高考数学核心考点专题训练专题12利用导数研究闭区间上函数的最值(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题12利用导数研究闭区间上函数的最值(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f'(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A. −3eB. −2eC. eD. 2e
已知函数f(x)=lnx,x>0x+2,x⩽0,，若f(m)=f(n)且n0，较长的池壁维修费用满足代数式2500kx2，则当泳池的维修费用最低时x值为( )
A. 25B. 30C. 35D. 40
已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f'(x)+f(x)x=1x2，且f(e)=2e，e为自然对数的底数，若关于x的不等式f(x)x−x−ax+2≤0恒成立，则实数a的取值范围为
A. [1,+∞)B. [2,+∞)
C. [e+2e,+∞)D. [−e3+2e2+2e,+∞)
二、填空题
若函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为33，则a的值为________．
已知函数f(x)=a−x2(00．
所以函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，
所以函数g(x)在区间[0,2]上的最小值为g(1)=e×(1−3)=−2e．
故选B．
已知函数f(x)=lnx,x>0x+2,x⩽0,，若f(m)=f(n)且n0x+2,x⩽0,f(m)=f(n)且n0，
所以m−n=m−lnm+2，
设gm=m−lnm+2，则g'm=1−1m=m−1m，
所以当m>1时，g'm>0，则gm单调递增，
当00得x>1，令f'x0，较长的池壁维修费用满足代数式2500kx2，则当泳池的维修费用最低时x值为( )
A. 25B. 30C. 35D. 40
【答案】A
【解析】解：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得
y=1250×150+825kx+2500kx2k>0
则y'=825k−5000kx3．
令y'=0，解得x=25．
当00，
故当x=25时，y有最小值．
因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低．
故选A．
已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f'(x)+f(x)x=1x2，且f(e)=2e，e为自然对数的底数，若关于x的不等式f(x)x−x−ax+2≤0恒成立，则实数a的取值范围为
A. [1,+∞)B. [2,+∞)
C. [e+2e,+∞)D. [−e3+2e2+2e,+∞)
【答案】B
【解析】解：由f'(x)+f(x)x=1x2，得xf'(x)+f(x)=1x．
设g(x)=xf(x)，g'(x)=xf'(x)+f(x)=1x，
则g(x)=lnx+c，从而有f(x)=lnx+cx．
又因为f(e)=1+ce=2e，所以c=1，f(x)=lnx+1x，f'(x)=−lnxx2，
当x∈(0,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f'(x)0)在[1,+∞)上的最大值为33，则a的值为________．
【答案】3−1
【解析】解：f'(x)=x2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，
当x>a时，f'(x)1，x∈13,+∞,
∴3x⩾1,aex>1，
又f3x⩽faex，
∴3x⩽aex⇔3xex⩽a对于任意的x∈13,+∞恒成立，
令，x∈13,+∞,
，
可知函数g(x)在13,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
∴当x=1时，gx取最大值为3e，
，
∴a的最小值为3e．
故答案为3e．
某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为________．
【答案】26π27
【解析】解：原模具的毛坯体积为V1=4π3×13+2π=10π3，
设挖出的小圆柱的底面半径为r(00恒成立，故f(x)在x∈(0,+∞)是增函数；
②当a>0时，对x∈(0,1a),f'(x)>0，f(x)是增函数，
对x∈(1a,+∞),f'(x)0时，f(x)在(0,1a)是增函数，在(1a,+∞)是减函数
(3)要使得f(x)=lnx−ax+3≤0恒成立，则f(x)max⩽0，
由(2)可知，f(x)的极大值f(1a)即为f(x)的最大值，
∴ f(1a)=ln1a−1+3=−lna+2≤0,lna≥2=lne2,a≥e2，
∴实数a的取值范围为[e2,+∞)．
已知f(x)=−ex+ex(e为自然对数的底数)
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；
(Ⅱ)设g(x)=lnx+12x2+ax，若对任意x1∈(0,2]，总存在x2∈(0,2].使得g(x1)0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)r(x)max=r(2)=ln22+1．
综上：a0．
(I)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为0，求a的值；
(II)若对任意的x∈(0,1)，不等式g(x)−f(x)0；
当x∈(x0,+∞)时，g(x)0，
所以φ(x)在(−∞,+∞)单调递增，
所以φ(a+lnx)≤φ(x)⇒a+lnx≤x，
即a≤x−lnx，
记ℎ(x)=x−lnx，
所以ℎ'(x)=1−1x=x−1x，
当x∈(0,1)时，ℎ'(x)