06 第52讲　双曲线 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
1.距离的差的绝对值 焦点 焦距
(1)2a|F1F2|
3.x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a (-a,0) (a,0)
(0,-a) (0,a) ±bax ±abx (1,+∞) a2+b2
2a 2b
【对点演练】
1.8 82 y=±2x 3 [解析] 双曲线2x2-y2=32的标准方程为x216-y232=1,故实轴长为8,虚轴长为82,渐近线方程为y=±2x,离心率为3.
2.x28-y28=1 [解析] 设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)的坐标代入,得λ=8,故所求双曲线方程为x28-y28=1.
3.y29-x2=1 [解析] 因为双曲线的渐近线方程是y=±3x,所以设双曲线的方程为y2-9x2=t(t≠0),将(-3,6)代入,可得t=36-9×3=9,所以双曲线的方程为y29-x2=1.
4.(0,2) [解析] 根据题意得,要使方程x2t+y2t-2=1表示双曲线,只需t(t-2)0,b2>0),则其渐近线的方程为y=±a2b2x,由题意可得a2b2=tanπ3=3,即a2=3b2,可得c2=233a2,此时离心率为c2a2=233.综上,所求离心率为2或233.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据双曲线方程确定c的值,从而求出|PF2|,再利用双曲线的定义求解即可.(2)思路一:先根据双曲线的定义及|PF1|·|PF2|=12求出|PF1|,|PF2|,进而得到tan∠PF1F2,结合∠POF2=2∠PF1F2即可求解tan∠POF2;思路二:先根据双曲线的定义及|PF1|·|PF2|=12求出|PF1|,|PF2|,进而得到|F1F2|,求出双曲线的方程,结合P(x0,y0)(x0>0)在双曲线及以F1F2为直径的圆上,得到x0,|y0|,进而求解.
(1)A (2)A [解析] (1)由x2-y2=2,得x22-y22=1,故a=2,b=2,c=2.∵|PF2|2=8|F1F2|=8×4=32,∴|PF2|=42.又|PF1|-|PF2|=2a=22,∴|PF1|=22+|PF2|=62.故选A.
(2)方法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n.由双曲线的定义知m-n=4,又mn=12,所以m=6,n=2.因为P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1⊥PF2,故tan∠PF1F2=|PF2||PF1|=13,
所以tan∠POF2=tan 2∠PF1F2=2tan∠PF1F21-tan2∠PF1F2=34.
方法二:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n.由双曲线的定义知m-n=4,又mn=12,所以m=6,n=2.因为P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1⊥PF2,则|F1F2|=62+22=210,则b2=10-4=6,故双曲线的方程为x24-y26=1.设P(x0,y0)(x0>0),由x024-y026=1,x02+y02=10,可得x0=4105,|y0|=3105,故tan∠POF2=|y0|x0=34.故选A.
变式题 (1)C (2)28 (3)C [解析] (1)∵两定点F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,由双曲线的定义得,当|PF1|-|PF2|=±4时,动点P的轨迹为双曲线,故选C.
(2)由题意知a=4.由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8①,|BF2|-|BF1|=8②,由①+②得|AF2|+|BF2|-|AB|=16,所以|AF2|+|BF2|=22,所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28.
(3)由双曲线Γ:x24-y22=1得a=2,b=2,c=6.因为∠F2AB=∠F2BA,所以|F2A|=|F2B|.作F2C⊥AB于C,则C是AB的中点.设|F2A|=|F2B|=x,则由双曲线的定义知,|F2A|-|F1A|=2a,|F1B|-|F2B|=2a,可得|F1A|=x-4,|F1B|=x+4,故|AB|=|F1B|-|F1A|=8.在Rt△F2BC中,cs∠F2BC=|CB||F2B|=4x,
即cs∠F1BF2=4x.在△F1BF2中,由余弦定理得cs∠F1BF2=(x+4)2+x2-(26)22(x+4)·x=x2+4x-4(x+4)·x,所以4x=x2+4x-4(x+4)·x,可得x=25.故选C.
