【考点清单】专题07+数列通项公式与数列求和-高二数学下学期期末考点大串讲试卷（人教B版2019选择性必修第三册）

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【考点题型一】观察法求数列的通项
由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
【例1】（23-24高二下·四川广元·期中）下列不能作为数列的通项公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A选项：通项为的数列，前4项分别为，，，，成立；
B选项：通项为，列出前面几项，也成立；
C选项：通项为的数列的第1项为，不成立；
D选项：通项为的数列，前4项分别为
，，，，成立.故选：C．
【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】数列各项可改写为：，
因此一个通项公式可为=.故选：B.
【变式1-2】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444，
则有，，，，
则数列的通项公式可以是，故选：C．
【变式1-3】（23-24高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：.故选：D.
【考点题型二】由Sn与an的关系求数列通项
已知求的三个步骤：
（1）先利用求出.
（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分与两段来写．
【例2】（23-24高二下·广东惠州通·月考）设数列的前项和为，若，则（ ）
A．65B．127C．129D．255
【答案】B
【解析】时，，则.
时，，
，
是2为首项，2为公比的等比数列，，故选：B.
【变式2-1】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知为等比数列的前项和，，则（ ）
A．12B．24C．48D．96
【答案】C
【解析】由题知可得，
当时，，
所以，且，
由于为等比数列，可知，解得，
所以， .故选：C
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由 ① 知，
当时，；
当时， ②，
由① ② ：，即得，
当时，符合题意，故.故选：A.
【变式2-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（ ）
A．216B．260C．290D．316
【答案】A
【解析】令，得，∴．
当时，．
与已知式相减，得．
∴，
又时，满足上式，∴．
∴，∴．故选：A
【考点题型三】累加法求数列通项
若an+1−an=f(n)，则an−an−1=f(n−1)；an−1−an−2=f(n−2)……，a3−a2=f2，a2−a1=f1
两边分别相加得：an−a1=f1+f2+⋯+f(n−1)
【例3】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43B．46C．37D．36
【答案】C
【解析】法一：由题得 ，
所以.
法二：由题，，
所以.故选：C.
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由数列首项为，且，
则.故选：C.
【变式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知得：，
又，所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列,
因此，
当时，
相加得：.故选：A.
【变式3-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，得，
则当时，，，，，
以上各式相加得，，
所以，即，
当时，适合此式，所以.故选：D.
【考点题型四】累乘法求数列通项
若an+1an=fn，则anan−1=fn−1，an−1an−2=fn−2，……，a3a2=f2，a2a2=f1，
两边分别相乘得：ana1=f1∙f(2)∙f(3)⋯f(n−1)
【例4】（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】故选：B
【变式4-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意易知，
由变形为，故，
所以
，
因为，所以，故，
所以.故选：C
【变式4-2】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（ ）
A．B．15C．D．10
【答案】B
【解析】因为，所以，即，得.
所以.
因为，所以.故选：B.
【变式4-3】（22-23高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，
两式相减得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因为，所以，.
当时，，所以.故选：B
【考点题型五】待定系数法求数列通项
1、形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
2、形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
3、形如，通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
【例5】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】数列中，由，得，而，
因此数列是首项为1，公比为的等比数列，
，即，所以.故选：D
【变式5-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，且，若，则（ ）
A．253B．506C．1012D．2024
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以，故为常数列，
所以. 由，解得.故选：B
【变式5-2】（23-24高二下·河南周口·月考）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9B．21C．45D．93
【答案】C
【解析】由得，整理得，
又得，
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即
所以.故选：C.
【变式5-3】（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：设，则，
与比较可得，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，故选：D
【考点题型六】取倒数法求数列通项
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
【例6】（23-24高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足递推关系：，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，由，得，即，而，
因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
则，，
所以.故选：C
【变式6-1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则，，，…，，
以上各式相加可得，，.故选：B
【变式6-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
又，所以，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，得，
所以.故选：A
【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得：，
又，数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，
，，，故选：D．
【考点题型七】公式法求和
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
【例7】（23-24高二下·四川成都·期中）等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，记为数列前项的和，若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公差为，由题设得
因为，所以，解得，故.
