2023-2024学年浙江省宁波市海曙区十校联考九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区十校联考九年级（上）期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．5
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．拔苗助长B．瓮中捉鳖C．海底捞月D．守株待兔
3．（3分）如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（ ）
A．∠A＝∠AB．∠ADE＝∠AEDC．D．
4．（3分）由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+1，可知下列说法正确的是（ ）
A．其最小值为1
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．当x≤1时，y随x的增大而增大
D．其图象与y轴的交点为（0，1）
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．不在同一直线上的三点确定一个圆
C．直径是弦，弦是直径
D．长度相等的弧是等弧
6．（3分）如图，在⊙O中，∠OAC+∠C＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．8B．10C．16D．20
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为线段CD上一点且，连接AC，BE交于点F，分别作AC，BE的中点M，N，连接MN，若AB＝4，则MN为（ ）
A．1B．C．2D．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＜0；④当y≤0时，x的取值范围是﹣2≤x≤4；其中正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OC为半径，过A点作AD∥OC交⊙O于点D，连接AC，BC，CD，连接BD交OC于点E，交AC于点F，若图中阴影部分分别用S1和S2表示，则下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若F为AC中点，则CE＝2OE；③作DP∥BC交AB于点P，则BC2＝OB•BP；④若，则∠ACO＝30°；其中正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一道你完全不会的数学选择题，你做对的概率为 ．
12．（4分）把抛物线y＝（x﹣2）2﹣1先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为 ．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝ ．
14．（4分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的周长是 ．
15．（4分）点A（m+1，y1），B（2m，y2）都在二次函数y＝m（x﹣m）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为 ．
16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，连接BC，E是BC的中点，AB＝4，若F为弧AB上的三等分点，且靠近B点，连接EF，则EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.）
17．（6分）一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是 ；
（2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率．
18．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．
（1）如图1，请在图1中标出△ABC的外接圆的圆心O的位置；
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似．
19．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接OC，CB，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BC＝10cm，求CD的值及阴影部分的面积．
20．（8分）已知某二次函数图象上两点坐标分别为A（0，3），B（2，3），与x轴的一个交点为C（3，0），D为顶点坐标．
（1）求出该二次函数表达式；
（2）求出△ACD的面积．
21．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接AD，BE相交于点F．
（1）求证：△BCE∽△AFE；
（2）若CE＝6，CD＝5，求AF的长．
22．（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元．
（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，连接DE，若∠ADE＝∠C，求证：AD•AB＝AE•AC；
【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，在AC上取一点E，以AE为一边构造平行四边形ADFE，使点D，F恰好落在AB，BC上，连接DE，若∠DEF＝∠C，AD＝4，BD＝2，求AC的长；
【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，在AC上取一点E，以AE为一边构造平行四边形ADFE，使点F恰好落在BC上，连接DE，BD，若∠DEF＝∠C，∠EFC＝∠ABD，AE＝4，CE＝2，求AB的长．
24．（12分）如图1，⊙O为四边形ACBD的外接圆，AB与CD相交于点E，且AB⊥CD，连接OB，设∠BAC＝α．
（1）用含α的代数式表示∠OBC；
（2）如图2，连接OA，交CD于点F，若AC∥OB，求证：△ACB≌△AFD；
（3）在（2）的基础上，当OB＝4，时，求出BD的值．
2023-2024学年浙江省宁波市海曙区十校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．5
【分析】先将化简成含有的代数式，然后再代入数值求值．
【解答】解：∵；
∴＝+1＝+1＝．
故选：A．
【点评】解答此类问题时要先化简，然后再整体代入进行求值计算．
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．拔苗助长B．瓮中捉鳖C．海底捞月D．守株待兔
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是不可能事件，故选项错误；
B、选项正确；
C、是不可能事件，故选项错误；
D、是随机事件，故选项错误．
