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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系学案设计，共56页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4等内容，欢迎下载使用。
知识点01：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02：子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（ ）
A．B．C．D．
知识点03：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点04：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点05：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型01判断两个集合的包含关系
【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.
A．1B．2C．3D．5
【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设， ，则（ ）
A．B．C．D．无关
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．7个B．8个C．16个D．15个
【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 .
【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（ ）个
A．6B．7C．8D．9
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ．
题型03求集合中子集（真子集）
【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合，同时满足如下的两个条件：
（1）；（2）若，则.
写出一个满足要求的 ，非空集合的个数为
【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合．
【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，则B可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是 ．
题型04空集的概念集判断
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ）
A．①③B．②④⑤C．③④D．①②⑤
【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）下列关于空集的说法中，正确的有（ ）
A．B．⫋C．D．
题型05空集的性质及应用
【典例1】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 .
【典例2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 .
【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，则实数a的取值范围是 .
题型06判断两个集合是否相等
【典例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设
(1)证明：
(2)证明
【变式1】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）.
【变式2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 .
题型07根据两个集合相等求参数
【典例1】（2024高一·全国）已知集合，其中，若，则 ．
【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ．
【变式1】（2024高一·全国）已知，若集合，则 .
【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 .
题型08根据集合的包含关系求参数
【典例1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
子集，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（ ）
A．2B．0C．D．-2
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（ ）
A．1B．0C．0或1D．1或2
3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（ ）
A．B．
C．且D．不能确定
4．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．2B．或2C．1或2D．0或2
6．（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．3
7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集
1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（多选）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（ ）
A．B．0C．-1D．
3．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 .
4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
C新定义题型
1．（21-22高一上·河南·阶段练习）规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高一上·北京·阶段练习）当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 .
3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
4．（21-22高一上·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
课程标准
学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;
②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者
第02讲 1.2集合间的基本关系
知识点01：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02：子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错；
对于BC，“”表示元素与集合间关系，
而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误；
对于D，集合中，所以D错.
故选：B.
知识点03：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断.
【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误；
B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误；
C.，得，即，故C正确；
D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误.
故选：C
知识点04：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解.
【详解】由题可知，集合可以为：共3个，
故选：C.
知识点05：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项.
【详解】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误；
对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确；
对于C，因为是集合中的元素，故C正确.
故选：A.
题型01判断两个集合的包含关系
【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可.
【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；
，故B错误；，故C错误；，故D正确.
故选：D.
【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.
【详解】依题意，，，
，而，{偶数}，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，
所以.
故选：C.
【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断.
【详解】易知，故①正确；
，故②错误；
著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；
表示有一个元素的集合，不是空集，④错误；
空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误；
，故，故⑥正确.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设， ，则（ ）
A．B．C．D．无关
【答案】B
【分析】满足集合M性质的元素，均满足集合N的性质，进而得到，都有，然后，，可得结论.
【详解】若，则，
即M中元素都是N中元素，所以，．
而当时，，而，所以.
故选：B.
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．7个B．8个C．16个D．15个
【答案】D
【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得.
【详解】由和可得，
所以集合A的真子集个数为个.
故选：D
【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 .
【答案】7
【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果.
【详解】集合，，
满足B的集合中必有元素2，3，
所以求满足B的集合的个数即求集合的真子集个数，
所以满足B的集合的个数为个.
故答案为：7.
【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数.
【详解】，故其子集的个数为8，
故选：D.
【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（ ）个
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数.
【详解】由得且不全部是的元素，
令，则，所以集合个数等于集合的个数，
即的真子集个数，为个，
故选：B.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ．
【答案】3
【分析】
借助真子集与集合包含关系的性质计算即可得.
【详解】
由题知，则，
故集合的个数为.
故答案为：.
题型03求集合中子集（真子集）
【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合，同时满足如下的两个条件：
（1）；（2）若，则.
写出一个满足要求的 ，非空集合的个数为
【答案】 （其他结果也可） 7
【分析】依题意可知1和5，2和4需成对出现在某一集合中，通过列举法即可写出符合题意的集合.
