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．典例分析 【典例1】【问题情境】如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．  【深入探究】（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．①若AD是△ABC的中线，求证：S△APB=S△APC；②若BD=3DC，则S△APB:S△APC=______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．①求证：S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD；②若S四边形ABCD=3，则S四边形EFGH=______．【思路点拨】（1）①根据中线的性质可得S△ADB=S△ADC，点D为BC的中点，推得PD是△PBC的中线，S△PDB=S△PDC，即可证明S△APB=S△APC；②设△ABC边BC上的高为ℎ，根据三角形的面积公式可得S△ADB=12×BD×ℎ，S△ADC=12×DC×ℎ，即可推得S△ADB=3S△ADC，同理推得S△PDB=3S△PDC，即可求得S△APB=3S△APC，即可证明S△APB:S△APC=3:1；（2）①连接AG，AC，CE，根据中线的判定和性质可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，推得S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB，即可求得S四边形ABCD=12S△GHD+S△EFB，即可证明S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD，②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD，同理可证得S△HEA+S△FGC=2S四边形ABCD，根据S四边形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四边形ABCD，即可推得S四边形EFGH=5S四边形ABCD，即可求解．【解题过程】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，∴S△ADB=S△ADC，点D为BC的中点，∴PD是△PBC的中线，∴S△PDB=S△PDC，∴S△ADB−S△PDB=S△ADC−S△PDC，即S△APB=S△APC；②S△APB:S△APC=3:1，解：设△ABC边BC上的高为ℎ，则S△ADB=12×BD×ℎ，S△ADC=12×DC×ℎ，∵BD=3DC，∴S△ADB=3S△ADC，同理S△PDB=3S△PDC，则S△ADB−S△PDB=3S△ADC−3S△PDC，即S△APB=3S△APC，∴S△APB:S△APC=3:1．（2）①证明：连接AG，AC，CE，如图：  ∵点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，∴AG，BC，CE，DA分别为△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中线，∴S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，∴S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB∵S四边形ABCD=S△ADC+S△CBA=12S△GHD+12S△EFB=12S△GHD+S△EFB，即S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD；②15，解：由①可得S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD，同理可证得S△HEA+S△FGC=2S四边形ABCD，S四边形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四边形ABCD，即S四边形EFGH=5S四边形ABCD，∵S四边形ABCD=3，∴S四边形EFGH=5×3=15．学霸必刷1．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：62．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF=36，则S△ABC为（    ）  A．1 B．2 C．3 D．43．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，CE=3AE，连接CF交DE于点P，则DPEP的值为（　　）  A．12 B．25 C．13 D．274．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD=2BD，BE=EC，AE和CD相交于点M，△ADM比△CEM的面积大2，则△ABC的面积为（    ）．A．9 B．10 C．11 D．125．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（    ）  A．60 B．56 C．70 D．486．（2023下·七年级课时练习）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 7．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）若△ABC中AB＝AC，且面积为定值，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3，C到AB的距离CH＝7时，P到AB的距离为 ．8．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，BD,CE都是△ABC的高，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，BD=6，AB:AC=6:5，若S△ACE=152，S△BCE=10，则EF= ．  9．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近C的三等分点，E是AD的中点，已知三角形ABC的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 ．10．（2023下·江苏苏州·七年级统考期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为 ．  11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，连接CF，若DF=2，AF=6，BE:EC=3:1，则S△ABC= ．12．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是 ．  13．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为 ．  14．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，以此类推，若S7=4，则a的值为 ．  15．（2023上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，在△ABC中AB>BC，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．  16．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且BE=13AB，CF=13BC，DG=13DC，AH=13AD．  （1）连接BD，BH，若三角形ABD的面积为9平方厘米，则三角形ABH的面积是三角形______，三角形AEH的面积是______．（2）如果阴影部分面积为45平方厘米，则四边形ABCD的面积是多少?17．（2023上·广东广州·八年级广州大学附属中学校考开学考试）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D．（1）如图①，已知AE⊥BC于E，求证：CD=2AE（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求证：2PE+PF=CD（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．18．（2024上·北京西城·七年级北京四中校考阶段练习）设△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的各边得到△A1B1C1，且A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，记△A1B1C1的面积为S1，则S1=______．（用含a的式子表示）（2）如图2，延长△ABC的各边得到△A1B1C1，且A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，记△A1B1C1的面积为S2，则S2=________．（用含a的式子表示）（3）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到△ABC的面积a=________．19．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点　　；②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）【综合应用】（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD=　　；②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系　　，并说明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积　　．（用含m的代数式表示）20．（2023下·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：  （1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积______△ACD的面积．（填“>”“BC，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．  【思路点拨】先根据AC=2BC和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①AC+CD=60，②AC+CD=40，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．【解题过程】解：设BD=CD=x，则AC=2BC=4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AB>BC，①当AC+CD=60，AB+BD=40时，4x+x=60，解得：x=12，∴AC=4x=4×12=48，BD=CD=12，∴AB=40−BD=40−12=28，∴AB=28>BC=24，满足条件；∵BC+AB=28+24=52>AC=48，满足三边关系，∴AC=48，AB=28；②当AC+CD=40，AB+BD=60时，4x+x=40，解得：x=8，∴AC=4x=4×8=32，∴BD=CD=8，AB=60−BD=60−8=52，∵AC+BC=32+16=4890°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）【综合应用】（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD=　　；②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系　　，并说明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积　　．（用含m的代数式表示）【思路点拨】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得∠ABE=55°，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，设S△ADN=S△CDN=a，则S△ABN=S△CBN=12m，再求出S△CDM=23S△DBC=13m−23a，S△ACM=23S△ABC=23m，然后由面积关系求出a=14m，即可解决问题．【解题过程】（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，∴ΔABC的三条高所在直线交于点A，故答案为：A；②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，∴∠BAC=70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=35°，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°−35°=55°，∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=80°−55°=25°，故答案为：25°；②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB，理由如下：∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°−∠BAD，∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，∴∠BAD=90°−12∠ABC−12∠ACB，∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°−12∠ABC−12∠C−90°=12∠ABC−12∠ACB，∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB，故答案为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB；（3）解：连接CD，如图5所示：∵N是AC的中点，∴ S△ADNS△CDN=ANCN=1，∴S△ADN=S△CDN，同理：S△ABN=S△CBN，设S△ADN=S△CDN=a，∵△ABC的面积是m，∴S△ABN=S△CBN=12m，∴S△BCD=S△ABD=12m−a，∵BM=13BC，∴ BMCM=12，∴ S△BDMS△CDM=BMCM=12，S△ABMS△ACM=BMCM=12，∴S△CDM=2S△BDM，S△ACM=2S△ABM，∴S△CDM=23S△BCD=23×(12m−a)=13m−23a，S△ACM=23S△ABC=23m，∵S△ACM=S四边形CMDN+S△ADN=S△CDM+S△CDN+S△ADN，即：23m=13m−23a+a+a，解得：a=14m，∴S四边形CMDN=S△CDM+S△CDN=13m−23×14m+14m=512m，故答案为：512m．20．（2023下·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：  （1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积______△ACD的面积．（填“>”“