【考点清单】专题06+等差数列与等比数列-高二数学下学期期末考点大串讲试卷（人教B版2019选择性必修第三册）

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【考点题型一】数列的概念与分类
数列的分类
【例1】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列可记为
【答案】C
【解析】对于A，由数列的定义易知A错误；
对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；
对于C，数列的第项为，故C正确；
对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选：C.
【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为
C．数列0，0，0，1，…是常数列
D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
【答案】A
【解析】对于A项，设，
则对恒成立，
所以，数列是递增数列.故A正确；
对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误；
对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误；
对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关.
所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A.
【变式1-2】（22-23高二下·海南儋州·期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，，，，…B．，，，
C．，，，，…D．1，，，…，
【答案】C
【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．
【变式1-3】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列的图像是一系列孤立的点
C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数
【答案】BD
【解析】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误；
B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，
项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确.
C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，
则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误；
D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，
则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确.
故选：BD
【考点题型二】数列单调性的判断及应用
数列的单调性：判断数列的单调性的方法
1、作差比较法：
⇔数列是递增数列；
⇔数列是递减数列；
⇔数列是常数列．
2、作商比较法：
ⅰ.当时，
则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；
ⅱ.当时，
则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．
3、结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
【例2】（23-24高二下·广东中山·月考）已知，下列数列是递增数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，故为递减数列，故A错误.
对于B，，故为递减数列，故A错误.
对于C，，故为递增数列，故C正确.
对于D，，故为递减数列，故D错误.故选：C.
【变式2-1】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为数列是单调递增数列，
所以，即，化简得，所以，
令，
则在上递增，所以，所以,
所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是，
所以充分不必要条件是可以是.故选：A.
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
则，
两式相减得，
因为数列是递增数列，
所以当时，，解得.
当时，，
所以，解得.
综上.故选：B.
【变式2-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数，，且是递增数列，
则，解得．故选：C
【考点题型三】求数列的最大（小）项
求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用，求数列中的最大项；
利用，求数列中的最小项.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
【例3】（22-23高二下·江西九江·月考）已知数列中，，它的最小项是（ ）
A．第四项B．第五项C．第六项D．第四项或第五项
【答案】D
【解析】因为，
所以设，其对称轴为，且开口向上，
又因为，所以的最小项为第四项或第五项.故选：D.
【变式3-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】数列中，，则，
令，解得，则当时，，即，
同理当时，，即，而当时，，
所以数列的偶数项中最大项为.故选：D
【变式3-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】，
当，时，，，且随着的变大，变大，
当，时，，，且随着的变大，变大，
故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C
【变式3-3】（22-23高二下·江西·期末）（多选）数列满是，则（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最大项为
C．数列的最小项为D．数列的最小项为
【答案】BD
【解析】因为，
所以，
由，得到，且易知，时，，当时，，
所以
所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD.
【考点题型四】数列的周期性
一般情况下，通过对已知递推关系进行变形，结合周期性的定义确定数列的周期。但对于某些计算复杂的问题，可直接根据递推关系写出数列的项，通过观察具体的项的规律确定周期性。
【例4】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在数列中，，，则数列的前2024项的积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
，，，，
所以数列的周期为，且，
设数列的前项的积为，.故选：C
【变式4-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】D
【解析】数列的递推公式为，由，
则有，，，，
，则是以4为周期的周期数列，
，有，，故m的值可能为2024，故选：D．
【变式4-2】（23-24高二下·河南·开学考试）在数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以是周期为2的数列，则.故选：D.
【变式4-3】（23-24高二下·重庆·月考）在数列中，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知：，
，，，即数列是以为周期的周期数列；
，
.
故选：A.
【考点题型五】等差数列的基本量运算
，，，，知三求二
（1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、
（2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。
【例5】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（ ）
A．8B．6C．4D．
【答案】A
【解析】是等差数列，
，即，．故选：A．
【变式5-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．70B．65C．55D．50
【答案】B
【解析】由等差数列，设，为公差，
由于，则，化简得，
由于数列单调递增，因此，解出，
因此，则.故选：B.
【变式5-2】（23-24高二下·河南·月考）设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
所以，故选：B.
【变式5-3】（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以，
即，解得，
所以.故选：A.
【考点题型六】等差数列的判断与证明
判断或证明一个数列是等差数列的方法
1、定义法：（常数）是等差数列；
2、中项法：是等差数列；
3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。
【例6】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若是等差数列，
则．
必要性：若，则，
两式相减得，
即，所以是等差数列．
所以甲是乙的充要条件.故选：C．
【变式6-1】（23-24高二上·重庆·月考）（多选）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是单调递增数列
C．数列是等差数列D．数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】对A，由题意，，故，故A正确；
对B，因为，，，故B错误；
对C，，故数列是等差数列，故C正确；
对D，，故数列是等差数列，故D正确.
故选：ACD
【变式6-2】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明：数列为等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
若，可得；
若，可得，
由于不符合，
所以；
（2）因为，则，由（1）可知：，
则，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列．
【变式6-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为，，
所以，，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2），且，所以．
当时，，．
时，不满足上式，
所以．
【考点题型七】等差数列的性质及应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【例7】（23-24高二下·江西·月考）已知为等差数列，若，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设的公差为，因为，
所以，．故选：D．
【变式7-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】等差数列中，有，
，得，则.故选：D.
【变式7-2】（23-24高二下·四川·期中）设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k = ．
【答案】18
【解析】由，所以，
，即，即，
由等差数列下标和性质可得.
【变式7-3】（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知为等差数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
可得，解得，
又由，可得，解得，
所以.故选：C.
【考点题型八】等差数列前项和的性质及应用
1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，
，，…组成公差为的等差数列；Sk，S2k-Sk，S3k - S2k…
2、前n项和与n的比值：
数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；
3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；
①当项数为偶数时，，，；
②当项数为奇数时，，，.
4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则
【例8】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．54B．63C．72D．135
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，，为等差数列，
即成等差数列，
所以，解得.故选：B
【变式8-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ．
【答案】135
【解析】设等差数列的公差为，
因为数列为等差数列，所以，即，
则.
【变式8-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ．
【答案】/0.75
【解析】数列，均为等差数列，且其前项和分别为，，
．
【变式8-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ．
【答案】
【解析】因为等差数列共有项，
所有奇数项之和为，
所有偶数项之和为，
所以，，解得.
【考点题型九】等差数列前n项和的最值问题
1、二次函数法：将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方，转化为求二次函数的最值问题，但要注意
n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1