例2 [思路点拨] (1)根据双曲线C的焦点得到双曲线C的半焦距,结合离心率求出实半轴长,进而得到虚半轴长,写出C的方程即可.(2)设所求双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),结合点
(- 5,215)在所求双曲线上,求出λ,即可得到所求双曲线的方程.
(1)x22-y22=1 (2)x210-y240=1 [解析] (1)设双曲线C的实半轴长、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距c=2.由双曲线C的离心率为2,得ca=2,解得a=2,则b=c2-a2=2,所以双曲线C的方程为x22-y22=1.
(2)双曲线x25-y220=1的渐近线方程为y=±2x,设所求双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),又点(-5,215)在双曲线上,所以λ=4×(-5)2-(215)2=100-60=40,故所求双曲线的方程为x210-y240=1.
变式题 (1)C (2)D [解析] (1)由抛物线x2=20y,得2p=20,则p=10,∴抛物线x2=20y的焦点坐标为(0,5),可知双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),半焦距为c,由题意知c=5.∵双曲线上的一点P到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6,∴2a=6,即a=3,∴b2=c2-a2=16,∴双曲线的标准方程为y29-x216=1.故选C.
(2)由题意,|PF2|=2,∵焦点到任一条渐近线的距离为b,∴b=2.在△POF2(O为原点)中,由等面积法易得点P的坐标为a2c,abc,故kPF1=abca2c+c=aba2+c2=24,化简可得(a-2)2=0,故a=2,∴双曲线的方程为x22-y24=1.
例3 [思路点拨] (1)先根据双曲线的焦点在y轴上判断,进而根据渐近线方程求解.(2)根据双曲线的离心率与渐近线斜率的关系可解.
(1)A (2)y=±3x [解析] (1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以选项B,D不满足题意;选项A中,双曲线的渐近线方程为y=±x,两渐近线的斜率之积为-1,所以两渐近线互相垂直,所以选项A满足题意;选项C中,双曲线的渐近线方程为y=±3x,两渐近线的斜率之积不为-1,所以两渐近线不互相垂直,所以选项C不满足题意.故选A.
(2)因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,即a2+b2a=1+b2a2=2,则ba=3,故该双曲线的渐近线方程为y=±3x.
例4 [思路点拨] (1)思路一:利用坐标法,设F1(-c,0),F2(c,0),B(0,n),结合已知条件得到n2=4c2,结合点A在C上及b2=c2-a2得到关于ca的方程,即可得到离心率;思路二:利用几何法,根据F2A=-23F2B,设|F2A|=2x,|F2B|=3x,根据双曲线的对称性及定义用x表示|F1B|,|F1A|,结合F1A⊥F1B得到x=a,在△AF1F2中利用余弦定理得到a与c的关系,即可得到离心率.(2)思路一:根据已知条件及正弦定理得到|PF1|=ca|PF2|,结合双曲线的定义得到|PF2|=2a2c-a,再根据双曲线的性质得到|PF2|>c-a,可得离心率的取值范围;思路二:根据已知条件及正弦定理得到|PF1||PF2|=ca,设P(x0,y0),由焦半径公式得到|PF1|,|PF2|,进而用a,c,e表示x0,结合x0>a即可得到离心率的取值范围.
(1)355 (2)C [解析] (1)方法一(坐标法):依题可设F1(-c,0),F2(c,0),B(0,n),由F2A=-23F2B,可得A53c,-23n,所以F1A=83c,-23n,又F1B=(c,n),所以由F1A⊥F1B可得83c2-23n2=0,即n2=4c2.因为点A在C上,所以259c2a2-49n2b2=1,即25c2a2-16c2c2-a2=9,即25e2-16e2e2-1=9,解得e2=95或e2=15(舍去),所以e=355.
