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初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形精品课时训练
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这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.3.1 等腰三角形精品课时训练试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰三角形中，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（ ）
A．8B．6C．7D．5
4．（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，，的垂直平分线交于点E，F，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23八年级上·广西钦州·期末）在中，平分，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．B．4C．6D．
8．（23-24八年级下·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A．增大B．减小C．增大D．减小
9．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，中，平分的垂直平分线交于点E，交于点连接．若，则的度数为 ．
12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ．
13．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，平分，交于．如果，那么点到的距离等于 ．
14．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得，，那么从B处到灯塔C的距离是 海里．
15．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，点、分别在边、上（均不与点、、重合），且，若，则 度， 度．
16．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点C作交的延长线于点E，若，则的长为 ．
17．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ．
18．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长度为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形．
20．（8分）（2023·广东清远·一模）如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接，交于点，且，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
21．（10分）（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N，
（1）当且M与A重合时，求证：
（2）当E为中点时，连接，求证：
22．（10分）（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O．
（1）试说明的理由；
（2）若，试判断和的大小关系，并说明理由．
23．（10分）（23-24八年级上·河南周口·期末）（1）【问题发现】如图1，与中，，B、、三点在同一直线上，，，则_________．
（2）【问题提出】如图2，在中，，过点作，且，求的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形中，，面积为且的长为6，求的面积．
24．（12分）（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °；
【类比探究】
②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的综合运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质可判定A，B选项；根据角平分线的性质定理可判定C选项，根据D选项的条件无法破电脑角平分线，由此即可求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，，
∴，
A、若，则，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故该选项不符合题意；
B、若，且，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故该选项不符合题意；
C、若，如图所示，过点作于点，作于点，
∴，，
∴，
∴是的角平分线，故该选项不符合题意；
D、当时，不能确定点是角平分线，故该选项符合题意；
故选：D ．
2．D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点拨】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
3．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
故选：A．
4．D
【分析】根据题意，得，得到，结合，代换计算即可，本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴．
故选D．
.
5．D
【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可．
【详解】解：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，关键是推出．
根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来，则
∵，
∴，
∴，
增大后，，
∴，
∴，
∴，
∴的变化情况是减小，
故选：D.
9．B
【分析】过点C作于点F，易证（AAS），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．
【详解】如图，过点C作于点F
是高，
平分
在和中
（）
，，
∵在中，，又
，
，即
故选：B
【点拨】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点与点重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出最后利用三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于点．
∵为中点，，
∴点与点重合，
垂直平分线段，
，
，
，
，
故选：C．
11．/52度
【详解】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键．
先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可．
【解答】解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．48
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．
根据已知条件可推出，从而可知，则，再求解即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，
故答案为：48．
13．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．过点P作于点D，于点E，根据角平分线性质定理可得，然后证明，即得，再根据直角三角形的性质可得，即得答案．
【详解】过点P作于点D，于点E，
平分，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
即点到的距离等于3．
故答案为：3．
14．40
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先求出海里，再利用三角形外角的性质证明，则海里．
【详解】解：由题意得，海里，
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
∴从B处到灯塔C的距离是40海里，
故答案为：40．
15． 96 27
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再利用三角形内角和定理计算的值；证明，结合全等三角形的性质证明为等腰三角形，进而可得的值，然后由求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
∵，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：96；27．
16．/
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长交的延长线于点F，证，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/130度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点作直线于点．证明，推出与重合时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：如图，过点作直线于点．
直线，直线，
，
，，
，
，
，
与重合时，的值最大，
当与重合，与重合时，的值最大，此时，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了三角形内角和定理， 全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答.
过点作垂足为点，首先证明得到，进而证明即可解决问题.
【详解】如图，过点作垂足为点，
，
，
，
均为等腰直角三角形，
，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，而 ，
，
故答案为: .
