高考数学核心考点专题训练专题13导数在解决实际问题中的应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题13导数在解决实际问题中的应用(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕( )
A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤
第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为425kk>0，较长的池壁维修费用满足代数式2500kx2，则当泳池的维修费用最低时x值为( )
A. 25B. 30C. 35D. 40
如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为( )
A. (l6)3πB. 19(l2)3πC. (l4)3πD. 2(l4)3π
设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为( )
A. B.
C. D.
一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )
A. 3Sπ+4
B. Sπ+4
C. 2Sπ+4
D. 2Sπ+4
如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为( )时，其容积最大．
A. 34
B. 23
C. 13
D. 12
一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为( )
A. 500281B. 500227C. 53D. 152
传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4cm至10cm之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为10cm，长度为dcm。在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒1cm匀速缩短，同时长度以每秒40cm匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为7cm时，其体积最大，此时“定海神针”的长度d为( )cm
A. 20B. 40C. 60D. 80
已知a>0，b∈R，且ex≥a(x−1)+b对x∈R恒成立，则a2b的最大值为( )
A. 12e5B. 13e5C. 12e3D. 13e3
某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤
若关于x的不等式xlnx+12x2−2x−kx−k<0的解集为a,baA. [−34,ln4−23)B. [34,2−ln43)C. (34,2−ln43]D. (−34,ln4−23]
如图，有一块半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案，方案一：设腰长AD=x，周长为f (x)；方案二：设∠BAD=θ，周长g(θ)，当x，θ在定义域内增大时 ( )
A. f(x)先增大后减小，g(θ)先减小后增大
B. f(x)先增大后减小，g(θ)先增大后减小
C. f(x)先减小后增大，g(θ)先增大后减小
D. f(x)先减小后增大，g(θ)先减小后增大
二、填空题
如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大为________．
某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+127x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时总利润最大．
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中，在0,t1的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
如图，平面内△AOB，△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，OA=2，OC=1，点C在△AOB的内部(不包括边界)，△ACB，△BOD的面积分别记作S1，S2，则S1S2的取值范围为__________．

专题13 导数在解决实际问题中的应用
一、单选题
某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕( )
A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤
【答案】B
【解析】解：设销售利润为g(x)，得g(x)=−18x3+916ax2+12x−1−12x
=−18x3+916ax2−1，
当x=2时，g(2)=−18×23+916a×22−1=2.5，解得a=2．
∴g(x)=−18x3+98x2−1，
g'(x)=−38x2+94x=−38x(x−6)，
∴函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减．
∴x=6时，函数g(x)取得极大值即最大值，
故选B．
第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为425kk>0，较长的池壁维修费用满足代数式2500kx2，则当泳池的维修费用最低时x值为( )
A. 25B. 30C. 35D. 40
【答案】A
【解析】解：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得
y=1250×150+825kx+2500kx2k>0
则y'=825k−5000kx3．
令y'=0，解得x=25．
当0当x>25时，y'>0，
故当x=25时，y有最小值．
因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低．
故选A．
如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为( )
A. (l6)3πB. 19(l2)3πC. (l4)3πD. 2(l4)3π
【答案】A
【解析】解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长l为定值：