（2）由（1）得，因为，，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，
由得，解得.
【变式7-1】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值；
（3）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2），没有最大值；（3）
【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，
且，，即，
所以公差，则，所以，
又因为，，即，
所以公比，所以；
（2）数列的前项和，
所以或时，取得最小值，且，没有最大值；
（3）由（1）可得，
所以的前项和．
【变式7-2】（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，，．
（1）求数列的首项和公差；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．
【答案】（1），；（2）最小值为，此时或．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，，可得，记得，
所以数列的首项为，公差为．
（2）由（1）知，可得，
因为，所以或时，取得最小值．
【变式7-3】（23-24高二下·陕西西安·月考）（1）已知数列满足，，求．
（2）等比数列的前项和为，已知、、成等差数列．
（i）求的公比；
（ii）若，求．
【答案】（1）（2）（i）；（ii）
【解析】（1）因为，所以，又，
所以，则；
（2）（i）因为、、成等差数列，所以，
即，
因为，所以，解得或（舍去）；
（ii）因为且，即，解得，
所以.
【考点题型八】分组转化法求和
（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
（2）常见类型：
= 1 \* GB3 ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；
= 2 \* GB3 ②通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
【例8】（23-24高二下·四川达州·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设数列的公差为，由已知有
，即，解得（舍），
，；
（2），
.
【变式8-1】（23-24高二下·广东江门·月考）在递增等比数列中，，，数列的前n项和为，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）在递增等比数列中，，，解得，
设公比为，则，又因为为递增数列，故，
所以，所以，即；
数列的前n项和为，，
当时，，
则，
当时，，符合上式，
所以.
（2）由（1）知，，所以，
则
，
即.
【变式8-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且.
（1）若，证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1），
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，所以，
所以
．
【变式8-3】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，
成等差数列，
，即，
化简整理，得，解得（舍去），或，
首项，
.
（2）由（1）可得
则数列的前项和为
【考点题型九】并项法求和
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，．
【例9】（23-24高二下·陕西西安·月考）在数列中，已知，则的值为？
【答案】
【解析】因为，
当为偶数时
，
当为奇数时
，
所以，，，
所以.
【变式9-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，所以或．
又因为，所以，所以，
故，．
（2），
．
【变式9-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】（1）显然，将两边同时取倒数得，即，
所以数列是公差为2的等差数列，
所以，所的.
（2）由已知得，那么数列的前项和，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
故.
【变式9-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前30项的和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，则，解得，
则，故，
所以，解得，则，
故.
（2），
，
.
【考点题型十】逆序相加法求和
倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
【例10】（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
则
两式相加得
所以，所以.故选：A.
【变式10-1】（23-24高二下·云南文山·月考）函数，则的值为（ ）．
A．2012B．C．2013D．
【答案】B
【解析】由可得：，
所以，，
所以设
，
则两式相加可得：
故选：B.
【变式10-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4050B．2025C．4052D．2026
【答案】A
【解析】由数列是公比为的正项等比数列，故，
因为，故，
即有，
由，则当时，有，
设，
，
，，
故．故选：.
【变式10-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
【答案】1009
【解析】由函数，得，
令，
则，
两式相加得，解得，
所以所求值为1009.
【考点题型十一】裂项相消法求和
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
【例11】（23-24高二下·河南·月考）已知正项数列前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）()；（2）
【解析】（1）∵①，
当，时，有②，
由①－②得，即，
∵正项数列，，∴，，
∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，
∴（）.
（2）由（1）得，
则（），
∴.
【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列的首项，前项和为，且，．
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】（1）因为，所以，
因为，即，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1），
当时，，
所以，
又适合上式，所以，
所以，
所以．
【变式11-2】（23-24高二下·河北石家庄·月考）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】（1）设的公差为，由题意得，
即，解得，
所以.