19．见解析
【分析】根据三角形内角和定理，计算的度数，确定即可得证．
本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由可得，即得，进而得，再由得，即可由证明；
（）由全等三角形的性质得，即得，据此即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：连接，在上截取，
∵，，E为中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)详见解析
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出，则，利用即可证明；
（2）过点E作，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出，结合三角形内角和定理求出，等量代换求解即可．
【详解】（1）解：，，
又，，
，
，
，
，
即 ，
在与中，
，
；
（2）如图，过点E作，垂足为H ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
23．（1）7；（2）8；（3）6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）证明，则，，根据，计算求解即可；
（2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可；
（3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：7；
（2）解：如图1，过作的延长线于E，
图1
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为8；
（3）解：如图2，过作于，过作的延长线于，
图2
面积为且的长为6，
∴，
解得，，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
，
，，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴的面积为6．
24．（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32
【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出．
（2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
故答案为：，90．
②，理由如下：
∵，
∴
即，
∵
∴，
在和中，
∴，
∴
∴
∴，
（2）如图，过A作交延长线于G，
∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
即
在和中，
∴
∴，
∴
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．
1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰三角形中，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（ ）
A．8B．6C．7D．5
4．（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，，的垂直平分线交于点E，F，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23八年级上·广西钦州·期末）在中，平分，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点E，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．B．4C．6D．
8．（23-24八年级下·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A．增大B．减小C．增大D．减小
9．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，中，平分的垂直平分线交于点E，交于点连接．若，则的度数为 ．
12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 ．
13．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，平分，交于．如果，那么点到的距离等于 ．
14．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得，，那么从B处到灯塔C的距离是 海里．
15．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，点、分别在边、上（均不与点、、重合），且，若，则 度， 度．
16．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点C作交的延长线于点E，若，则的长为 ．
17．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为 ．
18．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，的长度为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形．
20．（8分）（2023·广东清远·一模）如图，已知，在边上取点，在的外部取点，连接，交于点，且，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
21．（10分）（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N，
（1）当且M与A重合时，求证：
（2）当E为中点时，连接，求证：
22．（10分）（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O．
（1）试说明的理由；
（2）若，试判断和的大小关系，并说明理由．
23．（10分）（23-24八年级上·河南周口·期末）（1）【问题发现】如图1，与中，，B、、三点在同一直线上，，，则_________．
（2）【问题提出】如图2，在中，，过点作，且，求的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形中，，面积为且的长为6，求的面积．
24．（12分）（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °；
【类比探究】
②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的综合运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质可判定A，B选项；根据角平分线的性质定理可判定C选项，根据D选项的条件无法破电脑角平分线，由此即可求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，，
∴，
A、若，则，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故该选项不符合题意；
B、若，且，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故该选项不符合题意；
C、若，如图所示，过点作于点，作于点，
∴，，
∴，
∴是的角平分线，故该选项不符合题意；
D、当时，不能确定点是角平分线，故该选项符合题意；
故选：D ．
2．D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点拨】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
3．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
故选：A．
4．D
【分析】根据题意，得，得到，结合，代换计算即可，本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴．
故选D．
.
5．D
【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可．
【详解】解：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，关键是推出．
根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来，则
∵，
∴，
∴，
增大后，，
∴，
∴，
∴，
∴的变化情况是减小，
故选：D.
9．B
【分析】过点C作于点F，易证（AAS），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．
【详解】如图，过点C作于点F
是高，
平分
在和中
（）
，，
∵在中，，又
，
，即
故选：B
【点拨】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点与点重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出最后利用三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于点．
∵为中点，，
∴点与点重合，
垂直平分线段，
，
，
，
，
故选：C．
11．/52度
【详解】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键．
先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可．
【解答】解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．48
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．
根据已知条件可推出，从而可知，则，再求解即可．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，
故答案为：48．
13．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．过点P作于点D，于点E，根据角平分线性质定理可得，然后证明，即得，再根据直角三角形的性质可得，即得答案．
【详解】过点P作于点D，于点E，
平分，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
即点到的距离等于3．
故答案为：3．
14．40
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先求出海里，再利用三角形外角的性质证明，则海里．
【详解】解：由题意得，海里，
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
∴从B处到灯塔C的距离是40海里，
故答案为：40．
15． 96 27
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再利用三角形内角和定理计算的值；证明，结合全等三角形的性质证明为等腰三角形，进而可得的值，然后由求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
∵，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：96；27．
16．/
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长交的延长线于点F，证，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/130度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点作直线于点．证明，推出与重合时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：如图，过点作直线于点．
直线，直线，
，
，，
，
，
，
与重合时，的值最大，
当与重合，与重合时，的值最大，此时，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了三角形内角和定理， 全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答.
过点作垂足为点，首先证明得到，进而证明即可解决问题.
【详解】如图，过点作垂足为点，
，
，
，
均为等腰直角三角形，
，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，而 ，
，
故答案为: .
19．见解析
【分析】根据三角形内角和定理，计算的度数，确定即可得证．
本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由可得，即得，进而得，再由得，即可由证明；
（）由全等三角形的性质得，即得，据此即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：连接，在上截取，
∵，，E为中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)详见解析
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出，则，利用即可证明；
（2）过点E作，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出，结合三角形内角和定理求出，等量代换求解即可．
【详解】（1）解：，，
又，，
，
，
，
，
即 ，
在与中，
，
；
（2）如图，过点E作，垂足为H ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
23．（1）7；（2）8；（3）6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）证明，则，，根据，计算求解即可；
（2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可；
（3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：7；
（2）解：如图1，过作的延长线于E，
图1
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为8；
（3）解：如图2，过作于，过作的延长线于，
图2
面积为且的长为6，
∴，
解得，，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
，
，，
，
∵，
∴，
，
∴，
∴的面积为6．
24．（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32
【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出．
（2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
故答案为：，90．
②，理由如下：
∵，
∴
即，
∵
∴，
在和中，
∴，
∴
∴
∴，
（2）如图，过A作交延长线于G，
∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
即
在和中，
∴
∴，
∴
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．
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