人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形精品一课一练

这是一份人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形精品一课一练，共36页。

【考点1】平移中的全等三角形问题； 【考点2】全等三角形中的动点问题；
【考点3】全等三角形中的最值问题； 【考点4】全等三角形中的折叠问题；
【考点5】全等三角形中的旋转问题.
单选题
【考点1】平移中的全等三角形问题；
1．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，将沿所在直线向右平移得到，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C． D．
【考点2】全等三角形中的动点问题；
3．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，射线是的平分线，，，若点Q是射线上一动点，则线段的长度不可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）已知：如图，在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（ ）秒时，和全等．

A．1或7B．1或3C．3或7D．2或7
【考点3】全等三角形中的最值问题；
5．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24八年级上·北京·期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）

A．B．C．D．
【考点4】全等三角形中的折叠问题；
7．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠后点落在点处，判断的依据是（ ）

A．B．C．D．
8．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【考点5】全等三角形中的旋转问题.
9．（20-21八年级下·广东深圳·期中）如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
10．（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，斜边BC绕点B逆时针方向旋转90°至BD的位置，连接AD，则AD的长是（ ）
A．B．C．D．
填空题
【考点1】平移中的全等三角形问题；
11．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为．

12．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段先沿轴正方向平移，然后沿轴正方向平移，得到线段，连接点及其对应点．若，则点的坐标是．
【考点2】全等三角形中的动点问题；
13．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为时，存在某一时刻，与全等．
14．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，E为AB上一动点，的最小值为2.4，过点B作，且，连接、，则的面积为．
【考点3】全等三角形中的最值问题；
15．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是．
16．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则
（1）的长为；
（2）的最小值为．
【考点4】全等三角形中的折叠问题；
17．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为．
18．（18-19八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，，是的平分线上的一点，且，点沿折叠后与点重合，则的度数是．
【考点5】全等三角形中的旋转问题.
19．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，点D为的中点，，绕点D旋转，分别与边交于E、F两点．下列结论：①，②，③，④，⑤始终为等腰直角三角形．其中正确的结论有.(填写序号)
20．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接BM，MN．若和全等，则点M表示的数为．

解答题
【考点1】平移中的全等三角形问题；
21．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）如图（1），点A，E，F，C在同一条直线上，，过点E，F分别作，，若，连接交于点G，试问与相等吗？请说明理由．
（2）将图（1）中的沿方向平移得到图（2），其余条件不变，则上述结论是否仍然成立？请说明理由．

【考点2】全等三角形中的动点问题；
22．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．
(1)求 的度数；
(2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【考点3】全等三角形中的最值问题；
23．（2020九年级·河南·专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，
（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．
（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；
（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．
【考点4】全等三角形中的折叠问题；
24．（22-23九年级下·山西太原·阶段练习）阅读材料，解决问题：
折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长．
小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长．
(1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________；
(2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点．
①求证：；
②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值．
【考点5】全等三角形中的旋转问题.
25．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E．
(1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）；
(2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系；
(3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．
①求证：；
②求证：．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可．
【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵将平移，使点C与原点O重合，
∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，
∴点A平移后的对应点为：，即．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了平移和三角形全等的性质，由平移的性质得到，由三角形全等的性质得和，即可得到答案．
【详解】解：A、沿所在直线向右平移得到，由平移性质得，此选项正确，不符合题意；
B、无法证明是否正确，此选项错误，故本选项符合题意；
C、由得，则成立，此选项正确，不符合题意；
D、由得，则成立，此选项正确，不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点D作于E，
是的角平分线，，
，
由垂线段最短可得，
，
．
故选：A．
4．A
【分析】分两种情况，若，，可得；若，，可得，求解即可．
【详解】在长方形中，，
若，
在和中，
∵
∴，
∴，
解得；
若，
在和中，
∵
∴，
∴，
解得；
综上，t的值为1或7，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故选：C．
6．B
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：

∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：

∵，，
∴．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
7．C
【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由长方形的特征得，，由折叠得，，则，，而，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，于是得到问题的答案，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
【详解】解：在长方形中，，，
由折叠得，，
∴，，
在和中，
，
∴（），
故选：．
8．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角的性质，折叠变换等知识，关键在于能够正确添加辅助线，灵活运用所学知识．根据折叠可知，，，再利用平角为，三角形内角和，推出，再利用三角形内角和定理、角平分线性质求出，再求出结果即可．
【详解】解：纸片沿折叠，
，
，，
，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
故选：C
9．C
【分析】①通过证明△BOD≌△COE可得结论；②根据①的结论可以推出；③S△ODE随OE的变化而变化；④当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长的最小值为2+OE．
【详解】连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
∴①正确；
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC，
故②正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；
故③错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3，
故④正确．
综上所述，正确的有①②④共3个．
故选C．