4R+2H=l，
H=l2−2R，
V=SH=πR2H=πR2(l2−2R)=πR2l2−2πR3，
求导：
V'=πRl−6πR2，令V'=0，
πRl−6πR2=0，
πR(l−6R)=0，
l−6R=0，
R=l6，
当R=l6，圆柱的体积有最大值，
圆柱体积的最大值是：
V=πR2l2−2πR3=(l6)3π
故选：A．
设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，
∴g(x)=csx，
则函数y=x2g(x)=x2⋅csx，
设f(x)=x2⋅csx，
f(−x)=−x2·cs−x=x2·csx=f(x)，
∴y=f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B;
令x=0，得f(0)=0，排除D．
故选C．
一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )
A. 3Sπ+4
B. Sπ+4
C. 2Sπ+4
D. 2Sπ+4
【答案】C
【解析】解：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，
则，，
∴窗户的周长，
，由L'=0，得，
时，L'<0，时，L'>0，
∴当时，L取最小值，
故选C．
如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为( )时，其容积最大．
A. 34
B. 23
C. 13
D. 12
【答案】B
【解析】设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，
则正六棱柱的底面边长为1−2x，高为 3x，
所以正六棱柱的体积V=6×12×sin60°×(1−2x)2× 3x
=6× 34(1−2x) 2× 3x
= 92(4x 3−4x 2+x) 0则V'= 92(12x 2−8x+1)．
令V'=0，得x= 12(舍去)或x= 16．
当x∈ 0,16时，V'>0；当x∈ 16,12时，V'<0．
故当x= 16时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为 23．
故选B．
一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为( )
A. 500281B. 500227C. 53D. 152
【答案】A
【解析】解：四棱锥如图，
设底面正方形边长的一半为x，
则有AO=(5−x)2−x2−x2=−x2−10x+25，
V=43⋅x2⋅−x2−10x+25=43−x6−10x5+25x4．
设y=−x6−10x5+25x4，
则y'=−6x5−50x4+100x3=2x3(−3x2−25x+50)=2x3(x+10)(−3x+5)，
由y'=0，可得x=−10(舍)或x=53或x=0(舍)．
当x∈0,53时，y'>0，函数单调递增；
当x∈53,+∞时，y'<0，函数单调递减．
故当x=53时，Vmax=500281．
故选：A．
传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4cm至10cm之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为10cm，长度为dcm。在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒1cm匀速缩短，同时长度以每秒40cm匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为7cm时，其体积最大，此时“定海神针”的长度d为( )cm
A. 20B. 40C. 60D. 80
【答案】A
【解析】解：依题意，设变化时间为x，变化过程中，其底面半径为10−x(cm)，长度为d+40x(cm)，
可得f(x)=π(10−x)2(d+40x)，
由4⩽10−x⩽10可得0≤x≤6.
f'(x)=2π(x−10)(40x+d)+40π(x−10)2=2π(x−10)(60x+d−200)，
令f'(x)=0可得x=10(舍)或x=d−20060，
∵金箍棒底面半径为7cm时，其体积最大．
故x=3为f(x)的一个极大值点，∴d−20060=3，
∴d=20．
故选A．
已知a>0，b∈R，且ex≥a(x−1)+b对x∈R恒成立，则a2b的最大值为( )
A. 12e5B. 13e5C. 12e3D. 13e3
【答案】B
【解析】解：设f(x)=ex−a(x−1)−b，
可得f'(x)=ex−a，
当a≤0时，f'(x)>0，f(x)递增，f(x)无最小值；
当a>0时，x>lna时，f'(x)>0，f(x)递增；x可得x=lna处，f(x)取得最小值2a−alna−b，
由ex≥a(x−1)+b对x∈R恒成立，可得b≤2a−alna，
则a2b≤2a3−a3lna，
设g(a)=2a3−a3lna，g'(a)=6a2−(3a2lna+a2)=5a2−3a2lna=a2(5−3lna)，
当a>e53时，g'(a)<0，g(a)递减；当00，g(a)递增，
可得a=e53处，g(a)取得最大值2e5−53e5=13e5．
即有a2b的最大值为13e5．
故选：B．
某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=−18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤
【答案】B
【解析】
解：设销售利润为g(x)，得g(x)=−18x3+916ax2+12x−1−12x=−18x3+916ax2−1，
当x=2时，g(2)=−18×23+916a×22−1=2.5，解得a=2．
∴g(x)=−18x3+98x2−1，
g'(x)=−38x2+94x=−38x(x−6)，
∴函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减．
∴x=6时，函数g(x)取得极大值即最大值，
故选：B．
若关于x的不等式xlnx+12x2−2x−kx−k<0的解集为a,baA. [−34,ln4−23)B. [34,2−ln43)C. (34,2−ln43]D. (−34,ln4−23]
【答案】D
【解析】解：不等式，
即，
令，
gx=kx+k，
f'x=lnx+x−1，
gx过点M−1,0，当x=1时，
f'x=0，当x>1时，f'x>0,fx为增函数，