【详解】根据题意可知，若满足“，则”，
则1和5，2和4必须同时属于某一集合，
所以非空集合可以是，
共7个.
故答案为：，7
【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合．
【答案】集合为，，，，，，，．
【分析】根据集合中元素个数分类写出集合．
【详解】解：①当中含有2个元素时，为；
②当中含有3个元素时，为，，；
③当中含有4个元素时，为，，；
④当中含有5个元素时，为．
故满足条件的集合为，，，，，，，．
【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【答案】C
【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：七种可能.
故选：C
【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，则B可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据子集概念即可得到结果.
【详解】∵，
∴B可能为，，，
故选：BCD
【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是 ．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A
【详解】因为{1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
题型04空集的概念集判断
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解.
【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，
对于B,方程无实数解，∴集合为空集，
对于C，是无限集，所以不是空集，
对于D, ，不是空集.
故选：B．
【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断.
【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.
故选：BD.
【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ）
A．①③B．②④⑤C．③④D．①②⑤
【答案】C
【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥．
【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C．
故选：C．
【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）下列关于空集的说法中，正确的有（ ）
A．B．⫋C．D．
【答案】CD
【分析】根据空集的定义以及元素与集合、集合与集合之间的基本关系逐一判断即可求得结果.
【详解】不含有任何元素的集合是空集，所以A错误；
任一集合是它自身的子集，即，所以B错误；
集合有一个元素为，即，所以C正确；
空集任何集合的子集，所以，即D正确.
故选：CD
题型05空集的性质及应用
【典例1】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.
【详解】因为集合为空集，所以，即或.
故答案为：或
【典例2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)
(2)
【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．
若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
（2）若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解.
【详解】∵，∴，
解得，因此实数k的取值范围是.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】对二次项系数a是否为0进行讨论，根据二次函数图像与性质，列出不等式，即可得答案.
【详解】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意；
当时，根据二次函数图像与性质可得，解得，
综上.
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属基础题.
题型06判断两个集合是否相等
【典例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合中元素满足的特征即可求解.
【详解】∵集合
∴，
，
∴，
故选：A
【典例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设
(1)证明：
(2)证明
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明；
（2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证.
【详解】（1）令，则，
即B为被3整除余2的整数构成的集合，
而，即C中元素都可以表示为的形式，其中，
所以C中任意元素都属于集合B,
又B中存在不属于C的元素，例如,
所以.
（2）由（1）知，
又，
所以.
【变式1】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）.
【答案】
【分析】化简集合即可判断得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 .
【答案】
【分析】解绝对值不等式得到，配方得到，得到，得到答案.
【详解】，解得，又，故，
因为，又，所以，
故答案为：.
题型07根据两个集合相等求参数
【典例1】（2024高一·全国）已知集合，其中，若，则 ．
【答案】
【分析】根据元素的互异性即可求解.
【详解】，即，又，所以，
解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以．
时，符合要求，
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ．
【答案】
【分析】根据题意可得方程有两个等根，即，从而求出，的值，进而求解即可．
【详解】由集合，
则方程有两个等根，
所以，解得，
所以，解得，
所以，即，
故．
故答案为：．
【变式1】（2024高一·全国）已知，若集合，则 .
【答案】2
【分析】
根据集合相等的性质可得，从而可得结果
【详解】因为，所以，于是可得或，
由得，而无解，所以，
所以=2.
故答案为：2
【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 .
【答案】
【分析】根据集合相等求参再检验即可.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意.
经检验可知符合.
故答案为：-1.
题型08根据集合的包含关系求参数
【典例1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用集合相等的条件求的值；
（2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.
【典例2】（23-24高一上·湖南怀化·期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】或.
【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案．
【详解】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
【变式1】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.
【详解】（1）因为，
当时：，即符合题意；
当时，，，
综上所述：.
（2）因为，
当时，，
，解得，无解，
当时，或，
，
综上所述：.
【变式2】（23-24高一上·重庆万州·阶段练习）已知，，若，求实数的值.
【答案】
【分析】由，分别考虑，，的情况，并代入验证，确定出的值．
【详解】因为，
①当时，，，成立；
②当时，或
当时，，不符合集合元素的无重复性要求，舍去；
当时，，成立；
③当时，或，由②舍去，
当时，，成立.
