高考数学核心考点专题训练专题18三角恒等变换(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题18三角恒等变换(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知函数f(x)=2sinωxcsωx+2cs2ωx−22(ω>0)，若函数f(x)在(π2,π)上单调递减，则实数ω的取值范围是( )
A. [14,58]B. [12,54]C. (0,12]D. (0,14]
已知函数f(x)=32sin(2x+π3)−cs2x+12(x∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π2
B. 函数f(x)的图象关于y轴对称
C. 点(π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心
D. 函数f(x)的最大值为12
函数fx=sin2x+23cs2x−3，(m>0)，若对任意，存在，使得gx1=fx2成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. 23,1C. 23,1D. 1,43
把函数f(x)=sinxcsx+π3的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为π2B. 函数在区间−π6,0上单调递增
C. 函数关于π6,−34对称D. 函数关于x=π3对称
已知sinx+sinx+π3=610，x∈−π4,π4，则csπ2−2x=( )
A. −7+24350B. −7210C. 7−24350D. 7210
已知x，y∈R且满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为( )
A. 4,12B. 4,8C. 8,12D. 4,10
已知函数，给出下列结论：①fx的最小正周期为；②点，是函数fx的一个对称中心；③fx在上是增函数；④把y=2sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到fx的图象，则正确的是( )
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
已知函数f(x)=sin2π4x−3sinπ4xcsπ4x.则f(1)+f(2)+…+f(2020)的值等于( )
A. 2018B. 1009C. 1010D. 2020
将函数fx=sinωx2csωx2−sinωx2+1(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围为( )
A. 0<ω≤2B. 32<ω≤2C. 32≤ω≤158D. 158<ω≤2
已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2−c2=43S，c=1，则3b−a的最大值为( )
A. 3B. 2C. 3D. 2
二、单空题（本大题共4小题，共20分）
有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上)，则这个内接矩形的面积最大值为_____________
已知函数f(x)=23sinωx2csωx2+2cs2ωx2(ω>0)的周期为2π3，当x∈0,π3时，函数g(x)=f(x)+k恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________．
已知函数fx=sinωx⋅sinωx+π3+a(ω>0,a∈R)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且f(x)在[π6,7π6]上恰有3个零点，则a= __________．
如图所示，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C,B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,−35)，∠AOC=α，∠BOC=π3，则3cs2α2−sinα2csα2−32的值为___________．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cs2A2−cs2(B+C)=72．
(1)求A；
(2)若点D满足AD=23AC，|BD|=3，求c−23b的取值范围．
设函数f(x)=2sin(x+π6)cs(3π2+x)−32，x∈R．
(1)求函数f(x)的对称轴方程；
(2)在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(A)=32，a=2，SΔABC=3，求△ABC的周长．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若________．