当0则fx的最小值为f(1)=−32，
记A1,−32，，记B2,ln4−2，
因为，
所以当时，
不等式在a,b内只有一个整数解为1，满足题意．
故选D．
如图，有一块半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案，方案一：设腰长AD=x，周长为f (x)；方案二：设∠BAD=θ，周长g(θ)，当x，θ在定义域内增大时 ( )
A. f(x)先增大后减小，g(θ)先减小后增大
B. f(x)先增大后减小，g(θ)先增大后减小
C. f(x)先减小后增大，g(θ)先增大后减小
D. f(x)先减小后增大，g(θ)先减小后增大
【答案】A
【解析】解：方案一：如图所示，连接OD，OC，则OC=OD=OA=OB=R，
在△OAD中，设∠AOD=θ，AD=x，由余弦定理，得
x2=2R2−2R2⋅csθ，θ∈(0,90°)，
∴csθ=2R2−x22R2；x∈(0,2R)．
在△OCD中，∠COD=180°−2θ，
同理DC2=2R2−2R2⋅cs(180°−2θ)
=2R2(1+cs2θ)=2R2⋅2cs2θ=4R2⋅cs2θ，
∴DC=2R⋅csθ=2R⋅2R2−x22R2=2R−x2R；
所以梯形的周长：f(x)=2R+2x+(2R−x2R)=−x2R+2x+4R=−1R(x−R)2+5R；
则函数y在x∈(0,R)上单调递增．在(R,2R)上单调递减．
方案二：连接BD，则∠ADB=90°，
∴AD=BC=2Rcsθ.θ∈(0,π2)．
作DE⊥AB于E，CM⊥AB于M，
得AE=BM=ADcsθ=2Rcs2θ，
∴DC=AB−2AE=2R−4Rcs2θ，
∴△ABC的周长g(θ)=AB+2AD+DC
=2R+4Rcsθ+2R−4Rcs2θ
=4R(−cs2θ+csθ+1)
=2R[−(csθ−12)2+54].
可得g(θ)在(0,π3)内单调递减，在(π3,π2)内单调递增．
故选A．
二、填空题
如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大为________．
【答案】33
【解析】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．
设∠AOD=θ(θ∈(0,π2))．
OE=2csθ，DE=2sinθ．
可得CD=2OE=4csθ，
∴梯形ABCD的面积S=12(4+4csθ)×2sinθ
=4sinθ(1+csθ)，
S2=16sin2θ(1+2csθ+cs2θ)
=16(1−cs2θ)(1+2csθ+cs2θ)
令csθ=t∈(0,1)．
则S2=16(1−t2)(1+2t+t2)=f(t)．
则f'(t)=−32(t+1)2(2t−1)．
f'(t)>0，t∈0,12，则f(t)单调递增；
f'(t)<0，t∈12,1，则f(t)单调递减；
可知：当且仅当t=12时，f(t)取得最大值：
f(12)=16×34×94=27．
因此S的最大值为：33．
故答案为33．
某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+127x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时总利润最大．
【答案】225
【解析】
【解答】解：设产品单价为m，
因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2=kx(其中k为非零常数)，
又生产100件这样的产品时，单价为50万元，
所以502=k100，解得k=250000，则m2=250000x．
记生产x件产品时，总利润为f(x)，
则f(x)=mx−C(x)=500x−1200−127x2(x>0)，f'(x)=250x−227x，
由f'(x)>0得0225．
故函数f(x)在(0,225)上单调递增，在(225,+∞)上单调递减，
因此当x=225时，f(x)取得最大值，
即产量定为225件时，总利润最大．
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中，在0,t1的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t)．
对于①，在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为−f(t2)−f(t1)t2−t1，
乙企业的污水治理能力为−g(t2)−g(t1)t2−t1．
由图可知，f(t1)−f(t2)>g(t1)−g(t2)，∴−f(t2)−f(t1)t2−t1>−g(t2)−g(t1)t2−t1，
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
对于②，由图可知，f(t)在t2时刻的切线的斜率小于g(t)在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，
∴在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；
对于③，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
∴在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[t1,t2]的污水治理能力最强，
故④错误．
∴正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
如图，平面内△AOB，△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，OA=2，OC=1，点C在△AOB的内部(不包括边界)，△ACB，△BOD的面积分别记作S1，S2，则S1S2的取值范围为__________．
【答案】3−1,+∞
【解析】解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建系，
作CH⊥AB，DM⊥OB，
设∠COA=θ，则，
则Ccsθ,sinθ，A(2,0)，B(0,2)，D(−sinθ,csθ)，
所以过AB两点的直线方程为x+y−2=0，
CH为点C到直线AB的距离，
则S1S2=12CH·2212DM·2=csθ+sinθ−2sinθ=2−csθsinθ−1，
设fθ=2−csθsinθ，则f'θ=1−2csθsin2θ，
所以f(θ)在0,π3上单调递减，在单调递增，
所以，则S1S2的最小值为3−1．
故答案为3−1,+∞．