2023-2024学年浙江省宁波市海曙区四校联考八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区四校联考八年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知a＞b，下列结论不一定成立的是（ ）
A．a+3＞b+3B．4a＞4bC．ac＞bcD．﹣a＜﹣b
3．（3分）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ）
A．2，3，4B．3，7，7C．2，2，6D．5，6，7
4．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3
5．（3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．S△ABC＝BC•AHB．AC平分∠BAD
C．BH垂直平分线段ADD．AB＝AD
6．（3分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，AB＝6，DE＝2，则AC的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（3分）点C在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离原点5个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，5）B．（﹣3，4）C．（5，3）D．（﹣4，3）
8．（3分）把一些书分给几名同学，若每人分9本，则书本有剩余，条件*．若根据题意，设有x名同学，可得到符合题意的不等式5（x+3）＞9x，则“条件*”可以是（ ）
A．每人分5本，则剩余3本
B．每人分5本，则剩余的书可多分给3个人
C．每人分5本，则还差3本
D．其中一个人分5本，则其他同学每人可分3本
9．（3分）如图，在等边△ABC中，点D在AC边上，将△ABD沿BD翻折，得到△EBD，若BE⊥AC，则∠DCE的度数为（ ）
A．12°B．15°C．18°D．20°
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（ ）
A．10B．15C．20D．30
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题．（填入“真”或“假”）
12．（3分）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 ．
13．（3分）如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC．那么可添加条件为 ．
14．（3分）不等式组的解集为x＞3，则k的取值范围为 ．
15．（3分）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点A到BC边的距离为 ．
16．（3分）如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．在边OB上取一点E，使得PE＝PD，设∠OEP为α，∠ODP为β，α与β的数量关系是 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于E．若∠ABC＝52°，∠C＝32°，AB＝5.2，BC＝9.8，则AE＝ ．
18．（3分）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α＜60°，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若AE＝3，CE＝4，则∠BEC＝ ，BD＝ ．
三、解答题（本题共6小题，19题6分，20题6分，21题8分，22题8分，23题8分，24题10分）
19．（6分）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．
20．（6分）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3），
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1 ，B1 ，C1 ；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，这个最小值为 ．
22．（8分）为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
23．（8分）【问题发现】（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝ ．
【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
24．（10分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）
1．全等三角形是“等角三角形”．
2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，图中共有2对“等角三角形”．
3．如图1，在Rt△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，无论∠A为何值，CD都不可能是△ABC的“等角分割线”．
（2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝24°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
2023-2024学年浙江省宁波市海曙区四校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、C、D中的图形不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意；
B中的图形是轴对称图形，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）已知a＞b，下列结论不一定成立的是（ ）
A．a+3＞b+3B．4a＞4bC．ac＞bcD．﹣a＜﹣b
【分析】根据不等式的性质逐项计算可进行判定求解．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故A选项不符合题意；
4a＞4b，故B选项不符合题意；
当c＝0时，ac＝bc，故C选项符合题意，
∴﹣a＜﹣b，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
3．（3分）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ）
A．2，3，4B．3，7，7C．2，2，6D．5，6，7
【分析】根据等腰三角形的性质，看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、不是等腰三角形；
B、3+7＞7，能构成三角形；
C、2+2＜6，不能构成等腰三角形；
D、不是等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
4．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3
【分析】要找出命题是假命题的选项，即是找出满足条件，不满足结论的选项；本题中条件为a2＞b2，结论为a＞b，即需找出满足a2＞b2，但不满足a＞b的选项；从选项中先找出满足a2＞b2的选项，再从中找出不满足a＞b的选项，问题即可解答．
【解答】解：根据题意可知，当a＝﹣3，b＝2时，a2＞b2，但不满足a＞b．
故选：B．
【点评】本题侧重考查命题与推理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．S△ABC＝BC•AHB．AC平分∠BAD
C．BH垂直平分线段ADD．AB＝AD
【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：如图，连接CD，BD．
由作图可知，CA＝CD，BA＝BD，
∴BH垂直平分线段AD，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（3分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，AB＝6，DE＝2，则AC的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∴×AB×DE+×AC×DF＝10，
∴×6×2+×AC×2＝10，
解得，AC＝4，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．（3分）点C在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离原点5个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，5）B．（﹣3，4）C．（5，3）D．（﹣4，3）
【分析】根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：＝4，
点C在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离原点5个单位长度，则点C的坐标为：（﹣4，3），