综合①②③，.
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的值.
【答案】0或或1.
【分析】解一元二次方程求出集合，根据可分为和两种情况来讨论，构造方程求得结果.
【详解】集合
依题意，则可分和两种情况.
当时，，符合题意；
当时，，，或，解得或.
所以实数a的值为0或或1.
【变式4】（23-24高一上·福建·阶段练习）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；
(2)，则是的子集，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）①若，则，即，此时；
②若，则，解得.
综合①②，得实数的取值范围是.
（2）（2）若，则，解得，
所以实数的取值范围是.
题型09 新定义题
【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
与集合M相等的集合序号是 ．
【答案】①②④
【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可.
【详解】对于①.，设，则，故①的集合与M相等；
对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等；
对于③.当 时，，故③的集合与M不相等；
对于④.令，
，
其中，故④的集合与M相等；
故答案为:①②④
【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）对于平面上的两个点，，若满足①，②，③前面两个不等式中至少有一个“”不成立，则称是相对于的一个优先点，记作“”. 已知点集.
（Ⅰ）若，，则可以构成 组优先点；
（Ⅱ）若点集，且集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合中的元素最多可以有 个．
【答案】
【分析】（Ⅰ）根据优先点定义，采用列举的方式可求得结果；
（Ⅱ）由题意可得集合中的任意两个点都不满足和，分别在且，且和三种情况下讨论满足题意的中元素个数，综合结论可得结果.
【详解】（Ⅰ）由得：，
则满足“”的有：和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共组；
（Ⅱ）集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，
集合中的任意两个点都不满足和；
①若且，此时中元素只能成对出现，
若，，，此时，则和，均不构成一组优先点，但和构成一组优先点，不合题意；此时中仅有两个元素；
②若且，则与，情况相同，中仅有两个元素；
③若，若或，则满足或，不合题意，；
此时中有且仅有一个元素，不具备两个点，不合题意；
若集合中的元素最多有个.
故答案为：；.
【变式1】（多选）（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：
①
②
③，若且，则
④，若且，则
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ）
A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个
B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系”
C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D．是实数集的一个“偏序关系
【答案】BCD
【分析】根据“偏序关系”的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，或，或，共3个，所以A错误，
对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确，
对于C，由②可知集合B中必须含有，由③可知与，与，与不能同时出现，
所以再从，，，，，中取一个，共6个，即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确，
对于D，满足①②，
因为，所以满足③，
因为，所以，所以，满足④，
所以是实数集的一个“偏序关系，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：此题考查集合的新定义，解题的关键是正确理解集合B为集合A的一个“偏序关系”的定义，考查理解能力，属于较难题.
【变式2】（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 .
【答案】
【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得.
【详解】由题意知，集合的“交替和”为.
集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集.
这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个，
设为；
则这个非空子集中含元素的集合，也共有个，
这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即.
对中的任意集合，记，
则“交替和”，其中，
由，则集合的“交替和”为
，
则集合与集合的“交替和”之和为，
下面举例说明：
如集合与集合，
的“交替和”为，
的“交替和”为
，
即集合与集合的“交替和”之和为.
综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，
且每组中“交替和”之和都为，共有组.
故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可，
综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为
.
故答案为：.
【点睛】
“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见.
【变式3】（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 .
【答案】5
【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意列举即可.
【详解】，由①②条件知，中元素各不相等且，
所以有以下24种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
因为集合有7个真子集，所以有3个元素，
即有3种情况.又，则满足题意，，，，，共5种情况.
【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
方法1 数轴辅助法
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围；
（2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围；
（3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值.
【详解】（1）①若，满足，则，解得．
②若，满足，则解得．
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．
（2）若，数轴表示如下：
依题意有即
此时m的取值范围是．
（3）假设存在满足题意的实数m．若，
则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．
【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示．
【答案】
【分析】分类讨论集合B是否为空集，结合集合的关系计算即可.
【详解】当，即时，，满足；
若，且满足，
如图所示，则，即,所以．
综上所述，m的取值范围为或，即所求集合为．
【变式1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图象，根据集合之间的包含关系，即可得出答案.