故选：B．
【点评】考查了必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（ ）
A．∠A＝∠AB．∠ADE＝∠AEDC．D．
【分析】根据相似三角形的判定求解即可．
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，
若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定△ABC∽△ADE，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
4．（3分）由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+1，可知下列说法正确的是（ ）
A．其最小值为1
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣1
C．当x≤1时，y随x的增大而增大
D．其图象与y轴的交点为（0，1）
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+1，
∴a＝1＞0，函数图象开口向下，函数图象的对称轴为直线x＝1，函数图象的顶点坐标是（1，1），函数有最大值为1，当x≤1时，y随x的增大而增大，当x＝0时，y＝0，其图象与y轴的交点为（0，0），故选项ABD不符合题意，C符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x＝h．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．不在同一直线上的三点确定一个圆
C．直径是弦，弦是直径
D．长度相等的弧是等弧
【分析】根据垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义判断即可．
【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确，符合题意；
C、直径是弦，弦不一定是直径，故本选项说法错误，不符合题意；
D、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义是解题的关键．
6．（3分）如图，在⊙O中，∠OAC+∠C＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】如图，连接OC，欲求∠BAC的度数，只需推知∠COB的度数即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵∠OAC+∠ACB＝50°，
∴∠OCA+∠ACB＝50°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝50°．
∴∠COB＝180°﹣50°×2＝80°．
∵＝，
∴∠BAC＝∠COB＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得圆心角∠COB的度数是解题的关键．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE＝OB﹣BE＝OC﹣BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．
【解答】解：连接OC，根据题意，
CE＝CD＝6，BE＝2．
在Rt△OEC中，
设OC＝x，则OE＝x﹣2，
故：（x﹣2）2+62＝x2
解得：x＝10
即直径AB＝20．
故选：D．
【点评】本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，进而利用勾股定理列方程求解．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为线段CD上一点且，连接AC，BE交于点F，分别作AC，BE的中点M，N，连接MN，若AB＝4，则MN为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】方法一：首先根据正方形的性质得AB∥CD，∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝4，根据CE＝CD得CE＝1，再由勾股定理求出BE＝，AC＝4，进而得AM＝2，BN＝，证△CEF和△ABF相似得EF：FB＝CF：FA＝CE：AB＝1：4，由此可得EF＝，FB＝，CF＝，AF＝，据此可求出FN＝，FM＝，则FN：FB＝3：8，FM：AF＝3：8，由此得△FMN和△FAB相似，然后根据相似三角形的性质可求出MN的长．
方法二：连接BD，根据正方形的性质得BD过点M，CD＝AB＝4，进而可求出CE＝1/4CD＝1，DE＝CD﹣CE＝3，再证MN为△BDE的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得出MN的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴AB∥CD，∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∵CE＝CD，
∴CE＝1，
由勾股定理得：BE＝√＝，AC＝＝4，
∵点M，N为AC，BF的中点，
∴AM＝AC＝2，BN＝BE＝，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴EF：FB＝CF：FA＝CE：AB＝1：4，
∴FB＝4EF，AF＝4CF，
∴EF＝，FB＝，CF＝，AF＝，
∴FN＝FB﹣BN＝﹣＝，FM＝AF﹣AM＝﹣2＝，
∴FN：FB＝：＝3：8，FM：AF＝：＝3：8，
∴FN：FB＝FM：AF，
又∵∠NFM＝∠BFA，
∴△FMN∽△FAB，
∴MN：AB＝FN：FB，
即：MN：4＝3：8，
∴MN＝．
故选：B．
解法二：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，点M为AC的中点，
∴BD过点M，CD＝AB＝4，
∴CE＝CD＝1，
∴DE＝CD﹣CE＝4﹣1＝3，
∵BD过点M，
∴点M为BD的中点，
又∵点N为BE的中点，
∴MN为△BDE的中位线，
∴MN＝DE＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算，理解三角形的中位线定理是解决问题的关键．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＜0；④当y≤0时，x的取值范围是﹣2≤x≤4；其中正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可得a＞0，c＜0，
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，故②正确；
③由图可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，故③正确；
