北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题2.2 解一元二次方程-配方法（知识解读）

这是一份北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题2.2 解一元二次方程-配方法（知识解读），共17页。
专题2.2 解一元二次方程-配方法（知识解读）【直击考点】 【学习目标】理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；理解并掌握用配方法解一元二次方程；掌握运用配方法解实际应用问题。【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程方法是根据平方根的意义开平方考点2 解一元二次方程-配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结：【典例分析】【考点1 解一元二次方程-直接平方】【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k的值是（　　）A．2 B．4 C．﹣2 D．±2【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（　　）A．x1＝x2＝22 B．x1＝x2＝﹣22 C．x1＝0，x2＝22 D．x1＝﹣22，x2＝22【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣1，则m的值为（　　）A．2 B．﹣1 C．0 D．1【变式1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　）A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：（1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81．【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣＝0．【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．【考点2 解一元二次方程-配方法】 【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9【变式3-1】（2021秋•渝中区校级期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（　　）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【例4】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．【变式4-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【变式4-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【变式4-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0【考点3 配方法的应用】【典例5】（2022春•滨海县期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝　　 ，b＝　 　；（2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长．【变式5-1】（2022春•蜀山区校级期中）阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．例如：求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+6＝（x　　）2+　　；（2）代数式﹣x2﹣8x有最　 　（填“大”或“小”）值为 　 　；（3）如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，珊栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【变式5-2】（2022春•锦江区校级期中）若a，b，c满足a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明理由．【变式5-3】（2021秋•平舆县期末）阅读下列材料．利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系．∵x2﹣2x+3＝（x﹣　　）2+　　．∴x2﹣2x+3 　 　0（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图1所示的长方形的长、宽分别是3a+2、2a+5，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图2所示的长方形的长、宽分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）；（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．专题2.2 解一元二次方程（知识解读）【直击考点】 【学习目标】理解并掌握用直接开方法解一元二次方程；理解并掌握用配方法解一元二次方程；理解并掌握用公式法解一元二次方程；【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程方法是根据平方根的意义开平方考点2 解一元二次方程-配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结：考点3 解一元二次方程-公式法：用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式【典例分析】【考点1 解一元二次方程-直接平方】【例1】（2021秋•番禺区期末）如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k的值是（　　）A．2 B．4 C．﹣2 D．±2【答案】B【解答】解：把x＝2代入x2﹣k＝0得4﹣k＝0，解得k＝4．故选：B．【变式1-1】（2021秋•新乐市期末）一元二次方程（x﹣22）2＝0的根为（　　）A．x1＝x2＝22 B．x1＝x2＝﹣22 C．x1＝0，x2＝22 D．x1＝﹣22，x2＝22【答案】A【解答】解：∵（x﹣22）2＝0，∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，解得：x1＝x2＝22，故选：A．【变式1-2】（2021秋•金牛区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是﹣1，则m的值为（　　）A．2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】D【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣m＝0得1﹣m＝0，解得m＝1．故选：D．【变式1-3】（2021秋•井研县期末）若方程（x﹣1）2＝m有解，则m的取值范围是（　　）A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0【答案】B【解答】解：根据题意得m≥0时，方程有实数解．故选：B．【例2】（2022春•东湖区校级月考）解方程：（1）（2x﹣1）2＝﹣8； （2）64（x+1）2＝81．【答案】（1） 无解（2）x1＝，x2＝﹣【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝﹣8＜0，∴方程无实数根；（2）∵64（x+1）2＝81，∴（x+1）2＝，∴x+1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．【变式1】（2021秋•宜州区期末）解方程：2（x﹣1）2﹣＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣【解答】解：2（x﹣1）2﹣＝0，移项，得2（x﹣1）2＝，（x﹣1）2＝，开方，得x﹣1＝，解得：x1＝，x2＝﹣．【变式2】（2021秋•岚皋县期末）解方程：（x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝6，x2＝﹣4．