2023-2024学年浙江省宁波市北仑区精准联盟九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市北仑区精准联盟九年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）“明天是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件B．不可能事件
C．必然事件D．不确定事件
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
3．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AB的长是（ ）
A．B．2C．D．5
4．（3分）如果线段a＝2，c＝8，那么线段a和c的比例中项b是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）
A．54°B．56°C．64°D．66°
6．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定
7．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴有两个交点
C．抛物线的对称轴为直线x＝2
D．当x≥2时，y随x的增大而减小
8．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
9．（3分）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（ ）
A．DE＝EBB．DE＝EBC．DE＝DOD．DE＝OB
10．（3分）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为 ．
12．（4分）如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，若∠ABC＝130°，则∠AOC＝ ．
13．（4分）已知点E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，若AB＝2，则BE＝ ．
14．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△ADE．若AB＝4，则图中阴影部分图形的面积为 .（结果保留π）
15．（4分）若⊙O的直径AB为2，弦，弦，则∠CAD的度数为 ．
16．（4分）有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当y＜﹣1时，x的取值范围是 ．
三、解答题：本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）画出△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到的△B1OC1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留π）．
18．（8分）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢．
（1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果．
（2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平．
19．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象向上平移几个单位？
20．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD．求证：OD∥AC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC中点，
①求证：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半径为2，求AC的长．
22．（12分）某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量y（件）和销售单价x之间的一次函数关系如下表（x≥50的整数）．
（1）写出y关于x的函数关系式 ．
（2）问定价x为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润．
（3）商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为w元，则总利润w的最大值为 （直接写出答案）．
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
2023-2024学年浙江省宁波市北仑区精准联盟九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）“明天是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件B．不可能事件
C．必然事件D．不确定事件
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【解答】解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
2．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
3．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段AB的长是（ ）
A．B．2C．D．5
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，
∴，
∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得AB＝5，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键．
4．（3分）如果线段a＝2，c＝8，那么线段a和c的比例中项b是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝2×8＝16，
b＝4（负数舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）
A．54°B．56°C．64°D．66°
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠BCD＝24°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内B．点A在⊙C上C．点A在⊙C外D．无法确定
【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在⊙C内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
7．（3分）对于二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴有两个交点
C．抛物线的对称轴为直线x＝2
D．当x≥2时，y随x的增大而减小
【分析】根据二次函数的图象和性质分别对抛物线开口方向、与x轴交点个数、顶点坐标、函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：A、∵二次函数y＝x2﹣4x﹣1中，a＝1，则a＞0，
∴抛物线开口向上，故选项正确，不符合题意；
B、当y＝0时，0＝x2﹣4x﹣1，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴方程x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次函数y＝x2﹣4x﹣1的图象与x轴有两个交点，故选项正确，不符合题意；
C、∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线的对称轴为x＝2，故选项正确，不符合题意；
D、∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（3分）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、垂径定理及其推理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等或互补，故错误；
④同弧或等弧所对的弦相等；故正确；
正确的有2个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理、等弧的定义，圆周角定理等知识，难度不大．
9．（3分）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（ ）
A．DE＝EBB．DE＝EBC．DE＝DOD．DE＝OB
【分析】连接EO，只要证明∠D＝∠EOD即可解决问题．
【解答】解：连接EO．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠OEB＝∠D+∠DOE，∠AOB＝3∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D＝3∠D，
∴∠DOE＝∠D，
∴ED＝EO＝OB，
故选：D．
【点评】本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三点，y1＝y3．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
【分析】根据y1＝y3，可得A，C两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c，再由1﹣n≤x≤n，可得点B在点A的右侧，，然后分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵y1＝y3，
∴A，C两点关于对称轴对称．
∴，
即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c．
∵1﹣n≤x≤n，
∴点B在点A的右侧，且有1﹣n≤n，
∴．
情况1：如图1，当点A与点B均在对称轴的左侧时，此时n＜2；
当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
当x＝n时，二次函数取到最小值为y＝（n﹣2）2+c，
∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得（舍去）．
情况2：如图2，当点A与点B在对称轴的两侧时，此时n≥2；A到对称轴的水平距离为2﹣（1﹣n）＝1+n．B到对称轴的距离为n﹣2，当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
当x＝2时，二次函数取到最小值为y＝c，
∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．
综上，n＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为 ．
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
【解答】解：∵转盘被分成5个面积相等的扇形，其中阴影部分占2份，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．（4分）如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，若∠ABC＝130°，则∠AOC＝ 100° ．