【详解】
由已知结合图象可得，.
故选：C.
【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）已知集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】依题意，分为空集和不为空集两种情况分类讨论，即可解题.
【详解】当时，如图所示.
∴或，解这两个不等式组得；
当时，由，得；
综上可得，实数的取值范围是.
方法2 分类讨论法
【典例1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求A的非空真子集个数.
【答案】(1)
(2)62.
【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；
（2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数；
【详解】（1），
①若，则，解得；
②若，则，可得.
由可得，解得，此时.
综上所述，实数m的取值范围是.
（2），共有个元素，
所以A的非空真子集的个数为．
【典例2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）集合．
(1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M；
(2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为
【分析】（1）根据真子集的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）若，，
因为，
所以；
（2）方程的判别式为，
当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集，
当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集，
当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集，
综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为.
典型易错题1 忽略空集
【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.
【详解】，,
故当时，易求；
当时，由得，或2.
综上得：
故选:C．
【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据包含关系，分别讨论和的情况即可构造不等式求得结果.
【详解】当时，满足，此时，解得：；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
【变式1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别解出集合，利用是的真子集逐个元素判断即可.
【详解】因为集合，
，
当时，，是的真子集，
当时，，因为是的真子集，所以或，解得或，
故选：B
【变式2】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论B集合为空集及非空分别列出不等式计算求解即可.
【详解】．
若，则，解得，符合题意；
若时，则解得．
综上，实数m的取值范围是．
故选:C．
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（ ）
A．2B．0C．D．-2
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系可得求解.
【详解】由于，所以，
故的最大值为，
故选：C
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（ ）
A．1B．0C．0或1D．1或2
【答案】A
【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可.
【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则．
由得．
若，则，满足；
若，则，矛盾，舍去．
故选：A
3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（ ）
A．B．
C．且D．不能确定
【答案】A
【分析】由，可得结论.
【详解】，，
由，可得是奇数，是整数，
所以，因为，所以.
故选：A.
4．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案.
【详解】因为集合，，
若，则，
故选：A.
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．2B．或2C．1或2D．0或2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
6．（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．3
【答案】B
【分析】确定集合的元素，根据A⫋，可判断集合等价于集合的非空子集，由此可得答案.
【详解】由题意得，
又A⫋，所以，所以集合等价于集合的非空子集，
所以集合的个数为，
故选：B.
7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（ ）
A．5B．15C．31D．32
【答案】C
【分析】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数.
【详解】由，，
所以，集合中含有5个元素，
所以集合的真子集个数为个.
故选：C.
8．（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可.
【详解】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”，
当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”，
则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或，
当时，两个集合构成“蚕食”，
当时，两个集合构成“蚕食”，
综上可得的取值集合为.
故选：C
二、多选题
9．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可.
【详解】，
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
故选：CD
10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】为点集，为数集，所以，故A错误；
，，所以，故B错误；
，，所以，故C正确；
，，所以，故D正确；
故选：CD
三、填空题
11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ．
【答案】
【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解.
【详解】,
集合中有个元素，
则的非空子集的个数是.
故答案为：.
12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据或为单元素集，分情况讨论，结合判别式即可求解.
【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论：
①当时，且，解得；
②当为单元素集时，中只有一个元素，
若，则，符合题意，
若，则，解得．
综上，的取值范围是或，
故答案为：或
四、解答题
13．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，．若，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.
【详解】因为，且，
当，即时，符合题意；
当，则，解得，
故③正确；
对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论．
故选：C．
2．（23-24高一上·北京·阶段练习）当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.
【详解】由可知，当时，，此时；
当时，，此时，
当时，；
又，若与构成“全食”，则，
当时，满足题意；当时，不合题意；
当时，要使，则，即，解得；
综上，与构成“全食”时，的取值范围是或；
若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意，
当时，由，所以，即，解得，
此时的取值范围是.
故答案为：或；
3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
【详解】（1）由题可知，
(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
（2）（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
（3）证明：，
，
，
，即
，
又，
所以，
所以
课程标准
学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;
②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者
知识点01：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02：子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（ ）
A．B．C．D．
知识点03：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点04：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点05：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型01判断两个集合的包含关系
【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.