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
8．（3分）把一些书分给几名同学，若每人分9本，则书本有剩余，条件*．若根据题意，设有x名同学，可得到符合题意的不等式5（x+3）＞9x，则“条件*”可以是（ ）
A．每人分5本，则剩余3本
B．每人分5本，则剩余的书可多分给3个人
C．每人分5本，则还差3本
D．其中一个人分5本，则其他同学每人可分3本
【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【解答】解：由不等式5（x+3）＞9x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则书本有剩余，每人分5本，则剩余的书可多分给3个人．
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
9．（3分）如图，在等边△ABC中，点D在AC边上，将△ABD沿BD翻折，得到△EBD，若BE⊥AC，则∠DCE的度数为（ ）
A．12°B．15°C．18°D．20°
【分析】利用等边三角形的性质得到，AB＝CB，∠ACB＝60°，由翻折可得AB＝BE，则CB＝BE，可得到∠BCE＝75°，即可得到∠DCE的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴，AB＝CB，∠ACB＝60°，
∵将△ABD沿BD翻折，得到△EBD，
∴AB＝BE，
∴CB＝BE，
∴，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝75°﹣60°＝15°．
故选：B．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（ ）
A．10B．15C．20D．30
【分析】依据题意，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM，通过证明S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2，依此即可求解．
【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．
在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，
∴△ACB≌△BND（AAS），
同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，
∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，
∴FG＝EH，
∴DE＝BC＝CM，
∵DE∥CM，
∴四边形DCME是平行四边形，
∵∠DCM＝90°，
∴四边形DCME是矩形，
∴∠EMC＝90°，
∴E、M、N三点共线，
∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，
∴△PGF≌△MHE（AAS），
∵图中S1＝SRt△EMH，S△BHC＝S△EGD，
∴S1+S3＝SRt△ABC．S2＝S△ABC，
∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 假 命题．（填入“真”或“假”）
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（3分）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 5 ．
【分析】根据勾股定理求得斜边为10，再通过斜边上的中线等于斜边的一半得中线长为5．
【解答】解：根据勾股定理得，斜边为：＝10，
∴斜边上的中线为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，属于基础题．
13．（3分）如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC．那么可添加条件为 ∠BAC＝∠DAC ．
【分析】已知∠B＝∠D，AC公共，那么这两个三角形的一条边与一个角对应相等，所以根据全等三角形的判定，可以再添加一个对应角相等．本题答案不唯一．
【解答】解：添加∠BAC＝∠DAC．理由如下：
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
故答案为∠BAC＝∠DAC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（3分）不等式组的解集为x＞3，则k的取值范围为 k≤2 ．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于k的不等式，解之即可得出答案．
【解答】解：由3x﹣9＞0得：x＞3，
由x＞k+1且不等式组的解集为x＞3，
知k+1≤3，
解得k≤2，
故答案为：k≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点A到BC边的距离为 ．
【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段bc的长，再利用三角形的面积公式可求出点C到bc边的距离．
【解答】解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝，AB＝＝，
∴点A到BC边的距离＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用等面积法求出点A到BC边的距离是解题的关键．
16．（3分）如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．在边OB上取一点E，使得PE＝PD，设∠OEP为α，∠ODP为β，α与β的数量关系是 α＝β或α+β＝180° ．
【分析】以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，由△E2OP≌△DOP（SAS），推出E2P＝PD，即此时点E2符合条件，此时∠OE2P＝∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，则此点E1也符合条件PD＝PE1，由PE2＝PE1＝PD，推出∠PE2E1＝∠PE1E2，由∠OE1P+∠E2E1P＝180°，∠OE2P＝∠ODP，推出∠OE1P+∠ODP＝180°．
【解答】解：如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，
在△E2OP和△DOP中，
，
∴△E2OP≌△DOP（SAS），
∴E2P＝PD，
即此时点E2符合条件，此时∠OE2P＝∠ODP，即α＝β．
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，如图，
则此点E1也符合条件PD＝PE1，
∵PE2＝PE1＝PD，
∴∠PE2E1＝∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，
∵∠OE2P＝∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP＝180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°，
故答案为：α＝β或α+β＝180°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
17．（3分）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于E．若∠ABC＝52°，∠C＝32°，AB＝5.2，BC＝9.8，则AE＝ 2.3 ．
【分析】延长AE交BC于F，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠FBE，根据趋势进行的性质得到AE＝EF，AB＝BF＝5.2，推出AF＝CF，于是得到结论．
【解答】解：延长AE交BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝5.2，
∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣52°）＝64°，
∵∠C＝32°，
∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝32°，
∴∠CAF＝∠C，
∴AF＝CF，
∵BC＝9.8，
∴CF＝BC﹣BF＝4.6，
∴AF＝4.6，
∴AE＝2.3，
故答案为：2.3．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α＜60°，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若AE＝3，CE＝4，则∠BEC＝ 60° ，BD＝ 10 ．
【分析】连接CD，由点A关于射线CP的对称点为点D，得PC垂直平分AD，∠ACP＝∠DCP＝α，AC＝DC，AE＝DE＝4，可证明△BCD是等腰三角形，且定角为60+2α，由等边对等角，表示出底角∠DBC＝∠BDC＝＝60﹣α，即可求出∠BEC＝180﹣∠DBC﹣∠BCE＝180﹣（60﹣α）﹣（60+α）＝60°，在BE上取点F，使得EF＝EC，得△EFC是等边三角形，证明△BCF≌△ACE（SAS），得BF＝AE＝3，即可求解．
