高考数学核心考点专题训练专题14导数中的恒成立与存在性问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题14导数中的恒成立与存在性问题(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知函数f(x)=ex−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]
已知f(x)=2x2−ax+lnx在区间(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,4)B. (−∞,4]C. (0,4)D. (0,4]
已知函数f(x)=ln(2−x),x≤1,−x2+1,x>1,若|f(x)|−ax+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [−12,1]B. [0,1]C. [0,2]D. [1,+∞)
已知不等式x≥mlnx+n(m,n∈R，且m≠0)对任意实数x>0成立，则n−2m的最大值为( )
A. −2ln2B. −ln2C. ln2−1D. ln2−2
若存在正实数x，y使得不等式lnx−x2+1≥lny+4y2−ln4成立，则x+y=
A. 22B. 2C. 322D. 522
已知函数，若对任意的x1,x2∈(0,+∞)，都有fx1−fx2x12−x22>kx1x2+x22恒成立，则实数k的最大值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
当x∈(1,+∞)时，不等式ln(x−1)−2ax+3b≤0(a,b∈R，a≠0)恒成立，则ba的最大值为( )
A. 1eB. 2C. 43D. 2e
设函数f(x)=xln x的导函数为f'(x)，若对任意的x∈[1,+∞)，不等式f'(x)≤a+ex恒成立，则实数a的最小值为( )
A. 1−1eB. 2−1eC. 1−eD. 2−e
丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'x，f'x在(a,b)上的导函数为f''x，若在(a,b)上f''x>0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凹函数”.已知fx=exx−tlnx+x在(0,2)上为“凹函数”，则实数t的取值范围是
A. (−∞,−1)B. (−∞,−e)C. (−e,+∞)D. (−1,+∞)
已知函数fx=lnx，若存在实数x使不等式f(x)≥x2−x−2a−2b−ln2成立，则实数a+b的取值范围为 ( )
A. 38,+∞B. C. D. −ln22,+∞
二、填空题
若存在x0∈(−1,2)，满足lnx0+13>ax0−2a，则实数a的取值范围为__________．
已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)−f(x)>0，若exf(ax 2)>eax2+1f(x−1)恒成立，则实数a的取值范围为__________________．
已知a>1，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为_____．
已知函数f(x)=sin(2x+π6)−x22−mx在[0,π6]上单调递减，则实数m的最小值是_______．
三、解答题
已知函数fx=ax+lnx，gx=ex−1−1．
(1)讨论函数y=fx的单调性;
(2)若不等式fx≤gx+a在x∈1,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．




已知f(x)=−ex+ex(e为自然对数的底数)
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；
(Ⅱ)设g(x)=lnx+12x2+ax，若对任意x1∈(0,2]，总存在x2∈(0,2].使得g(x1)0时，f(x)≥kx即为ex−12x2−kx−1≥0，设g(x)=ex−12x2−kx−1(x>0)，
则g'(x)=ex−x−k，令ℎ(x)=g'(x)=ex−x−k，
ℎ'(x)=ex−1>0，
∴函数g'(x)在(0,+∞)上为增函数，
①当k≤1时，g'(x)>g'(0)=1−k≥0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，
∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；
②当k>1时，g'(0)=1−k1,若|f(x)|−ax+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [−12,1]B. [0,1]C. [0,2]D. [1,+∞)
【答案】C
【解析】解：因为f(x)=ln(2−x),x≤1,−x2+1,x>1,,
由恒成立，
得到f(x)≥ax−1，
分别作出y=fx及y=ax−1的图象，
由图知，当a1图象相切于1,0时，
由导数几何意义，
此时a=x2−1'x=1=2，
数形结合可知0≤a≤2；
故选C．

已知不等式x≥mlnx+n(m,n∈R，且m≠0)对任意实数x>0成立，则n−2m的最大值为( )
A. −2ln2B. −ln2C. ln2−1D. ln2−2
【答案】B
【解析】解：由题意得x−mlnx≥n成立，令f(x)=x−mlnx，则f'(x)=x−mx(x>0)，
若m0)，
当x∈(0,2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(2,+∞)时，g'(x)kx1x2+x22恒成立，则实数k的最大值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】解：x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2,所以x1+x2>0，
[f(x1)−f(x2)](x12−x22)>k(x1x2+x22)可化为k0)所以φ'(a)=1312a×2+2a−(ln2a+2a+1)a2=−ln2a3a2
当a∈0,12时，φ'(a)>0,当a∈12,+∞φ'(a)0时，g(x)=x2−x−lnx−ln2，则g'(x)=2x−1−1x=(2x+1)(x−1)x，
当00，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故g(x)的极小值为g(1)=−ln2，
当x0，若exf(ax 2)>eax2+1f(x−1)恒成立，则实数a的取值范围为__________________．
【答案】14,+∞
【解析】解：根据题意设gx=fxex，因为f'x−fx>0
所以g'x=f'(x)−f(x)ex>0，所以g(x)为单调递增函数，
则变形为fax2eax2>fx−1ex−1，
则不等式转化为gax2>gx−1，
即ax2>x−1恒成立，
即ax2−x+1>0恒成立，
则a>0Δ=1−4a14．
故答案为14,+∞．
已知a>1，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为_____．
【答案】3e
【解析】解：
．
令fx=x−lnx，f'x=1−1x=x−1x，
∴fx在上单调递增，
∵a>1，x∈13,+∞,
∴3x⩾1,aex>1，
又f3x⩽faex，
∴3x⩽aex⇔3xex⩽a对于任意的x∈13,+∞恒成立，
令，x∈13,+∞,
，
可知函数g(x)在13,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
∴当x=1时，gx取最大值为3e，
，
∴a的最小值为3e．
故答案为3e．
已知函数f(x)=sin(2x+π6)−x22−mx在[0,π6]上单调递减，则实数m的最小值是_______．
【答案】 3
【解析】解：依题意f'(x)=2cs (2x+π6)−x−m≤0在[0,π6]上恒成立，即m≥2cs (2x+π6)−x在[0,π6]上恒成立，
记ℎ(x)=2cs (2x+π6)−x，
，
，∴ (2x+π6)∈[π6,π2]，
∴−4sin (2x+π6)−10，函数f(x)在(0,+∞)单调递增，无减区间；
当a0;当x∈(1,+∞)时，F'(x)