在①c+ccsB=3bsinC；②(a2+c2−b2)sinB=32ac，且B>π4；③a2+c2−b2=433S▵ABC这三个条件中任意选择一个填在横线上，并完成下列问题：
(1)求角B的大小；
(2)若b=72，且a+c=192，求△ABC的面积．
专题18 三角恒等变换
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
已知函数f(x)=2sinωxcsωx+2cs2ωx−22(ω>0)，若函数f(x)在(π2,π)上单调递减，则实数ω的取值范围是( )
A. [14,58]B. [12,54]C. (0,12]D. (0,14]
【答案】A
【解析】解：函数f(x)=2sinωxcsωx+2cs2ωx−22(ω>0)=22sin2ωx+22(1+cs2ωx)−22=22sin2ωx+22cs2ωx=sin(2ωx+π4)，
由函数f(x)在(π2,π)上单调递减，
且2ωx+π4∈(ωπ+π4,2ωπ+π4)，
得
解得14+2k≤ω≤58+k,k∈Z，
又ω>0，∴k=0，
∴实数ω的取值范围是[14,58]．
故选A．
已知函数f(x)=32sin(2x+π3)−cs2x+12(x∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π2
B. 函数f(x)的图象关于y轴对称
C. 点(π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心
D. 函数f(x)的最大值为12
【答案】D
【解析】解：函数f(x)=32sin(2x+π3)−cs2x+12=32(sin2xcsπ3+cs2xsinπ3)−1+cs2x2+12=34sin2x+14cs2x
=12sin(2x+π6)(x∈R)，
由ω=2知，f(x)的最小正周期为π，A错误；
由f(0)=12sinπ6=14不是最值，
∴f(x)的图象不关于y轴对称，B错误；
由f(π6)=12sinπ2=12≠0，
∴点(π6,0)不是函数f(x)图象的一个对称中心，C错误；
由sin(2x+π6)∈[−1,1]，∴f(x)的最大值是12，D正确．
故选D．
函数fx=sin2x+23cs2x−3，(m>0)，若对任意，存在，使得gx1=fx2成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. 23,1C. 23,1D. 1,43
【答案】D
【解析】解：∵f(x)=sin2x+23cs2x−3=sin2x+3(2cs2x−1)
=sin2x+3cs2x=2(12sin2x+32cs2x)=2sin(2x+π3)，
当x∈[0,π4]时，2x+π3∈[π3,5π6]，∴f(x)∈[1,2];
对于g(x)=mcs(2x−π6)−2m+3(m>0)，
当2x−π6∈[−π6,π3]时， mcs(2x−π6)∈[m2,m]，∴g(x)∈[−32m+3,3−m]．
∵对任意x1∈[0,π4]， 存在x2∈[0,π4]， 使得g(x1)=f(x2)成立，
∴1,2⊆−32m,3−m，于是−32m+3≥13−m≤2，解得实数m的取值范围是[1,43].
故选：D．
把函数f(x)=sinxcsx+π3的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为π2B. 函数在区间−π6,0上单调递增
C. 函数关于π6,−34对称D. 函数关于x=π3对称
【答案】C
【解析】解：f(x)=sin xcs (x+π3)=sinx(csxcsπ3−sinxsinπ3)=sinx(12csx−32sinx)
=12sin xcs x−32sin2x，=1212sin2 x+32cs2x−34=12sin (2x+π3)−34
向右平移π3，可得函数g(x)=12sin (2x−π3)−34，
函数的最小正周期为π，故选项A错误；
当x∈[−π6,0]时，−π3<2x<0，−2π3<2x−π3<−π3，函数g(x)不单调递增，故选项B错误；
函数的对称中心满足kπ2+π6,−34，k∈Z，当k=0时，对称中心为π6,−34，故选项C正确；
对称轴的方程为2x−π3=kπ+π2，k∈Z，即x=kπ2+512π，k∈Z，不能取到x=π3，故选项D错误．
故选C．
已知sinx+sinx+π3=610，x∈−π4,π4，则csπ2−2x=( )
A. −7+24350B. −7210C. 7−24350D. 7210
【答案】C
【解析】解：sinx+sin(x+π3)=32sinx+32csx=3(32sinx+12csx)=3sin(x+π6)=610，
则sin(x+π6)=210．
∵x∈(−π4,π4)，∴x+π6∈(−π12,5π12)，∴cs(x+π6)=7210，
∴sin(2x+π3)=2sin(x+π6)cs(x+π6)=725，
cs(2x+π3)=2cs2(x+π6)−1=2425．∴cs(π2−2x)=cs[5π6−(2x+π3)]=cs5π6cs(2x+π3)+sin5π6sin(2x+π3)=−32×2425+12×725=7−24350．故选：C．