A．1B．2C．3D．5
【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设， ，则（ ）
A．B．C．D．无关
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．7个B．8个C．16个D．15个
【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 .
【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（ ）个
A．6B．7C．8D．9
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ．
题型03求集合中子集（真子集）
【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合，同时满足如下的两个条件：
（1）；（2）若，则.
写出一个满足要求的 ，非空集合的个数为
【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合．
【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，则B可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是 ．
题型04空集的概念集判断
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ）
A．①③B．②④⑤C．③④D．①②⑤
【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）下列关于空集的说法中，正确的有（ ）
A．B．⫋C．D．
题型05空集的性质及应用
【典例1】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 .
【典例2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 .
【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，则实数a的取值范围是 .
题型06判断两个集合是否相等
【典例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设
(1)证明：
(2)证明
【变式1】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）.
【变式2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 .
题型07根据两个集合相等求参数
【典例1】（2024高一·全国）已知集合，其中，若，则 ．
【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ．
【变式1】（2024高一·全国）已知，若集合，则 .
【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 .
题型08根据集合的包含关系求参数
【典例1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
子集，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（ ）
A．2B．0C．D．-2
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（ ）
A．1B．0C．0或1D．1或2
3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（ ）
A．B．
C．且D．不能确定
4．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．2B．或2C．1或2D．0或2
6．（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．3
7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集
1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（多选）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（ ）
A．B．0C．-1D．
3．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 .
4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
C新定义题型
1．（21-22高一上·河南·阶段练习）规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高一上·北京·阶段练习）当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 .
3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
4．（21-22高一上·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
课程标准
学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;
②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者
第02讲 1.2集合间的基本关系
知识点01：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02：子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错；
对于BC，“”表示元素与集合间关系，
而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误；
对于D，集合中，所以D错.
故选：B.
知识点03：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断.
【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误；
B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误；
C.，得，即，故C正确；
D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误.
故选：C
知识点04：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解.
【详解】由题可知，集合可以为：共3个，
故选：C.
知识点05：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项.
【详解】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误；
对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确；
对于C，因为是集合中的元素，故C正确.
故选：A.
题型01判断两个集合的包含关系
【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可.
【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；
，故B错误；，故C错误；，故D正确.
故选：D.
【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.
【详解】依题意，，，
，而，{偶数}，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，
所以.
故选：C.
【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（ ）
①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断.
【详解】易知，故①正确；
，故②错误；
著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；
表示有一个元素的集合，不是空集，④错误；
空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误；
，故，故⑥正确.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设， ，则（ ）
A．B．C．D．无关
【答案】B
【分析】满足集合M性质的元素，均满足集合N的性质，进而得到，都有，然后，，可得结论.
【详解】若，则，
即M中元素都是N中元素，所以，．
而当时，，而，所以.
故选：B.
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．7个B．8个C．16个D．15个
【答案】D
【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得.
【详解】由和可得，
所以集合A的真子集个数为个.
故选：D
【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 .
【答案】7
【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果.
【详解】集合，，
满足B的集合中必有元素2，3，
所以求满足B的集合的个数即求集合的真子集个数，
所以满足B的集合的个数为个.
故答案为：7.
【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数.
【详解】，故其子集的个数为8，
故选：D.
【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（ ）个
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数.
【详解】由得且不全部是的元素，
令，则，所以集合个数等于集合的个数，
即的真子集个数，为个，
故选：B.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ．
【答案】3
【分析】
借助真子集与集合包含关系的性质计算即可得.
【详解】
由题知，则，
故集合的个数为.
故答案为：.
题型03求集合中子集（真子集）
【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合，同时满足如下的两个条件：
（1）；（2）若，则.
写出一个满足要求的 ，非空集合的个数为
【答案】 （其他结果也可） 7
【分析】依题意可知1和5，2和4需成对出现在某一集合中，通过列举法即可写出符合题意的集合.
【详解】根据题意可知，若满足“，则”，
则1和5，2和4必须同时属于某一集合，
所以非空集合可以是，
共7个.