方法二(几何法):由F2A=-23F2B可得|F2A||F2B|=23,设|F2A|=2x,|F2B|=3x,由对称性可得|F1B|=3x,易知点A在双曲线的右支上,根据双曲线的定义可得|F1A|=2x+2a.又|AB|=5x,F1A⊥F1B,所以sin∠F1AF2=|F1B||AB|=3x5x=35,所以cs∠F1AF2=45,即|F1A||AB|=2x+2a5x=45,可得x=a,所以|AF1|=4a,|AF2|=2a.在△AF1F2中,由余弦定理可得cs∠F1AF2=45=16a2+4a2-4c216a2,即5c2=9a2,得e=355.
(2)方法一:由题意可得点P不是双曲线的顶点,否则asin∠PF1F2=csin∠PF2F1无意义.在△PF1F2中,由正弦定理得|PF1|sin∠PF2F1=|PF2|sin∠PF1F2,因为asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,所以|PF1||PF2|=ca,所以|PF1|=ca|PF2|.因为点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以ca|PF2|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a2c-a.由双曲线的性质可得|PF2|>c-a,所以2a2c-a>c-a,化简得c2-2ac-a23.故选D.
3.D [解析] 如图,由题可知四边形AF2BF1为平行四边形,则|F1B|=|F2A|=2|F1A|,又|F2A|-|F1A|=2a,∴|F1A|=2a,|F2A|=4a.∵F2A·F2B=F2A·AF1=-AF1·AF2=-2a·4acs∠F1AF2=-8a2cs∠F1AF2=4a2,∴cs∠F1AF2=-12,则|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cs∠F1AF2=4a2+16a2-2·2a·4a·-12=28a2,即4c2=28a2(c为双曲线的半焦距),∴双曲线的离心率e=7,故选D.
4.433 [解析] 设椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0),焦距为2c,|PF1|=m,|PF2|=n.由椭圆的定义得m+n=2a1①,由双曲线的定义得m-n=2a2②.由①2+②2整理得m2+n2=2(a12+a22),由①2-②2整理得mn=a12-a22.在△F1PF2中,由余弦定理可得(2c)2=m2+n2-2mncs ∠F1PF2,所以a12+3a22=4c2.设a1=2ccs θ,θ∈0,π2,a2=233c·sin θ,所以1e1+1e2=a1c+a2c=2cs θ+233sin θ=433sinθ+π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,1e1+1e2取得最大值433.
5.364 [解析] 由题知直线AB的方程为y=b4a(x+c)(c为双曲线的半焦距),渐近线OB(O为坐标原点)的方程为y=bax,由y=b4a(x+c),y=bax,得x=c3,y=bc3a,所以Bc3,bc3a.因为|FB|=3|FA|,所以y1=bc9a,代入直线AB的方程得bc9a=b4a(x1+c),解得x1=-59c,所以A-5c9,bc9a,代入双曲线方程得25c281a2-b2c281a2b2=1,可得离心率e=364.
例5 [思路点拨] (1)根据题目所给条件得到a,c,进而得到b,即可写出双曲线C的方程;(2)设直线l的方程为y=x+m,将直线方程与双曲线方程联立,结合根与系数的关系用m表示出线段MN的中点坐标,得到线段MN的垂直平分线的方程,进而根据三角形的面积求出m即可.
解:(1)由题设得c=2,e=ca=2,可得a=1,则b=c2-a2=3,所以双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
由y=x+m,3x2-y2=3,消去y整理得2x2-2mx-m2-3=0,则Δ=(-2m)2+8(m2+3)=12(m2+2)>0.
由根与系数的关系可知x1+x2=m,x1x2=-m2+32.设线段MN的中点坐标为(x0,y0),则x0=x1+x22=m2,y0=x0+m=3m2,
故线段MN的垂直平分线的方程为y-3m2=-x-m2.
此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2m,0),(0,2m).