【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC的度数，然后由圆周角定理，求得∠AOC的度数．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（4分）已知点E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，若AB＝2，则BE＝ ﹣1 ．
【分析】根据黄金分割点的定义求解．
【解答】解：∵E是线段AB的黄金分割点，且BE＞AE，
∴，
BE＝＝＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．
14．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△ADE．若AB＝4，则图中阴影部分图形的面积为 2π .（结果保留π）
【分析】根据旋转的性质可得△AED≌△ACB，再由S阴影＝S△AED+S扇形DAB﹣S△ACB＝S扇形DAB，利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：由旋转的性质可得：△AED≌△ACB，
∵∠DAB＝45°，AB＝4，
∴S扇形DAB＝＝2π，
∴S阴影＝S△AED+S扇形DAB﹣S△ACB＝S扇形DAB＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查不规则阴影部分面积的求法及扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
15．（4分）若⊙O的直径AB为2，弦，弦，则∠CAD的度数为 15°或75° ．
【分析】本题大致的思路是连接BC、BD，分别在Rt△CAB和Rt△BAD中，求出∠CAD和∠CAB的度数，然后根据C点，D点的不同位置分类讨论．
【解答】解：本题分两种情况：（如图）
①当AC，AD在AB同侧时，连接BD、BC；
则∠ADB＝∠ACB＝90°．
Rt△ADB中，AD＝，AB＝2；
∴∠DAB＝30°；
Rt△ACB中，AC＝，AB＝2；
∴∠CAB＝45°；
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝15°．
②当AC，AD在AB异侧时，同①可求得∠CAD＝75°．
故∠CAD的度数为15°或75°．
故答案为：15°或75°．
【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意分两种情况讨论，不要漏解．
16．（4分）有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当y＜﹣1时，x的取值范围是 x＜0或x＞3 ．
【分析】根据抛物线开口向下及抛物线的增减性即可求解．
【解答】解：∵x＝0时y的值小于x＝﹣1、1、2时y的值，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线必为先递增再递减，
∴x＝﹣1时y的值错误数据；
又∵x＝1和2时y的值相等，
∴抛物线对称轴为，
∴x＝0和3时y的值相等，为﹣1，
∴当y＜﹣1时，x＜0或x＞3．
故答案为：x＜0或x＞3．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
三、解答题：本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）画出△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到的△B1OC1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△B1OC1即为所求．
点B1的坐标为（1，3）．
（2）由勾股定理得，，
∴点B旋转到点B1所经过的路径长为＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
18．（8分）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢．
（1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果．
（2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平．
【分析】（1）根据题意在表格内列举出所有情形；
（2）根据题意列出表格，找出所有等可能的情况数，得出两球数字和为奇数与偶数的情况，分别求出两人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：（1）列表如下：
（2）从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种，
所以小明获胜的概率为、小刚获胜的概率为，
故此游戏对两人是公平的．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．
19．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象向上平移几个单位？
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx﹣3得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
（2）求得顶点坐标，根据题意即可求得结论．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，
∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴应把图象向上平移4个单位．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，能够正确理解题意是解题的关键．
20．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD．求证：OD∥AC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC中点，
①求证：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半径为2，求AC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，由＝得到∠BAD＝∠CAD，加上∠BAD＝∠ODA，所以∠CAD＝∠ODA，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）①先根据垂径定理得到EF⊥AC，再利用OD∥AC得到DO⊥EF，所以∠DOE＝90°，接着利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理得到∠BOD＝∠DOE＝45°；
②由OD∥AC得到∠CAB＝∠BOD＝45°，再根据垂径定理得到AG＝CG，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG＝，从而得到AC的长．
【解答】（1）证明：∵D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC；
（2）解：①∵G为AC中点，EF为直径，
∴EF⊥AC，
∵OD∥AC，
∴DO⊥EF，
∴∠DOE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠DOE＝45°；
②∵OD∥AC，
∴∠CAB＝∠BOD＝45°，
∵OG⊥AC，
∴AG＝CG，△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝×2＝，
∴AC＝2AG＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
22．（12分）某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量y（件）和销售单价x之间的一次函数关系如下表（x≥50的整数）．
（1）写出y关于x的函数关系式 y＝﹣5x+350 ．
（2）问定价x为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润．
（3）商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为w元，则总利润w的最大值为 13475元 （直接写出答案）．
【分析】（1）利用表格中的数据，待定系数法求解析式即可；
（2）设每天的利润为z元，根据总利润等于单件利润乘以销售数量，求出函数解析式，求最值即可；
（3）先求出前10天的利润以及卖出的数量，再根据二次函数的性质，得到后两天的定价分别为54元和53元时，刚好卖完，利润最大，即可得解．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，
则：由表格可知：，解得：，
∴y＝﹣5x+350；
故答案为：y＝﹣5x+350．
（2）设每天的利润为z元，
则：z＝（x﹣40）（﹣5x+350）＝﹣5（x﹣55）2+1125；
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝55时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元，
即：定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元；
（3）以每天最大销售利用销售10天，获利为：10×1125＝11250（元）；
卖出商品的数量为：（﹣5×55+350）×10＝750件，还剩下：915﹣750＝165（件），
∵z＝﹣5（x﹣55）2+1125，
∴当定价离55元越近时，每天的利润就越大，
∵在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，x是大于等于50的整数，
当定价为：54元时，销售数量为：y＝﹣5×54+350＝80（件），
当定价为：53元时，销售数量为：y＝﹣5×53+350＝85（件），80+85＝165（件），
∴最后两天的最大利润为：（54﹣40）×80+（53﹣40）×85＝2225（元），
∴总利润w的最大值为：11250+2225＝13475（元）．
故答案为：13475元．
【点评】本题考查二次函数的应用．利用总利润等于单件利润乘以销售数量，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键．
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB；则答案得出；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17×＝，
∵DE＝13，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝AM+DM＝12，
∴AB＝AD＝12＝24，
∴AO＝＝12；
（3）AF+BC＝DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．
即AF+BC＝DF．
【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
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销售单价x（元/件）
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每天销售量y（件）
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每天销售量y（件）
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