故答案为：，7
【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合．
【答案】集合为，，，，，，，．
【分析】根据集合中元素个数分类写出集合．
【详解】解：①当中含有2个元素时，为；
②当中含有3个元素时，为，，；
③当中含有4个元素时，为，，；
④当中含有5个元素时，为．
故满足条件的集合为，，，，，，，．
【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【答案】C
【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：七种可能.
故选：C
【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，则B可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据子集概念即可得到结果.
【详解】∵，
∴B可能为，，，
故选：BCD
【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是 ．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A
【详解】因为{1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
题型04空集的概念集判断
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解.
【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，
对于B,方程无实数解，∴集合为空集，
对于C，是无限集，所以不是空集，
对于D, ，不是空集.
故选：B．
【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断.
【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.
故选：BD.
【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ）
A．①③B．②④⑤C．③④D．①②⑤
【答案】C
【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥．
【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C．
故选：C．
【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）下列关于空集的说法中，正确的有（ ）
A．B．⫋C．D．
【答案】CD
【分析】根据空集的定义以及元素与集合、集合与集合之间的基本关系逐一判断即可求得结果.
【详解】不含有任何元素的集合是空集，所以A错误；
任一集合是它自身的子集，即，所以B错误；
集合有一个元素为，即，所以C正确；
空集任何集合的子集，所以，即D正确.
故选：CD
题型05空集的性质及应用
【典例1】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.
【详解】因为集合为空集，所以，即或.
故答案为：或
【典例2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)
(2)
【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围．
若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
（2）若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解.
【详解】∵，∴，
解得，因此实数k的取值范围是.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】对二次项系数a是否为0进行讨论，根据二次函数图像与性质，列出不等式，即可得答案.
【详解】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意；
当时，根据二次函数图像与性质可得，解得，
综上.
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属基础题.
题型06判断两个集合是否相等
【典例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合中元素满足的特征即可求解.
【详解】∵集合
∴，
，
∴，
故选：A
【典例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设
(1)证明：
(2)证明
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明；
（2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证.
【详解】（1）令，则，
即B为被3整除余2的整数构成的集合，
而，即C中元素都可以表示为的形式，其中，
所以C中任意元素都属于集合B,
又B中存在不属于C的元素，例如,
所以.
（2）由（1）知，
又，
所以.
【变式1】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）.
【答案】
【分析】化简集合即可判断得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 .
【答案】
【分析】解绝对值不等式得到，配方得到，得到，得到答案.
【详解】，解得，又，故，
因为，又，所以，
故答案为：.
题型07根据两个集合相等求参数
【典例1】（2024高一·全国）已知集合，其中，若，则 ．
【答案】
【分析】根据元素的互异性即可求解.
【详解】，即，又，所以，
解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以．
时，符合要求，
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ．
【答案】
【分析】根据题意可得方程有两个等根，即，从而求出，的值，进而求解即可．
【详解】由集合，
则方程有两个等根，
所以，解得，
所以，解得，
所以，即，
故．
故答案为：．
【变式1】（2024高一·全国）已知，若集合，则 .
【答案】2
【分析】
根据集合相等的性质可得，从而可得结果
【详解】因为，所以，于是可得或，
由得，而无解，所以，
所以=2.
故答案为：2
【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 .
【答案】
【分析】根据集合相等求参再检验即可.
【详解】因为，所以，解得或，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意.
经检验可知符合.
故答案为：-1.
题型08根据集合的包含关系求参数
【典例1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用集合相等的条件求的值；
（2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.
【典例2】（23-24高一上·湖南怀化·期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】或.
【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案．
【详解】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
【变式1】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.
【详解】（1）因为，
当时：，即符合题意；
当时，，，
综上所述：.
（2）因为，
当时，，
，解得，无解，
当时，或，
，
综上所述：.
【变式2】（23-24高一上·重庆万州·阶段练习）已知，，若，求实数的值.
【答案】
【分析】由，分别考虑，，的情况，并代入验证，确定出的值．
【详解】因为，
①当时，，，成立；
②当时，或
当时，，不符合集合元素的无重复性要求，舍去；
当时，，成立；
③当时，或，由②舍去，
当时，，成立.