④∵图象过点（﹣2，0）对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（4，0），
由图可知：当y≤0时，x的取值范围是﹣2≤x≤4，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图象系数的关系，二次函数的对称性，数形结合是解题的关键．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OC为半径，过A点作AD∥OC交⊙O于点D，连接AC，BC，CD，连接BD交OC于点E，交AC于点F，若图中阴影部分分别用S1和S2表示，则下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若F为AC中点，则CE＝2OE；③作DP∥BC交AB于点P，则BC2＝OB•BP；④若，则∠ACO＝30°；其中正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①首先利用平行线的性质得到∠CAD＝∠ACO，然后利用等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAO，∠OBC＝∠OCB，接着利用三角形的内角和定理即可解决问题；
②利用中位线的性质即可求解；
③利用已知条件证明△ACD≌△APC（SAS），然后利用全等三角形的性质和已知条件证明△OBC∽△CBP即可求解；
④连接OD，利用等积变化得到S1＝S扇形OAD，再利用已知条件证明∠AOD＝∠CAO＝∠DAC＝∠ACO，由此即可求解．
【解答】解：①∵AD∥CO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠BOC＝2∠ACO＝2∠CAD，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠COB+∠OBC+∠BCO＝180°，
∴2∠CAD+2∠OBC＝180°，
∴∠CAD+∠OBC＝90°，
故①正确；
②AD∥OC，F为AC中点，OA＝OB，
∴CE＝AD，OE＝AD，
∴CE＝2OE，
故②正确；
③∵AB为圆O直径，
∴AC⊥BC，
∵DP∥BC，
∴DP⊥AC，
由①知，∠CAD＝∠CAB，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AD＝AP，
在△ACD和△APC中，
，
∴△ACD≌△APC（SAS），
∴∠ADC＝∠APC，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠APC+∠CPB＝180°，
∴∠ABC＝∠CPB＝∠OCB，
∴△OBC∽△CBP，
∴＝，
∴BC2＝OB•BP，
故③正确；
④连接OD，
∵OC∥AD，
∴S1＝S扇形OAD，
∵
∴∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠CAO＝∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OD，
∴5∠ACO＝180°，
∴∠ACO＝36°，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③，共三个．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定，相似三角形的判定与性质的概念是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一道你完全不会的数学选择题，你做对的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解；∵数学选择题的答案是四选一，
∴共4个选项，其中1个正确，
∴做对的概率为．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
12．（4分）把抛物线y＝（x﹣2）2﹣1先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为 y＝（x﹣1）2+2 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣2）2﹣1先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为y＝（x﹣2+1）2﹣1+3，即y＝（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝（x﹣1）2+2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝ ．
【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵，
∴设AE＝2a，则BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
14．（4分）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的周长是 π+4 ．
【分析】根据翻折的性质得到OC＝CD，OB＝BD＝2，根据阴影部分的周长＝AC+CD+BD+，进而得到OA+OB+即可．
【解答】解：由翻折的性质可知，OC＝CD，OB＝BD＝2，
∴阴影部分的周长为：AC+CD+BD+
＝OA+OB+
＝2+2+π
＝π+4．
故答案为：π+4．
【点评】本题考查弧长的计算，翻折的性质，掌握弧长的计算方法以及翻折的性质是正确解答的前提．
15．（4分）点A（m+1，y1），B（2m，y2）都在二次函数y＝m（x﹣m）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为 m＞1或﹣1＜m＜0 ．
【分析】分类讨论m＞0，m＜0两种情况即可得到结果．
【解答】解：二次函数y＝m（x﹣m）2+n的对称轴为直线x＝m，
当m＞0时，函数开口向上，x＞m时，y随x的增大而增大，
∵y1＜y2，则m+1＜2m，
∴m＞1；
当m＜0时，函数开口向下，x＞m时，y随x的增大而减小，
∵y1＜y2，距离对称轴的距离大小是：m+1﹣m＞m﹣2m，m＞﹣1，
∴﹣1＜m＜0，
故答案为：m＞1或﹣1＜m＜0．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握二次函数性质与系数的关系式解答本题的关键．
16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，连接BC，E是BC的中点，AB＝4，若F为弧AB上的三等分点，且靠近B点，连接EF，则EF的最小值为 ﹣1 ．
【分析】根据垂径定理得OE⊥BC，则点E在以OB为直径的⊙P上，可得当P，E，F共线时，EF有最小值，根据圆周角定理得到∠BOF＝60°，得到△OBF是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，由题意得，BC的中点E在以OB为直径的⊙P上，连接PF交⊙P于点E，此时EF最小，连接OF，BF，
