06 第39讲　双数列问题 【正文】听课高考数学练习

这是一份06 第39讲　双数列问题 【正文】听课高考数学练习，共5页。试卷主要包含了奇偶项型，插项型，双交替递推型等内容，欢迎下载使用。

双数列问题一般是指两个数列的项与项之间有着紧密关系的问题,其呈现类型主要有奇偶项型、插项(公共项、去项)型、双交替递推型等.
1.奇偶项型:一般是指数列的通项公式根据下标为奇数、偶数而有所不同,即奇数项与偶数项通项公式不同.主要体现为以下几种形式:(1)数列中连续两项积或和问题(an+an+1=f(n)或anan+1=f(n));(2)含有(-1)n的类型;(3)含有{a2n },{a2n-1 }的类型;(4)已知明确条件的奇偶项问题.对于奇偶项问题,一般分成两个新数列进行单独研究,运用新数列的特征求解原数列.
2.插项(公共项、去项)型:一般是指在一个给定数列中插入某些项,或去掉(或取出)两个数列的公共项,使之成为具有某种特征的新数列.求解此类问题时,一般要借助原数列的性质研究新数列的性质.
3.双交替递推型:其特点是两个数列的通项由它们的首项和一般项之间相互联系、相互制约、相互依存的递推关系间接给出.
双交替递推数列问题解题策略:
(1)代入消元法:即用两个递推式消去其中一个数列,得到另一个数列的递推式;
(2)构造法:对于一次递推式,引入待定系数λ,通过构造使得{an+λbn}为等比数列;
(3)对于不需要求出通项公式的情况,灵活处理方程组求解.
奇偶项问题
例1 已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.


总结反思
解答与奇偶项有关的求和问题的关键
(1)弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式;
(2)弄清数列前n项中奇数项与偶数项的个数.
变式题1 [2023·浙江金丽衢十二校二联] 设数列{an}满足an+1=2an,n=2k,an+1,n=2k-1(k∈N*),a2是a1,a3的等比中项.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的前20项的和.


变式题2 [2023·山东济宁二模] 已知数列{an}的前n项和为Sn,an-1+an+1=2an(n≥2,n∈N*),且a1=1,S5=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an,n为奇数,2bn-1,n为偶数,求数列{bn}的前2n项和T2n.


插项、公共项、去项问题
例2 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+12-Sn2=8n.
(1)求Sn;
(2)在数列{an}的每相邻两项ak,ak+1(k∈N*)之间依次插入a1,a2,…,ak,得到数列{bn}:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…,求{bn}的前20项和T20.


总结反思
对于插入项问题,首先要弄清楚插入项的特征,插入后所得新数列是等差还是等比数列或者是具有其他特征的数列.若是等差或等比数列,则利用等差、等比数列知识求解;若不具有等差或等比特征,但是有限项,则可用列举法解决.
变式题 已知等比数列{an}的首项a1=2,公比为q(q为正整数),且满足3a3是8a1与a5的等差中项.数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0(t∈R,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)试确定t的值,使得数列{bn}为等差数列;
(3)当{bn}为等差数列时,对每个正整数k,在ak与ak+1之间插入bk个2,得到一个新数列{cn},设Tn是数列{cn}的前n项和,试求T100.


例3 [2023·浙江嘉兴二模] 已知{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=4,bn+1=3bn-2n+1.
(1)证明{bn-n}是等比数列,并求{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{an}与{bn}中有公共项,即存在k,m∈N*,使得ak=bm成立,按照从小到大的顺序将这些公共项排列,得到一个新的数列,记作{cn},求c1+c2+…+cn.


总结反思
与两个数列“相同项”有关的问题的解题关键是确定好两个数列的“相同项”.此类问题一般有两种类型:一类是去掉“相同项”后,构成新数列;一类是由“相同项”构成新数列.
变式题 已知数列{an}是以d为公差的等差数列,d≠0,Sn为{an}的前n项和.
(1)若S6-S3=6,a3=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若{an}中的部分项组成的数列{amn}是以a1为首项,4为公比的等比数列,且a2=4a1,求数列{mn}的前n项和Tn.


双交替递推数列
例4 已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
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总结反思
对于双交替递推数列问题,求解时常将两个递推式相加减(或乘除),用整体思想构造两个新数列(等差或等比),通过解这两个新数列联立的方程组加以解决.
变式题 [2023·安徽蚌埠四模] 已知数列{an}和{bn}满足a1=2,1bn-1an=1,an+1=2bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列nbn的前n项和Tn.