综合①②③，.
【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的值.
【答案】0或或1.
【分析】解一元二次方程求出集合，根据可分为和两种情况来讨论，构造方程求得结果.
【详解】集合
依题意，则可分和两种情况.
当时，，符合题意；
当时，，，或，解得或.
所以实数a的值为0或或1.
【变式4】（23-24高一上·福建·阶段练习）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；
(2)，则是的子集，列出不等式组求解即可.
【详解】（1）①若，则，即，此时；
②若，则，解得.
综合①②，得实数的取值范围是.
（2）（2）若，则，解得，
所以实数的取值范围是.
题型09 新定义题
【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
与集合M相等的集合序号是 ．
【答案】①②④
【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可.
【详解】对于①.，设，则，故①的集合与M相等；
对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等；
对于③.当 时，，故③的集合与M不相等；
对于④.令，
，
其中，故④的集合与M相等；
故答案为:①②④
【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）对于平面上的两个点，，若满足①，②，③前面两个不等式中至少有一个“”不成立，则称是相对于的一个优先点，记作“”. 已知点集.
（Ⅰ）若，，则可以构成 组优先点；
（Ⅱ）若点集，且集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合中的元素最多可以有 个．
【答案】
【分析】（Ⅰ）根据优先点定义，采用列举的方式可求得结果；
（Ⅱ）由题意可得集合中的任意两个点都不满足和，分别在且，且和三种情况下讨论满足题意的中元素个数，综合结论可得结果.
【详解】（Ⅰ）由得：，
则满足“”的有：和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共组；
（Ⅱ）集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，
集合中的任意两个点都不满足和；
①若且，此时中元素只能成对出现，
若，，，此时，则和，均不构成一组优先点，但和构成一组优先点，不合题意；此时中仅有两个元素；
②若且，则与，情况相同，中仅有两个元素；
③若，若或，则满足或，不合题意，；
此时中有且仅有一个元素，不具备两个点，不合题意；
若集合中的元素最多有个.
故答案为：；.
【变式1】（多选）（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：
①
②
③，若且，则
④，若且，则
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ）
A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个
B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系”
C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D．是实数集的一个“偏序关系
【答案】BCD
【分析】根据“偏序关系”的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，或，或，共3个，所以A错误，
对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确，
对于C，由②可知集合B中必须含有，由③可知与，与，与不能同时出现，
所以再从，，，，，中取一个，共6个，即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确，
对于D，满足①②，
因为，所以满足③，
因为，所以，所以，满足④，
所以是实数集的一个“偏序关系，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：此题考查集合的新定义，解题的关键是正确理解集合B为集合A的一个“偏序关系”的定义，考查理解能力，属于较难题.
【变式2】（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 .
【答案】
【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得.
【详解】由题意知，集合的“交替和”为.
集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集.
这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个，
设为；
则这个非空子集中含元素的集合，也共有个，
这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即.
对中的任意集合，记，
则“交替和”，其中，
由，则集合的“交替和”为
，
则集合与集合的“交替和”之和为，
下面举例说明：
如集合与集合，
的“交替和”为，
的“交替和”为
，
即集合与集合的“交替和”之和为.
综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，
且每组中“交替和”之和都为，共有组.
故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可，
综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为
.
故答案为：.
【点睛】
“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见.
【变式3】（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 .
【答案】5
【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意列举即可.
【详解】，由①②条件知，中元素各不相等且，
所以有以下24种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
因为集合有7个真子集，所以有3个元素，
即有3种情况.又，则满足题意，，，，，共5种情况.
【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
方法1 数轴辅助法
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围；
（2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围；
（3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值.
【详解】（1）①若，满足，则，解得．
②若，满足，则解得．
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．
（2）若，数轴表示如下：
依题意有即
此时m的取值范围是．
（3）假设存在满足题意的实数m．若，
则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．
【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示．
【答案】
【分析】分类讨论集合B是否为空集，结合集合的关系计算即可.
【详解】当，即时，，满足；
若，且满足，
如图所示，则，即,所以．
综上所述，m的取值范围为或，即所求集合为．
【变式1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图象，根据集合之间的包含关系，即可得出答案.