∵点F是的三等分点，且靠近点B，
∴∠BOP＝，
又∵OF＝OB，
∴△BOF是正三角形，
又∵PO＝PB＝1，
∴PF⊥OB，
∴PF＝＝，
∴EF＝FP﹣EP＝﹣1，
即EF的最小值为﹣1．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，动点问题等知识，综合程度较高，综合考查学生灵活运用知识的能力．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.）
17．（6分）一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是 ；
（2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，
其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果有2种，
∴摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形．
（1）如图1，请在图1中标出△ABC的外接圆的圆心O的位置；
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似．
【分析】（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，交点即为△ABC的外接圆的圆心O的位置．
（2）根据相似三角形的判定与性质作图即可．
【解答】解：（1）如图1，点O即为所求．
（2）如图2，三角形DEF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣相似变换、三角形的外接圆与外心，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．
19．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接OC，CB，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BC＝10cm，求CD的值及阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理以及三角形全等的判定方法进行解答即可；
（2）根据直角三角形的边角关系求出半径，扇形圆心角度数以及三角形的底与高，由S阴影部分＝S扇形OCD﹣S△OCD进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BC，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE＝CD，＝，
∴∠OAF＝∠BCE，
又∵OF⊥AC，
∴∠OFA＝90°＝∠BCE，
∵BE＝OF，
∴△OAF≌△BCE（AAS）；
（2）解：如图，连接AD，
∵△OAF≌△BCE，
∴OA＝BC＝10cm，AF＝CE，
∴AC＝CD，
又∵AC＝AD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠COD＝2∠CAD＝120°，
在Rt△AOF中，OA＝10cm，，
∴AF＝OA＝5（cm），
∴AC＝CD＝10（cm），
在Rt△ACE中，CE＝5cm，∠CAE＝30°，
∴AE＝CE＝15（cm），
∴OE＝OB﹣BE＝15﹣10＝5（cm），
∴S阴影部分＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣×10×5
＝（﹣25）cm2．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形，以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
20．（8分）已知某二次函数图象上两点坐标分别为A（0，3），B（2，3），与x轴的一个交点为C（3，0），D为顶点坐标．
（1）求出该二次函数表达式；
（2）求出△ACD的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式即可；
（2）先求出顶点坐标，再计算△ACD的面积即可．
【解答】解：（1）设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，
∵图象过点A（0，3），B（2，3），C（3，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标为（1，4），
∴S△ACD＝3×4﹣×3×3﹣×1×1﹣×2×4＝3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接AD，BE相交于点F．
（1）求证：△BCE∽△AFE；
（2）若CE＝6，CD＝5，求AF的长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEB＝∠BEC＝90°，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠EAF＝∠DBF，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得BD＝DC＝5，进而在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BE＝8，再证明△BFD∽△BCE，从而利用相似三角形的性质可得BF＝，进而可得EF＝，最后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵∠EAF＝∠DBF，
∴△BCE∽△AFE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC＝BC＝5，
在Rt△BEC中，CE＝6，BC＝2CD＝10，
∴BE＝＝＝8，
∵∠ADB＝∠BEC＝90°，∠FBD＝∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝8﹣＝，
∵△BCE∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
22．（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元．
（1）当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，可以列出算式250﹣（30﹣25）×10，然后计算即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，即可求得W的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
当销售价为每件30元时，每天的销售量为：250﹣（30﹣25）×10＝200（件），
答：当销售价为每件30元时，每天的销售量为200件；
（2）设销售单价应定为x元，
由题意可得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40，
