06 第52讲　双曲线 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的 ,两焦点间的距离叫作双曲线的 .
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当 时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当 时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当 时,点P不存在.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
(续表)
常用结论
双曲线的几个常用结论:
(1)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).
(2)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a,双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径,异支的焦点弦中最短的为实轴,其长为2a.
(4)离心率e=ca=a2+b2a=1+b2a2.
(5)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=b2tanθ2,其中θ=∠F1PF2.
(6)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.
(7)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
题组一 常识题
1.[教材改编] 双曲线2x2-y2=32的实轴长是 ,虚轴长为 ,渐近线方程为 ,离心率为 .
2.[教材改编] 经过点A(3,-1),且对称轴为坐标轴的等轴双曲线的方程为 .
3.[教材改编] 已知双曲线经过点(-3,6),若它的渐近线方程是y=±3x,则双曲线的方程为 .
4.[教材改编] 已知方程x2t+y2t-2=1表示双曲线,则实数t的取值范围是 .
题组二 常错题
◆索引:忽视双曲线上一点到焦点距离的范围;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线定义中的条件“2a0)的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点,且P在以F1F2为直径的圆上,若|PF1|·|PF2|=12,则tan∠POF2=( )
A.34B.43C.35D.45
总结反思
与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.注意判断点在双曲线的哪一支上,便于去掉绝对值.
变式题 (1)已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),则下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )
A.|PF1|-|PF2|=±7
B.|PF1|-|PF2|=±6
C.|PF1|-|PF2|=±4
D.|PF1|2-|PF2|2=±6
(2)如果F1,F2分别是双曲线x216-y29=1的左、右焦点,AB是双曲线左支上过点F1的弦,且|AB|=6,则△ABF2的周长是 .
(3)[2024·广州执信中学月考] 已知双曲线Γ:x24-y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线Γ的左、右两支于A,B两点,且∠F2AB=∠F2BA,则|F2B|=( )
A.5+4B.25+4
C.25D.5
双曲线的标准方程
例2 (1)[2023·北京卷] 已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为 .
(2)与双曲线x25-y220=1有共同的渐近线,且经过点-5,215的双曲线的方程为 .
总结反思
求双曲线方程的常用方法:(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,当焦点位置不好确定时,可将双曲线方程设为Ax2+By2=1(AB0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);②与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为x2a2-k-y2b2+k=1(-b20)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为24,则双曲线的方程为( )
A.x28-y24=1B.x24-y28=1
C.x24-y22=1D.x22-y24=1
双曲线的几何性质有关问题
微点1 渐近线
例3 (1)下列双曲线中,焦点在y轴上,且渐近线互相垂直的是( )
A.y2-x2=4B.x23-y2=1
C.y23-x2=1D.x2-y2=1
(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为 .
总结反思
求双曲线的渐近线方程时,可以先判断焦点的位置,也可以不判断焦点的位置,把双曲线方程右边的“1”改为“0”就可以得到渐近线方程.
微点2 离心率
例4 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=-23F2B,则C的离心率为 .
(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),双曲线右支上存在点P使得asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则离心率的取值范围为( )
A.[2+1,+∞)B.(1,2+1]
C.(1,2+1)D.(2+1,+∞)
总结反思
求双曲线离心率的方法:
①求出a,b,c的值,根据e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2直接求e;
②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
建立关于a,b,c的齐次方程(或不等式)时,要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等.
1.【微点1、微点2】若双曲线C:x29-y2b2=1(b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为33,则C的离心率为( )
A.2B.3C.43D.233
2.【微点2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)经过点(-1,-1),且C的实轴长大于2,则C的离心率的取值范围为( )
A.(1,2)B.(1,3)
C.(2,+∞)D.(3,+∞)
3.【微点2】[2024·九省联考] 设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,F2A·F2B=4a2,则C的离心率为( )
A.2B.2C.5D.7
4.【微点2】[2023·长沙一模] 已知椭圆C1与双曲线C2有共同的左、右焦点F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的交点,且∠F1PF2=π3,则1e1+1e2的最大值为 .
5.【微点1、微点2】[2022·浙江卷] 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x10)的一个焦点是F2(2,0),离心率e=2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程.


总结反思
解决直线与双曲线的位置关系问题时,有时利用数形结合思想,有时利用方程思想.根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.
变式题1 (1)[2023·石家庄期末] 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,离心率为2,点P在C上,若直线A1P,A2P的斜率之和为6155,△PF1F2的面积为15,则a=( )
A.1B.2C.3D.2
(2)[2024·长郡中学一模] 已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为62,点P是C的右支上异于顶点的一点,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,|MO|=2.若双曲线C上一点T满足F1T·F2T=5,则点T到双曲线C的两条渐近线的距离之和为( )
A.22B.23C.25D.26
变式题2 [2023·衡水中学模拟] 已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-2,0),点M(3,2)是双曲线E上的一点.标准方程
x2a2-y2b2=1
(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1
(a>0,b>0)
图形
标准方程
x2a2-y2b2=1
(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1
(a>0,b>0)
性质
范围
,y∈R
,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴.对称中心:原点
顶点
A1 ,
A2
A1 ,
A2
渐近线
y=
y=
离心率
e=ca,e∈
a,b,c
的关系
c2= (c>a>0,c>b>0)
实、虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长
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(2)已知过坐标原点且斜率为k(k>0)的直线l交E于A,B两点,直线FA交E于另一点C,直线FB交E于另一点D,若直线CD经过点N(0,-1),求直线l的斜率k.