高二数学下学期期末考试分类汇编数列求和新人教A版

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专题08  数列经典求和方法类型一  数列综合应用一、单选题1．（2022·四川·成都外国语学校）设等比数列的前n项和为，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】：设等比数列的公比为，若，则，所以所以，与已知矛盾.所以，，得故选：D 2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，解得：或，又单调递减， ，，解得：，数列的通项公式为：，.故选：C．3．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知等比数列的前n项和为，前n项积为，若，且，则当取最大值时，n的值为（       ）A．6 B．4 C．2 D．8【答案】B【解析】因为等比数列的前n项和为，，且，，两式相除得：，因为，所以，代入得：，所以，当取最大值时，可得n为偶数．当时，，当时，，∴，又且n为偶数时；当时，∴时最大，故选：B． 4．（2022·河南·高二阶段练习）已知等比数列的公比，，，若，数列的前项和为，则当取最大值时，的值为（       ）A．5 B．6 C．4或5 D．6或7【答案】C【解析】由题意可得：，，即，，又解得：（q=2舍去）.所以.所以.所以当时，；当时，；当时，.所以要使最大，只需或5.故选：C5．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为(       )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，(*)，∴，解得．，∴，两式相减，得，数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，当为偶数时，．当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，数列的通项公式是，易知是以2为首项，2为公差的等差数列，故，，设的前n项和为，则．故选：A．  类型二  数列求和的几种方法一、解答题1．（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知，且，数列的通项公式为.(1)当时，求的值；(2)求数列的前项和；(3)若数列的前项和为，求.【答案】(1)60；(2)；(3).【解析】(1)∵，当时，，∴；(2)由题可得，∴，∴，所以；(3)由题可知，∴，∴，∴. 2．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）设数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)因为数列满足，，所以；经验证，满足上式，所以；(2)，所以，，所以，可得． 3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知数列满足的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】当时，，当时，①②由①-②得，即．当时也成立，所以数列的通项公式为．(2)证明：由（1）知，所以，因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以． 4．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，．(1)求，；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)，；(2)﹒【解析】(1)设等差数列的公差为，由，得，∴．①由，得，整理得．②由①②得，，∴，；(2)，∴． 5．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知数列的前项和为.对于任意的正整数，都有.(1)证明：是等比数列；(2)设，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为，而，故是首项为2，公比为2的等比数列.(2)由（1）知，，当时，，而时，不满足，故，所以， 当时，，当时，，当时，亦满足.故. 6．（2022·四川·成都外国语学校）已知数列是等比数列，且，，数列满足：对于任意，有．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，，求数列的前2n项和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)：设数列的公比为，∵，，则，∴，，，所以数列的通项公式，，当时，，两式相减得：，即，又∵，即满足上式，所以；(2)解：∵，∴得，又，∴，得，∴当n为奇数时，，当n为偶数时，，∴，. 7．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】(1)解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.(2)解：由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述，    一、单选题1．（2022·河南·高二阶段练习）已知数列满足，，则（       ）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因为数列满足，，所以，，，，……由此归纳得数列是周期数列，数列的周期为3.所以.故选：B 2．（2022·全国·高二课时练习）已知是等比数列的前项和，且，，成等差数列，下列结论正确的是（       ）A．，，成等差数列 B．，，成等比数列C．，，成等差数列 D．，，成等比数列【答案】A【解析】，，成等差数列， 当时，上式不成立，故 ，则， ，整理可得，，即，解得，，，，即故正确；，，，故，故不正确；，，,，故不正确；，，,，故不正确，故选：A 3．（2022·北京市八一中学高二期中）若数列满足，为其前n项和，则下列命题正确的是（       ）A． B．C．有最小值 D．无最大值【答案】C【解析】当为奇数时，，此时当时，取得最大值为，当为偶数时，此时当时，取得最小值为，综上，最大值为，最小值为.故选：C. 4．（2022·全国·高二课时练习）数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝（       ）A．190 B．192 C．180 D．182【答案】B【解析】当n＝1   时，，当 n≥2 时，，经检验不满足上式，所以，设，则 ，所以.故选：B. 5．（2022·广东茂名·高二阶段练习）已知正项等比数列满足，若存在，，使得，则的最小值为（       ）.A． B．16 C． D．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，根据题意，，因为数列是正项等比数列，所以，，故由上式可解得，又 ，所以，即，所以，则，当且仅当，即，时取等号，因为，为正整数，所以当，时，可得的最小值为.故选：C 二、多选题6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）数列满足：，，且，，则下列选项中是数列中的项的有（       ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意可得，，，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以和是中的项，故选：BC 7．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知等比数列满足，公比，且，，则（       ）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得【答案】AC【解析】对A，∵，，∴，又，，∴，故A正确；对B，C，由等比数列的性质，，故，，，∴，∵，，，∴，，∴，故当时，最小，B错误，C正确；对D，当时，，故，故D错误.故选：AC． 8．（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（       ）A．数列是等差数列B．数列不可能是等差数列C．D．若公差，且，则当时，取得最小值【答案】ACD【解析】设数列的公差为，则，所以，，，所以，C正确；若，则，所以，因为，所以当时，取得最小值，D对，因为，所以，所以，所以数列是等差数列，A对，，所以，，，令可得，化简可得，此时，所以，所以数列可能是等差数列，B错，故选：ACD. 9．（2021·全国·高二单元测试）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是(       )A．数列的通项公式为B．C．数列的通项公式为D．的取值范围是【答案】BD【解析】A：由可得，∴等比数列的公比，∴.由是与的等差中项，可得，即，解得，∴，∴A不正确；B：，∴B正确；C：，∴C不正确；D：，∴数列是递增数列，得，∴，∴D正确.故选：BD.三、解答题10．（2021·天津·静海一中高二阶段练习）设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，.（1）求和的通项公式：（2）设数列满足，，其中，求数列的前n项和.【答案】（1）；；（2）【解析】【详解】（1）解得或（舍）所以所以（2），设 11．（2022·广东深圳·高二期末）已知数列的前项和为..（1）求数列的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①，；②是和的等比中项，.若公差不为0的等差数列的前项和为，且______，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：.【解析】（1）当时，，可得；当时，，所以，即，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）设数列的公差为，若选择①，由题意，解得；所以，由（1）得，，所以，所以，，两式相减得，所以；若选择②，有，即，即，因为，所以，所以，解得，所以，由（1）得，，所以，所以，.两式相减，得，所以. 12．（2021·广西南宁·高二期末）设数列的前项和为，______．从①数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）条件性选择见解析，；（2）．【解析】（1）选①：因为，，成等差数列，所以，又因为数列的公比为2，所以，即，解得，所以．选②：因为，当时，，解得．当时，，所以．即．所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．选③：因为，所以当时，，当时，，所以，当时，依然成立．所以．（2）由（1）知，则，所以，                    ①，             ②①－②得．所以．所以数列的前项和． 13．（2019·陕西·绥德中学高二阶段练习）已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1），，（2）．【解析】：（1）当时，，所以，方程的两根，，所以解得（2），则将两式相减得：所以.