由题设可得 12|2m|·|2m|=4,即m2=2,解得m=±2,故直线l的方程为y=x±2.
变式题1 (1)A (2)A [解析] (1)∵e=ca=2,c2=a2+b2,∴c=2a,3a2=b2.∵S△PF1F2=12×2c·|yP|=15,∴|yP|=15c=152a①,|xP|=yP2b2+1a2=yP23+a2=54a2+a2②.∵kA1P+kA2P=6155,A1(-a,0),A2(a,0),∴kA1P+kA2P=yPxP+a+yPxP-a=2xPyPxP2-a2=2×b2a2×xPyP=6xPyP=6155,故xPyP=155③.由①②③,得54a2+a2=152a×155,可得a=1,故选A.
(2)设半焦距为c,直线F2M交PF1于点N,因为PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM, 所以△NPF2是等腰三角形,且|PN| = |PF2|,M是NF2的中点.根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a,即|NF1|=2a,因为O是F1F2的中点,所以MO是△NF1F2的中位线,所以|MO|=12|NF1|=a=2,又双曲线的离心率为62,所以c=3,b=1,所以双曲线C的方程为x22-y2=1,所以F1(-3,0),F2(3,0),双曲线C的渐近线方程为x±2y=0.设T(u,v),点T到双曲线C的两条渐近线的距离之和为S,则S=|u+2v|3+|u-2v|3.由F1T·F2T=(u+3)(u-3)+v2=u2+v2-3=5,得 u2+v2=8,又T在双曲线C:x22-y2=1上,所以u22-v2=1,即u2-2v2=2,故u2=6,v2=2,则|u|>2|v|,故S=2|u|3=22,即点T到双曲线C的两条渐近线的距离之和为22.故选A.
变式题2 解:(1)由题意知c=2,2a=(3+2)2+(2-0)2-(3-2)2+(2-0)2=23,故a=3,b=1,
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(2)方法一:设A(x1,y1)(y1≠0),则B(-x1,-y1),直线FA的方程为x=my-2m=x1+2y1,直线FB的方程为x=ny-2n=-x1+2-y1,由x=my-2,x23-y2=1,得(m2-3)y2-4my+1=0,由题意知m2-3≠0,设C(xC,yC),D(xD,yD),则y1yC=1m2-3=1x1+2y12-3,
即yC=y1x12+4x1+4-3y12,∵x12-3y12=3,∴yC=y17+4x1,xC=y17+4x1·x1+2y1-2=-12-7x17+4x1.
同理可得yD=-y17-4x1,xD=-12+7x17-4x1.
∵直线CD经过点N(0,-1),∴C,D,N三点共线,
即NC∥ND,则xD(yC+1)=xC(yD+1),
∴-12+7x17-4x1y17+4x1+1=-12-7x17+4x1-y17-4x1+1,
化简得(-12+7x1)(y1+7+4x1)=(-12-7x1)(-y1+7-4x1),即12y1=x1,故k=y1x1=112.
方法二:设A(x1,y1)(y1≠0),则B(-x1,-y1),直线FA的方程为x=my-2m=x1+2y1,直线FB的方程为x=ny-2n=-x1+2-y1.由x=my-2,x23-y2=1,得(m2-3)y2-4my+1=0,由题意知m2-3≠0,设C(xC,yC),D(xD,yD),则y1yC=1m2-3=1x1+2y12-3,即yC=y1x12+4x1+4-3y12,
∵x12-3y12=3,∴yC=y17+4x1,同理可得yD=-y17-4x1.
设直线CD的方程为x=t(y+1)(t≠0),由x=t(y+1),x23-y2=1,得(t2-3)y2+2t2y+t2-3=0,由题意知t2-3≠0,则yC·yD=1,即y17+4x1·-y17-4x1=1,化简得y12=16x12-49,又x12-3y12=3,∴x12=14447,y12=147,故k=y12x12=112.