答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
（3）由题意可得，
W＝（x﹣20）×[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x＝35时，W取得最大值，此时W＝2250，
答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
23．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，连接DE，若∠ADE＝∠C，求证：AD•AB＝AE•AC；
【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，在AC上取一点E，以AE为一边构造平行四边形ADFE，使点D，F恰好落在AB，BC上，连接DE，若∠DEF＝∠C，AD＝4，BD＝2，求AC的长；
【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，在AC上取一点E，以AE为一边构造平行四边形ADFE，使点F恰好落在BC上，连接DE，BD，若∠DEF＝∠C，∠EFC＝∠ABD，AE＝4，CE＝2，求AB的长．
【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AED∽△ABC，得＝，则AD•AB＝AE•AC；
（2）由AD＝4，BD＝2，得AB＝6，由平行四边形的性质得DF∥AC，EF∥AB，则＝，＝，所以＝＝，则AC＝3AE，而∠ADE＝∠DEF＝∠C，则AD•AB＝AE•AC，所以4×6＝AE×3AE，则AE＝2，所以AC＝6；
（3）延长AD、CB交于点G，由AE＝4，CE＝2，得AC＝6，类比（2）中的方法，求得AD＝2，AG＝6，再证明△ABD∽△AGB，得＝，所以AB2＝2×6，求得AB＝2．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∴AD•AB＝AE•AC．
（2）解：∵AD＝4，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝4+2＝6，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴＝，＝，
∴＝＝＝，
∴AC＝3AE，
∵∠ADE＝∠DEF，∠DEF＝∠C，
∴∠ADE＝∠C，
由（1）得AD•AB＝AE•AC，
∴4×6＝AE×3AE，
解得AE＝2或AE＝（不符合题意，舍去），
∴AC＝3×2＝6，
∴AC的长是6．
（3）解：如图3，延长AD、CB交于点G，
∵AE＝4，CE＝2，
∴AC＝AE+CE＝4+2＝6，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF∥AC，EF∥AG，
∴＝，＝，
∴＝＝＝，
∴AG＝3AD，
∴∠ADE＝∠DEF，∠DEF＝∠C，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠DAE＝∠CAG，
∴△ADE∽△ACG，
∴＝，
∴AG•AD＝AE•AC，
∴3AD2＝4×6，
解得AD＝2或AD＝（不符合题意，舍去），
∴AG＝3×2＝6，
∵∠EFC＝∠ABD，∠EFC＝∠G，
∴∠ABD＝∠G，
∵∠BAD＝∠GAB，
∴△ABD∽△AGB，
∴＝，
∴AB2＝2×6，
∴解得AB＝2或AB＝（不符合题意，舍去），
∴AB的长为2．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、数形结合及转化类比数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24．（12分）如图1，⊙O为四边形ACBD的外接圆，AB与CD相交于点E，且AB⊥CD，连接OB，设∠BAC＝α．
（1）用含α的代数式表示∠OBC；
（2）如图2，连接OA，交CD于点F，若AC∥OB，求证：△ACB≌△AFD；
（3）在（2）的基础上，当OB＝4，时，求出BD的值．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠COB＝2α，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠CAB＝∠ABO＝α，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝α，求得∠ACB＝∠AFD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（3）根据已知条件得到AF＝3，OF＝4，由（2）得△ACB≌△AFD，根据全等三角形的性质得到AB＝AD，延长FO交BD于点H，设OH＝x，根据等腰三角形的性质得到∠BFE＝∠BCF＝2α，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：连接OC，
∵∠COB＝2∠CAB，∠CAB＝α，
∴∠COB＝2α，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣2α）＝90°﹣α；
（2）证明：∵AC∥OB，
∴∠CAB＝∠ABO＝α，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA＝α，
∴∠CAB＝∠OAB，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠AEF＝90°，
∴AC＝AF，
∠ACF＝∠AFC＝90°﹣α，
∵∠ACB＝＝（360°﹣180°+2α）＝90°+α，
∵∠AFD＝180°﹣∠AFE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴∠ACB＝∠AFD，
∵∠ABC＝∠ADF，
∴△ACB≌△AFD（AAS）；
（3）解：∵OB＝4，
∴OA＝OB＝4，
∵
∴AF：OF＝3：1，
∴AF＝3，OF＝1，
由（2）得△ACB≌△AFD，
∴AB＝AD，
延长FO交BD于点H，
∵∠CAB＝∠BAF＝∠DAF＝α，
∴AH⊥BD，
设OH＝x，
∵AE⊥CF，CE＝EF，
∴CB＝BF，
∴∠BFE＝∠BCF＝∠BAD＝2α，
∴∠BFH＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠ABH＝90°﹣α，
∴∠ABH＝∠BFH，
∵∠FHB＝∠BHA，
∴△HBF∽△HAB，
∴，
∴BH2＝HF•AH，
即42﹣x2＝（x+1）（x+4），
解得x＝1.5，
∴BH＝，
∴BD＝．
【点评】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/18 14:04:19；用户：周静；邮箱：yjpxxx05@xyh.cm；学号：30479237杭
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