已知x，y∈R且满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为( )
A. 4,12B. 4,8C. 8,12D. 4,10
【答案】A
【解析】解：x2+2xy+4y2=6变形为(x+y)2+(3y)2=6，
设x+y=6csθ，3y=6sinθ，θ∈[0,2π)．∴y=2sinθ，x=6csθ−2sinθ，∴z=x2+4y2=(6csθ−2sinθ)+4(2sinθ)=4sin2θ−43sinθcsθ+6，=2×(1−cs2θ)−23sin2θ+6=8−4sin(2θ+π6)，∵sin(2θ+π6)∈[−1,1]．∴z∈[4,12]．故选：A．
已知函数，给出下列结论：①fx的最小正周期为；②点，是函数fx的一个对称中心；③fx在上是增函数；④把y=2sin2x的图象向左平移个单位长度就可以得到fx的图象，则正确的是( )
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
已知函数f(x)=sin2π4x−3sinπ4xcsπ4x.则f(1)+f(2)+…+f(2020)的值等于( )
A. 2018B. 1009C. 1010D. 2020
【答案】C
【解析】解：∵f(x)=sin2π4x−3sinπ4xcsπ4x=12−12csπ2x−32sinπ2x=12−sin(π2x+π6)
∴函数f(x)的周期T=2ππ2=4，
∵f(1)=12−32，f(2)=12+12，f(3)=12+32，f(4)=12−12，
∴f(4k+1)=12−32，f(4k+2)=12+12，f(4k+3)=12+32，f(4k+4)=12−12，
∴f(4k+1)+f(4k+2)+f(4k+3)+f(4k+4)=2，
∵2020=505×4，
∴f(1)+f(2)++f(2020)=505×2=1010．
故选：C．
将函数fx=sinωx2csωx2−sinωx2+1(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围为( )
A. 0<ω≤2B. 32<ω≤2C. 32≤ω≤158D. 158<ω≤2
【答案】C
【解析】解：f(x)=sin ωx2(cs ωx2−sin ωx2)+1=12sinωx−1−csωx2+1
，(ω>0)
f(x)在π6,2π3上单调递减，
根据题意得ωπ6+π4⩾2kπ+π22ωπ3+π4⩽2kπ+3π2,k∈Z,
∴ω≥12k+32ω≤3k+158，k∈Z，且2πω．12≥2π3−π6，
∴0<ω⩽2，
当k=0时，符合题意，
∴32⩽ω⩽158，
故选C．
已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2−c2=43S，c=1，则3b−a的最大值为( )
A. 3B. 2C. 3D. 2
【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，S=12absinC，csC=a2+b2−c22ab，且a2+b2−c2=43S，
∴2abcsC=43×12×absinC，解得：tanC=33，
∵C∈(0,π)，∴C=π6，
∵c=1，∴bsinB=asinA=112=2，
可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin(5π6−A)，∴3b−a=23sinB−2sinA=23sin(5π6−A)−2sinA=23(12csA+32sinA)−2sinA=3csA+sinA=2sin(A+π3)≤2．
可得3b−a的最大值为2．
故选B．
二、单空题（本大题共4小题，共20分）
有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上)，则这个内接矩形的面积最大值为_____________
【答案】
【解析】解：如图，设∠COF=θ，
则CF=2sinθ，OF=2csθ，
所以OE=DE=CF=2sinθ，
EF=OF−OE=2csθ−2sinθ，
设矩形CDEF的面积为S，
则S=CF·EF=2sinθ·2csθ−2sinθ=4×12sin2θ+12cs2θ−12
，
又，
∴当，即时，
S取得最大值为22−2．
故答案为22−2．
已知函数f(x)=23sinωx2csωx2+2cs2ωx2(ω>0)的周期为2π3，当x∈0,π3时，函数g(x)=f(x)+k恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________．
【答案】(−3,−2]
【解析】解：函数f(x)=23sin ωx2cs ωx2+2cs2 ωx2=3sin ωx+cs ωx+1 =2sin (ωx+π6)+1，
因为函数f(x)的周期为2π3，所以ω=2π2π3=3，f(x)=2sin (3x+π6)+1
因为x∈0,π3时，函数g(x)=f(x)+k恰有两个不同的零点，
所以x∈0,π3时，f(x)=−k恰有两个不同的根，
