07 第45讲　空间角 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份07 第45讲　空间角 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共8页。试卷主要包含了异面直线所成的角，线面角，二面角等内容，欢迎下载使用。

1.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的角叫作异面直线a与b所成的 .
(2)范围: .
(3)求法:
①几何法:平移补形法.
②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cs θ=|cs|=u·v|u||v|=|u·v||u||v|.
2.线面角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是π2;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0.
(2)直线与平面所成的角的取值范围: .
(3)求法:
①几何法:求直线与平面所成角的关键是作出直线在平面上的射影,常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质确定直线上一点在平面上的射影.
②向量法:如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cs|=u·n|u||n|=|u·n||u||n|.
3.二面角
(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作
的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图).
(2)范围:[0,π].
(3)求法:
①几何法:找到二面角的棱的一个垂面,即可确定平面角,作二面角的平面角的常用方法是在二面角的棱上任取一点O,以点O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB即为二面角的平面角.
②向量法:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cs θ=|cs|=n1·n2|n1||n2|=|n1·n2||n1||n2|(如图).
特别注意:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角.
题组一 常识题
1.[教材改编] 设直线a的一个方向向量为a=(-1,2,1),平面α的一个法向量为b=(0,1,2),则直线a与平面α所成角的正弦值为 .
2.[教材改编] 已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平面的夹角为 .
3.[教材改编] 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值为 .
题组二 常错题
◆索引:二面角取值范围出错;异面直线夹角取值范围出错;线面角取值范围出错.
4.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cs=-12,则l与α所成的角为 .
5.如图,圆锥的高SO=3,底面直径AB=2,C是圆O上一点,且AC=1,则SA与BC所成角的余弦值为 .
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .
异面直线所成的角
例1 (1)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AB=BB1=4,E,F分别是A1D1,CD的中点,则异面直线A1F与B1E所成角的余弦值为( )
A.10234
B.-10234
C.55
D.66
(2)如图,已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为22,AB为圆锥底面圆的直径,C为底面圆周上一点,且∠BOC=π2,M为AC的中点,求异面直线OM与PB所成的角的大小.


总结反思
(1)用几何法求异面直线所成的角时,可将异面直线通过平移转化为共面直线.
(2)用向量法求异面直线所成角的步骤:①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;②确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
变式题1 [2023·黑龙江哈师大附中模拟] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,△PAD是正三角形,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,则PC与BD所成角的余弦值为( )
A.14B.24
C.13D.33
变式题2 (多选题)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则( )
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
直线与平面所成的角
例2 [2023·南通三模] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=4,BC=2,A1C=23,AC⊥BC,∠A1AB=60°.
(1)证明:BC⊥平面ACC1A1;
(2)设点D为CC1的中点,求直线A1D与平面ABB1A1所成角的正弦值.


总结反思
(1)用几何法求线面角的三个步骤:一作(找)角,二证明,三计算.其中作(找)角是关键,先找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线、找垂足,然后把线面角转化到三角形中求解.也可以利用等体积法直接求出直线上一点到平面的距离,使问题得到解决.
(2)对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量法来解决;如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决.
变式题1 在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
A.255B.25
C.23D.33
变式题2 [2022·全国甲卷] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.


平面与平面的夹角
例3 如图,在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,AD=2,QD=QA=5,QC=3.
(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD;
(2)求平面BQD与平面QDA夹角的余弦值.


总结反思
(1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角.
(2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
变式题 [2023·新课标Ⅰ卷] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
关注公众号《全元高考》
微信搜索微信公众号「全元高考」
后台回复「网盘群」获取最新最全初高中网盘资源（4000 G+）
扫码加微信查看朋友圈最新资源
备用联系方式QQ：2352064664
群文件全套无水印资料+更多精品网课在网盘群，高考路上必备!
最新最全高一高二高三试卷&九科全新一手网课&学科资料专辑&名校独家资料
更新速度极快!
进群了就不用到处找资料了，一网打尽!
(进群送往届全部资料)