（2），
所以，
因为，所以，即.
【变式11-3】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，所以
又，所以，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以
，
又，所以.
【考点题型十二】错位相减法求和
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
【例12】（23-24高二下·重庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以
，
所以.
【变式12-1】（23-24高二下·山东潍坊·期中）在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.
（1）求的值;
（2）求数列的通项公式:
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），，，
因为成公比不为1的等比数列，
所以，解得或.
当时，，不符合题意舍去，故.
（2）当时，由于，
所以，
又，故.
当时，满足上式，所以.
（3）因为，
所以，
，
两式相减得
即.
【变式12-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为，，
所以当时，，得．
当时，，
所以，所以．
因为时也满足，
所以，所以，所以．
因为，所以当时，，解得．
当时，，所以，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【变式12-3】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，
（1）求的通项公式及；
（2）设，为数列的前项和，求.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列，
所以，
所以.
（2）易知，所以，
两式相减得，
所以.
【考点题型十三】数列求和与不等式成立问题
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
【例13】（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可知，当时，；
当时，由得，，
两式作差可得，，
也适合该式，故；
（2）证明：由题意知，
故，
由于，则，故，
即.
【变式13-1】（23-24高二下·贵州铜仁·月考）已知数列的前n项和为，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）当时，，当时，，
所以，化简得，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）因为，
所以，由得，
因为对任意都成立，所以，解得，
故实数m的取值范围为.
【变式13-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和．
（1）求；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得：，，
上面两式相减得：，整理得：，，
所以数列是常数列，即，所以，则，
所以
两边同乘以2得：
两式相减得：，
即.
（2）由可得：，整理得：，
当为偶数时，上面不等式可化简为：，
利用该数列单调递增性可知：，所以，
当为奇数时，上面不等式可化简为：，
再利用该数列单调递减性可知：，所以，
综上可得：.
【变式13-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），当时，，
当，时，，，
两式相减得：为非零定值，而，
即是以1为首项，公比的等比数列，所以；
（2），
所以，
，
两式相减：，
由得，，即存在使成立，
随着增大，在减小，当时，，
故求的取值范围是．
【考点题型十四】数列中的探究性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
【例14】（2023·广东·模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
（1）求证为等比数列；
（2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）因为的等差中项为，所以，
因为时，，则，所以，
由得，
又，两式相减得，即，
所以有，所以，
所以是等比数列，其首项为，公比为2.
（2）由（1）知，所以，所以，
因为，所以，
又，
所以，所以.
【变式14-1】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·月考）数列满足：是等比数列，，且．
（1）求；
（2）求集合中所有元素的和；
（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
【答案】（1），；（2）
（3）数列是“和稳定数列”，，数列不是“和稳定数列”，理由见解析
【解析】（1），
又，，解得：
因为是等比数列，所以的公比，
又当时，，
作差得：
将代入，化简：，得：
是公差的等差数列，
（2）记集合的全体元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，则有
对于数列：
当时，是数列中的项
当时，不是数列中的项
，其中
即（其中表示不超过实数的最大整数）
（3）①当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；
②数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，且
故不是数列中的项.
数列不是“和稳定数列”.
【变式14-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式．
（2）令，求数列的前n项和．
（3）令，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析
【解析】（1）由已知得，且，则，
所以，所以，解得．
（2）由（1）知，所以．
．
（3）由题意可知．
假设存在，则，且，
即，则有，
化简得，将代入，即得．
因为，当且仅当时，等号成立．
又因为m，n，s互不相等，所以不存在．
【变式14-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，，取值见解析.
【解析】（1）由①，当时，，
当时，②，
①-②得，即，
所以，所以，
当时，，上式也成立，
所以数列为常数列，，所以.
（2）由，，
则，
所以的前项和为.
（3）由（1）知.
要使成等差数列，则，
即，整理得，
因为，为正整数，所以只能取2，3，5.
当时，；
当时，；
当时，.
故存在正整数，使得成等差数列.