在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=−k的图象如图所示：
由图象可知：2≤−k<3，即−3故答案为(−3,−2]．
已知函数fx=sinωx⋅sinωx+π3+a(ω>0,a∈R)的图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且f(x)在[π6,7π6]上恰有3个零点，则a= __________．
【答案】−12
【解析】解：f(x)=sinωx⋅sin(ωx+π3)+a=34sin2ωx−14cs2ωx+14+a
=12sin(2ωx−π6)+14+a，
由题意，知f(x)的最小正周期T=2×π2=π，所以2ω=2ππ，即ω=1，所以f(x)=12sin(2x−π6)+14+a．
若π6≤x≤7π6，则π6≤2x−π6≤2π+π6.若f(x)在[π6,7π6]上恰有3个零点，则f(π6)=0，
即12×12+14+a=0，
a=−12．
故答案为−12．
如图所示，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C,B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,−35)，∠AOC=α，∠BOC=π3，则3cs2α2−sinα2csα2−32的值为___________．
【答案】35
【解析】解：∵点B的坐标为45,−35，设∠AOB=θ，
∴sin(2π−θ)=−35，cs(2π−θ)=45，
即sin θ=35，cs θ=45，
∵∠BOC=π3，
∴θ+α=π3，
则α=π3−θ，
∴3cs2α2−sin α2cs α2−32=32cs α−12sin α=csα+π6=csπ2−θ=sin θ
=35．
故答案为35．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cs2A2−cs2(B+C)=72．
(1)求A；
(2)若点D满足AD=23AC，|BD|=3，求c−23b的取值范围．
【答案】解：(1)因为B+C=π−A，
所以，
即4cs2A−4csA+1=0，
解得csA=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3.
(2)在ΔABD中，由正弦定理知BDsin∠BAD=ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，
即3sinπ3=23bsin∠ABD=csin(2π3−∠ABD)，
所以b=3sin∠ABD，c=2sin(2π3−∠ABD)，
所以c−23b=2sin(2π3−∠ABD)−2sin∠ABD
=3cs∠ABD−sin∠ABD=2cs(∠ABD+π6)
因为∠ABD∈(0,2π3)，所以∠ABD+π6∈(π6,5π6)，
所以cs(∠ABD+π6)∈(−32,32)，
所以c−23b的范围为(−3,3).
设函数f(x)=2sin(x+π6)cs(3π2+x)−32，x∈R．
(1)求函数f(x)的对称轴方程；
(2)在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(A)=32，a=2，SΔABC=3，求△ABC的周长．
【答案】解：(1)因为
，
令，，解得，，
可得函数的对称轴方程为，．
(2)因为锐角三角形，所以
所以，，
又因为，，
所以，，
因为，所以，
又因为，
所以，
所以的周长为．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若________．
在①c+ccsB=3bsinC；②(a2+c2−b2)sinB=32ac，且B>π4；③a2+c2−b2=433S▵ABC这三个条件中任意选择一个填在横线上，并完成下列问题：
(1)求角B的大小；
(2)若b=72，且a+c=192，求△ABC的面积．
【答案】解：(1)选 ①．∵c+ccsB=3bsinC，及正弦定理，∴sinC+sinCcsB=3sinBsinC，
∵在△ABC中，B∈(0,π)，∴sinC>0，∴3sinB−csB=1
∴sinBcsπ6−csBsinπ6=sin(B−π6)=12，
∵在△ABC中，B∈(0,π)，∴B−π6∈(−π6⋅5π6)，∴B−π6=π6，则B=π3．
选 ②.(a2+c2−b2)sinB=32ac，且由余弦定理：a2+c2−b2=2accsB，
所以2accsBsinB=32ac，所以sin2B=32．
又，所以π2<2B<2π，所以2B=2π3，所以B=π3．
选 ③．，
由余弦定理得：csB=a2+c2−b22ac=33sinB
∵在△ABC中，B∈(0,π)，∴tanB=sinBcsB=3，则B=π3．
(2)因为b=72，B=π3，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB，
所以74=a2+c2−ac，即(a+c)2−3ac=74，
因为a+c=192，所以ac=1，
所以．