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【精品同步练习】全套专题数学2023-2024青一学中考九下一模数学试卷（知识梳理+含答案）
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这是一份【精品同步练习】全套专题数学2023-2024青一学中考九下一模数学试卷（知识梳理+含答案），文件包含答案9-2023-2024-2青一一模docx、9-2023-2024-2青一一模docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，最大的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查的是实数的大小比较，解决此题的关键是理解负数小于零小于正数，而对于正数绝对值大的就大．
根据正数负数，对于正数绝对值大的大即可解决．
【详解】解：∵是负数，，，
∴最大的数为．
故选：B．
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
3. 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：C．
4. 第24届冬季奥林匹克运动会已经画上圆满句号，北京成为历史上首座“双奥之城”，再一次见证了竞技体育的荣耀与梦想，凝聚了人类社会的团结与友谊，2022年2月4日的北京冬奥会开幕式在全国44个上星频道播出，收看电视直播观众规模约为人，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大数字时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位少1，据此判断即可求解．
【详解】整数共计9位，采用表达，则有，，
即：用科学记数法表示为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，准确确定a、n的值是解答本题的关键．
5. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
6. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
7. 近几年中学生近视现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出．
【详解】解：过作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
故选：A．
8. 如图，在一艘小船A上测得海岸上高为的灯塔的顶部C处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为，
故选：A．
9. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴为直线
C. 与y轴交于点D. 与x轴有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先将函数解析式化为顶点式和交点式，然后根据二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数，
当时，解得，，
故函数与x轴两个交点为，
当时，解得，
故函数与y轴的交点为，
故函数与x轴有两个交点，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意；
与轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意；
与轴有两个交点，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
10. 如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案．
【详解】解：根据题意，，
∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为，
且该函数图像在第一象限，随的增大而减小，
当时，可有，
越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值，
∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是_________．
【答案】丁
【解析】
【详解】因为=0.56，=0.60，=0.50， =0.45
所以<<<，由此可得成绩最稳定的为丁．
故答案为丁．
【点睛】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，四条边相等，由直角三角形斜边上的中线的性质得出OE＝AB， 又由AB＝BC，即可求出BC．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AE＝EBAB，
∴BC＝AB＝2OE＝4×2＝8，
故答案：8．
【点睛】此题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14. 若关于一元二次方程有实数根，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
的最大值为，
故答案为：．
15. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的侧面积的计算．圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
【详解】圆锥的侧面积，其中，，
∴这个圆锥的侧面积，
故答案为：．
16. 如图，已知是的直径，点E是上一点，F为的中点，过点F作E的垂线，垂足为C，交的延长线于点D，连接．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
根据已知条件证明，根据，可得．根据，可得．对应边成比例即可求出的长，即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
，
，
即，
解得．
，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根据绝对值的化简，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的计算，即可求解，
本题考查了，实数的混合运算，特殊角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的加法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 如图，在中，，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25°
【解析】
【分析】（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵射线是的平分线，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．
20. 我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）填空：；
（2）补全频数直方图；
（3）我校共有3000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则我校安全意识不强的学生约有多少人？
【答案】（1）75，54；
（2）图见详解 （3）900人
【解析】
【分析】本题考查了频数（率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
（1）先由组人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以、组对应百分比求出人数，再用乘以组人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求结果可得答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为（人），
，
组人数为（人），
则组人数为（人），
，
故答案为：75，54；
【小问2详解】
解：补全直方图如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校安全意识不强的学生约有900名．
21. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为CD中点，F为AD中点，AE与BF交于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）连结BE，记BE中点为H，求GH的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先有正方形的性质及E为CD中点，F为AD中点得AF＝DE，然后利用“边角边”证明△ABF≌△DAE；