【点拨】本题考查了等边角形性质，图形的旋转，三角形全等，勾股定理，动点问题，熟练等边三角的性质是解题的关键．
10．B
【分析】过点D做AC的平行线与AB的延长线交于点E，然后证明,进而把边等量代换掉，在根据勾股定理求出AD长即可.
【详解】解：过点D做AC的平行线与AB的延长线交于点E，
如图所示：
,且,
,
在和中：
,
,
,
,
中，根据勾股定理得：
,
即：,
故选：B.
【点拨】本题考查三角形全等的知识点，解题关键在于辅助线的构造.
11．
【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则．
【详解】解：由平移的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，过C作轴于E，可证，即得，，线段先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，从而可得答案．
【详解】解：过C作轴于E，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴线段先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴的对应点D的坐标是．
故答案为：．
13．1或
【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．
【详解】解：①当，时，，
，
，
，
，
，解得：，
，
，
②当，时，，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等，
故答案为：1或
14．14
【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，如图，过作，交的延长线于，证明，可得，再利用面积的和差进一步求解可得答案．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，而，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵的最小值为2.4，
∴此时为上的高，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：
15．//
【分析】
本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知是的平分线，过点作交于点，再过点作交于点，此时有最小值．
【详解】解：点D到的距离等于的长，
∴是的平分线，
过点作交于点，再过点作交于点，
∴，
∵，
∴此时有最小值，
∵中，，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】（1）过点作交于点，由平分得出，再由，即可求解；
（2）过点作交于点，交于点，过点作交于点，由平分得出，、、三点共线，所以的长即的最小值，根据三角形面积公式即可求解最小值。
【详解】解：（1）如图，过点作交于点，
∵平分，
∴，
设，
则：，
解得：；
（2）如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，
平分，
，
，
又、、三点共线，
的长即为的最小值，
，
解得：，
即的最小值为．
【点拨】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会用转化的思想思考问题和正确作出辅助线．其中借助面积法进行计算要求能够熟练运用．
17．/度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．．
【分析】利用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质得出，再根据得到，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出．
【详解】解：，平分，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点沿折叠后与点重合，
，，
，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
19．①④⑤
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，利用证明，得，则是等腰直角三角形，，可知①⑤正确；由，可知④正确．
【详解】解：连接，
∵是等腰直角三角形，点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，故⑤正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，故④正确，
故答案为：①④⑤．
20．或
【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出或进而结合数轴即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∵和全等，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
21．（1）与相等，理由见解析
（2）结论仍然成立，理由见解析
【分析】由垂直定义可得，然后证明，可得，然后利用证明，得到结论；
由垂直定义可得，然后证明，可得，然后利用证明，得到结论．
【详解】解：（1）与相等．理由如下：
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．(1)
(2)存在，的值为或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键．
（1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到；
（2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到．
【详解】（1）解：在中，为高
，
又
，
（2）解：，，
，
由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么
，即以为底时高为，如图所示

当时，在线段上，则
解得：
当 时，在线段上，则
解得：
综上所述，存在的值为或 ．
23．（1）AP＝BE，PA⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3）PA的最大值为7，最小值为3
【分析】(1)设PA交BE于点O，根据题目已知条件可以得到△DAC≌△EAB，从而得出PA＝BE，∠C＝∠PAE，因为∠CAP+∠BAO＝90°，即可证明出结论；
(2)结论成立，延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O，根据题目已知条件得出△APD≌△MPC，进而得到∠EAB＝∠ACM，再证明得出△EAB≌△MCA，即可得出结论；
(3)因为AC＝10，CM＝4，所以6≤AM≤14，再利用AM＝2AP即可得出答案．
【详解】解：(1)设PA交BE于点O，
∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，
∴△DAC≌△EAB，
∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，
∵∠DAC＝90°，DP＝PC，
∴PA＝CD＝PC＝PD，
∴PA＝BE，∠C＝∠PAE，
∵∠CAP+∠BAO＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE，
(2)结论成立．
理由：延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O，
∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，
∴△APD≌△MPC，
∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，
∴AD∥CM，
∴∠DAC+∠ACM＝180°，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠ACM，
∵AB＝AC，AE＝CM，
∴△EAB≌△MCA，
∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，
∵PA＝AM，PA＝BE，
∵∠CAM+∠BAO＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴PA⊥BE．
(3)∵AC＝10，CM＝4，
∴10﹣4≤AM≤10+4，
∴6≤AM≤14，
∵AM＝2AP，
∴3≤PA≤7．
∴PA的最大值为7，最小值为3．
【点拨】本题主要考查的是全等三角形综合应用，掌握全等三角形的判定，三角形的构成条件是解题的关键．
24．(1)，；
(2)①见详解；②．
【分析】（1）根据绕点按逆时针方向旋转得到可得，，结合可得，根据边角边定理即可得到证明，在中利用勾股定理即可得到答案；
（2）①连接，根据定理即可得到，即可得到证明；
②连接，过作交延长线于一点，根据折叠得到，，由①可得，，即可得到，从而得到，根据正方形性质可得，，结合可得，即可得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
在 中，，
，
，
故答案为：，；
（2）①连接，
沿翻折至位置，四边形是正方形，
，，
在与中，
，
∴
；
②连接，过作交延长线于一点，
沿翻折至位置，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
在中，，
．
【点拨】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线．
25．(1)
(2)
(3)①见解析；②见解析
【分析】(1)首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得 ；
(2)首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得；
(3) ①由，得到，由（2）得，得，从而证明，推出；
②首先证明，然后证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，
∵于点D，于点E．
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
在和中
∴
∴；
（2）解：∵，．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
∴
∴；
（3）证明：①∵，
∴，
由（2）得，
∴
∵，
∴
∴；
②∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点拨】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具．