【解答】解：连接CD，
∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴PC垂直平分AD，∠ACP＝∠DCP＝α，
∴AC＝DC，AE＝DE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴BC＝DC，∠BCD＝60°+2α，
∴∠DBC＝∠BDC＝＝60﹣α，
∴∠BEC＝180﹣∠DBC﹣∠BCE＝180﹣（60﹣α）﹣（60+α）＝60°，
在BE上取点F，使得EF＝EC，
∴△EFC是等边三角形，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，EC＝FC，
∴∠BCF＝∠ACE，
在△BCF和△ACE中
，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴BF＝AE＝3，
∴BD＝BF+EF+DE＝3+4+3＝10，
故答案为：60°，10．
【点评】本题考查了等边三角形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的性质与判定，解题关键是通过截长证明BE＝AE+CE．
三、解答题（本题共6小题，19题6分，20题6分，21题8分，22题8分，23题8分，24题10分）
19．（6分）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＞﹣4，
∴原不等式组的解集为：﹣4＜x＜2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据SAS证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3），
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1 （1，5） ，B1 （1，0） ，C1 （4，3） ；
（3）在y轴上找一点P，使得PA+PB最小，这个最小值为 ．
【分析】（1）按照轴对称图形的特点作图即可；
（2）根据图形即可作答；
（3）先作B点关于y轴的对称点B2，连接AB2，交于y轴于点P，连接BP，找到P点，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）按照轴对称图形的特点作图1如下：
△A1B1C1即为所作；
（2）根据（1）的图形可知：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）；
故答案为：（1，5），（1，0），（4，3）；
（3）先作B点关于y轴的对称点B2，连接AB2，交于y轴于点P，连接BP，如图2，
P点即为所求，
证明：根据对称性可知BP＝B2P，则有PA+PB＝PA+PB2，
根据两点之间线段最短，可知：当A、P、B2三点共线时，有PA+PB2最短，最短为：AB2，如图所示，，
故答案为：．
【点评】本题考查了画轴对称图形，结合图形写坐标以及最短距离的问题，掌握轴对称图形的特点是解答本题的关键．
22．（8分）为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，由题意：购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需200元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品（60﹣m）个，由题意：B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过1285元，列出不等式组，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得：，
解得：．
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（60﹣m）个，
由题意得：，
解得：43≤m≤45，
∵m为整数，
∴m可取43或44或45，
∴60﹣m＝17或16或15，
∴学校有三种购买方案：
方案一、购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；
方案二、购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；
方案三、购买A种奖品45个，购买B种奖品15个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
23．（8分）【问题发现】（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝ 7 ．
【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
【分析】（1）由∠ACD＝∠E＝90°，得∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，可证明△ABC≌△CED（AAS），即得AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，故BE＝BC+CE＝7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E＝∠ACD＝90°，即得∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，可证明△ABC≌△CED（AAS），得BC＝ED＝4，故S△BCD＝BC•DE＝8；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE＝4，又∠ADC＝45°，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE＝AE＝4，CE＝CD﹣DE＝2，根据∠ABC＝∠CAB＝45°，可得∠ACB＝90°，AC＝BC，即有∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，即可证明△ACE≌△CBF（AAS），从而BF＝CE＝2，故S△BCD＝CD•BF＝6．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，
∴BE＝BC+CE＝7；
故答案为：7；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝8；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴×6•AE＝12，
∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2，
∴S△BCD＝CD•BF＝6．
【点评】本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（K型全等）．
24．（10分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）
1．全等三角形是“等角三角形”． √
2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，图中共有2对“等角三角形”． ×
3．如图1，在Rt△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，无论∠A为何值，CD都不可能是△ABC的“等角分割线”． √
（2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝24°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】（1）解：1．全等三角形的对应角相等，故全等三角形是等角三角形；正确
2．△ABC与△ACD，△ABC与△CBD，△ACD与△CBD是“等角三角形”；错误；
3．∵AC≠BC，
∴CD不能将原三角形分成等腰三角形，
∴不可能是△ABC的“等角分割线”．
故3正确．
故答案为：1．√，2．×，3．√；
（2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝24°，
∴∠ACB＝∠BDC＝24°+24°＝48°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝78°，
∠BCD＝∠A＝24°，
∴∠ACB＝78°+24°＝102°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝52°，
∴∠ACB＝104°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+24°＝x，
解得，x＝68°，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝44°，
∴∠ACB＝112°，
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为48°或102°或104°或112°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/18 14:04:45；用户：周静；邮箱：yjpxxx05@xyh.cm；学号：30479237