【详解】
由已知结合图象可得，.
故选：C.
【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）已知集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】依题意，分为空集和不为空集两种情况分类讨论，即可解题.
【详解】当时，如图所示.
∴或，解这两个不等式组得；
当时，由，得；
综上可得，实数的取值范围是.
方法2 分类讨论法
【典例1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，.
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求A的非空真子集个数.
【答案】(1)
(2)62.
【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；
（2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数；
【详解】（1），
①若，则，解得；
②若，则，可得.
由可得，解得，此时.
综上所述，实数m的取值范围是.
（2），共有个元素，
所以A的非空真子集的个数为．
【典例2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）集合．
(1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M；
(2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为
【分析】（1）根据真子集的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）若，，
因为，
所以；
（2）方程的判别式为，
当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集，
当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集，
当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集，
综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为.
典型易错题1 忽略空集
【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.
【详解】，,
故当时，易求；
当时，由得，或2.
综上得：
故选:C．
【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据包含关系，分别讨论和的情况即可构造不等式求得结果.
【详解】当时，满足，此时，解得：；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
【变式1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别解出集合，利用是的真子集逐个元素判断即可.
【详解】因为集合，
，
当时，，是的真子集，
当时，，因为是的真子集，所以或，解得或，
故选：B
【变式2】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论B集合为空集及非空分别列出不等式计算求解即可.
【详解】．
若，则，解得，符合题意；
若时，则解得．
综上，实数m的取值范围是．
故选:C．
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（ ）
A．2B．0C．D．-2
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系可得求解.
【详解】由于，所以，
故的最大值为，
故选：C
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（ ）
A．1B．0C．0或1D．1或2
【答案】A
【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可.
【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则．
由得．
若，则，满足；
若，则，矛盾，舍去．
故选：A
3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（ ）
A．B．
C．且D．不能确定
【答案】A
【分析】由，可得结论.
【详解】，，
由，可得是奇数，是整数，
所以，因为，所以.
故选：A.
4．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案.
【详解】因为集合，，
若，则，
故选：A.
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．2B．或2C．1或2D．0或2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
6．（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足⫋的集合的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．3
【答案】B
【分析】确定集合的元素，根据A⫋，可判断集合等价于集合的非空子集，由此可得答案.
【详解】由题意得，
又A⫋，所以，所以集合等价于集合的非空子集，
所以集合的个数为，
故选：B.
7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（ ）
A．5B．15C．31D．32
【答案】C
【分析】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数.
【详解】由，，
所以，集合中含有5个元素，
所以集合的真子集个数为个.
故选：C.
8．（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可.
【详解】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”，
当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”，
则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或，
当时，两个集合构成“蚕食”，
当时，两个集合构成“蚕食”，
综上可得的取值集合为.
故选：C
二、多选题
9．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可.
【详解】，
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
故选：CD
10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】为点集，为数集，所以，故A错误；
，，所以，故B错误；
，，所以，故C正确；
，，所以，故D正确；
故选：CD
三、填空题
11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ．
【答案】
【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解.
【详解】,
集合中有个元素，
则的非空子集的个数是.
故答案为：.
12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据或为单元素集，分情况讨论，结合判别式即可求解.
【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论：
①当时，且，解得；
②当为单元素集时，中只有一个元素，
若，则，符合题意，
若，则，解得．
综上，的取值范围是或，
故答案为：或
四、解答题
13．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，．若，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.
【详解】因为，且，
当，即时，符合题意；
当，则，解得，
故③正确；
对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论．
故选：C．
2．（23-24高一上·北京·阶段练习）当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.
【详解】由可知，当时，，此时；
当时，，此时，
当时，；
又，若与构成“全食”，则，
当时，满足题意；当时，不合题意；
当时，要使，则，即，解得；
综上，与构成“全食”时，的取值范围是或；
若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意，
当时，由，所以，即，解得，
此时的取值范围是.
故答案为：或；
3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
【详解】（1）由题可知，
(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
（2）（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
（3）证明：，
，
，
，即
，
又，
所以，
所以
课程标准
学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;
②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者
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