【解答】解：∵（x﹣1）2﹣25＝0，∴（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，则x1＝6，x2＝﹣4．【考点2 解一元二次方程-配方法】 【例3】（2022•瑞安市一模）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝﹣9【答案】C【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．故选：C．【变式3-1】（2021秋•渝中区校级期末）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后可化为（　　）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣6）2＝35【答案】B【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8．故选：B．【变式3-2】（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴k＝4，故选：D．【变式3-3】（2021秋•平顶山期末）把一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（　　）A．﹣3，3 B．﹣3，15 C．3，3 D．3，15【答案】A【解答】解：方程x2﹣6x+6＝0，移项得：x2﹣6x＝﹣6，配方得：x2﹣6x+9＝3，即（x﹣3）2＝3，∵一元二次方程x2﹣6x+6＝0化成（x+a）2＝b的形式，∴a＝﹣3，b＝3．故选：A．【例4】（2021秋•西吉县期末）用配方法解方程：（1）x2+8x﹣20＝0． （2） （3）2x2﹣4x﹣16＝0．【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣10． （2）． （3）x1＝4，x2＝﹣2【解答】解：（1）移项得：x2+8x＝20，配方得：x2+8x+16＝20+16，即（x+4）2＝36，开方得：x+4＝±6，解得：x1＝2，x2＝﹣10．（2）移项得：x2+x＝，配方得：，即，开方得：，解得：．（3）化简得：x2﹣2x﹣8＝0，x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2．【变式4-1】（2021秋•二道区期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【答案】x1＝2+，x2＝2﹣．【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，开方得x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．【变式4-2】（2021秋•岳池县期末）用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【答案】x1＝+4，x2＝﹣+4【解答】解：x2﹣8x+13＝0，移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．【变式4-3】（2021春•东平县期中）用配方法解方程：3x2+4x﹣7＝0【答案】x1＝1，x2＝﹣．【解答】解：3x2+4x﹣7＝0，3x2+4x＝7，x2+x＝，x2+x+（）2＝+（）2，（x+）2＝，x+＝±，x1＝1，x2＝﹣．【考点3 配方法的应用】【典例5】（2022春•滨海县期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝　　 ，b＝　 　；（2）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长．【答案】（1）1，0； （2） （3）11．【解答】解：（1）∵a2﹣2a+1+b2＝0，∴（a﹣1）2+b2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，∴a＝1，b＝0，故答案为：1，0；（2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4＝0，即：（x﹣y）2+（y+2）2＝0，则：x﹣y＝0，y+2＝0，解得：x＝y＝﹣2，∴xy＝（﹣2）﹣2＝；（3）∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0，则a﹣1＝0，b﹣5＝0，解得：a＝1，b＝5，∵5﹣1＜c＜5+1，即4＜c＜6，且c是正整数，∴c＝5，即三角形三边分别为1，5，5，∴△ABC的周长为1+5+5＝11．【变式5-1】（2022春•蜀山区校级期中）阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．例如：求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+6＝（x　　）2+　　；（2）代数式﹣x2﹣8x有最　 　（填“大”或“小”）值为 　 　；（3）如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，珊栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）﹣2，2； （2）大，16； （3）50m2【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，故答案为：﹣2，2；（2）∵﹣x2﹣8x＝﹣（x2+8x）＝﹣（x2+8x+16﹣16）＝﹣（x+4）2+16，又∵（x+4）2≥0，∴﹣（x+4）2≤0，∴﹣（x+4）2+16≤16，∴﹣x2﹣2x的最大值为16，故答案为：大，16；（3）设矩形花圃的宽为xm，则长为（20﹣2x）m，∴矩形的面积S＝（20﹣2x）x＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，∵﹣2＜0，∴当x＝5时，S有最大值50（m2），此时，20﹣2x＝10（m），∴当花圃的宽为5m，长为10m时花圃面积最大，最大面积为50m2．【变式5-2】（2022春•锦江区校级期中）若a，b，c满足a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】△ABC是等边三角形【解答】解：∵a2+b2+8＝4a+4b﹣|c﹣2|，∴a2﹣4a+4+b2﹣4b+4+a2+b2+8+|c﹣2|＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+|c﹣2|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣2＝0．∴a＝b＝c＝2，∴△ABC是等边三角形．【变式5-3】（2021秋•平舆县期末）阅读下列材料．利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系．∵x2﹣2x+3＝（x﹣　　）2+　　．∴x2﹣2x+3 　 　0（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图1所示的长方形的长、宽分别是3a+2、2a+5，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图2所示的长方形的长、宽分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）；（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．【答案】（1）1，2，＞； （2）S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a； （3）S1＞S2．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2≥0，∴x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞2，∴x2﹣2x+3＞0；故答案为：1，2，＞；（2）根据题意得：S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a；（3）S1＞S2，理由为：S1﹣S2＝（6a2+19a+10）﹣（5a2+25a）＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝（a2﹣6a+9）+1＝（a﹣3）2+1，∵（a﹣3）2≥0，∴（a﹣3）2+1≥1＞0，即S1﹣S2＞0，则S1＞S2．