（2）由△ABF≌△DAE得∠DAE＝∠ABF，从而得到∠BGE＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GH＝BE＝．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，
∵E为CD中点，F为AD中点，
∴AF＝DE＝2，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
【小问2详解】
解：∵BC＝4，EC＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠DAE＝∠ABF，
∵∠DAE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BGE＝90°，
∵点H是BE的中点，
∴GH＝BE＝．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
22. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
（2）该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键．
（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
依题意得：，解得：．
答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
【小问2详解】
解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，
购买篮球和足球的总费用
依题意得：，
解不等式①得：．
解不等式①得：．
∴m的取值范围为：，
∵购买篮球和足球的总费用，，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，最省钱，
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
23. 如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E．
（1）求证：；
（2）当时，求的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，
（1）根据等腰三角形性质的得到，根据三角形内角和定理和平角的定义证明，据此即可判定出；
（2）利用相似三角形性质得到，由三线合一定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
由（1），得，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24. 定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”．
（1）判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”；
①有一个角为的直角三角形；（ ）
②有一个角为的直角三角形；（ ）
③有一个角为的三角形；（ ）
（2）如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；
（3）如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示）
【答案】（1）×，×，√
（2）点N的坐标为或
（3），
【解析】
【分析】（1）根据“美好三角形”分别得出角度求解即可；
（2）联立与，求出点M坐标为；根据是“美好三角形”，分为①当时，过M作，得出， 求解即可；②当时，过N作，得出， 根据，得出，即可求出，再根据勾股定理求出，求解即可；
（3）根据二次函数对称性得出，过点D作，当均为“美好三角形”时， 得出，，证出，得出相似比为，即可求出，得出与m的关系；再证明，根据相似三角形性质即可得出，即可得出与m的关系；
【小问1详解】
解：① ∵有一个角为的直角三角形，三个内角分别为，
，
∴该三角形不是 “美好三角形”．
故答案为：×
②有一个角为的直角三角形；
三个内角分别为，，
∴该三角形不是 “美好三角形”．
故答案为：×
③有一个角为的三角形；其余两个内角的和为，
∴该三角形是“美好三角形”．
故答案为：√．
【小问2详解】
联立与，
解得，将代入得，
∴点M坐标为；
若“美好三角形”，
当时，
过M作，
则，
∴，
∴，
∴ ；
当时，
过N作，
则，
∴，
，
，
，
，
，
，
综上，点N的坐标为或；
【小问3详解】
根据二次函数与x轴交于B，C两点，顶点为A，故，
过点D作，
当均为“美好三角形”时，
，，
，
，
∴．
∴，
∴，
，
∵的面积为，的面积为，的面积为， ，
；
，
，
综上，，．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
25. 如图，在中，弦于H，线段为直径，连接，过点B作交的延长线于E，连接并延长交于点F，且连接．
（1）求证：四边形菱形；
（2）求证：；
（3）已知的外接圆半径是3．
①若，求的长；
②当为何值时，的值最大？
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）①；②当时，的值最大
【解析】
【分析】（1）根据，，用垂径定理得出垂直平分，即可证明；
（2）过O作，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理得出，化简得出，再根据菱形四个边相等和半径相等代换即可证明；
（3）作的外接圆，半径为3，根据菱形性质即可得出在上，连接，
①根据，设，代入（2）中结论得出，从而表示出，，在中，根据勾股定理解出，，即可解答；
②设，则，代入（2）中结论得出，在中，表示出，，，在中，根据勾股定理列方程解出，，即可表示出，表示出，根据二次函数的性质即可求解；
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴垂直平分，
，
∵，
，
∴，
，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
过O作，
，
，
在中，，
，
，
即 ，
，
，
；
【小问3详解】
①作的外接圆，半径为3，
∵是菱形，
∴平分，
∴在上，
连接，
，
设，
代入得，
，
，
在中，，
，
解得：(舍)，，
．
②设，则，
代入得：
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得（舍去）或，
，
，
，
时，有最大值，
∴当时，的值最大．
【点睛】该题是圆综合题，主要考查了圆周角定理，菱形的性质和判定，勾股定理，二次函数最值，垂径定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点．
我们倡议并践行
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时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，最大的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查的是实数的大小比较，解决此题的关键是理解负数小于零小于正数，而对于正数绝对值大的就大．
根据正数负数，对于正数绝对值大的大即可解决．
【详解】解：∵是负数，，，
∴最大的数为．
故选：B．
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
3. 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：C．
4. 第24届冬季奥林匹克运动会已经画上圆满句号，北京成为历史上首座“双奥之城”，再一次见证了竞技体育的荣耀与梦想，凝聚了人类社会的团结与友谊，2022年2月4日的北京冬奥会开幕式在全国44个上星频道播出，收看电视直播观众规模约为人，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大数字时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位少1，据此判断即可求解．
【详解】整数共计9位，采用表达，则有，，
即：用科学记数法表示为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，准确确定a、n的值是解答本题的关键．
5. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
6. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
7. 近几年中学生近视现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出．
【详解】解：过作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
故选：A．
8. 如图，在一艘小船A上测得海岸上高为的灯塔的顶部C处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为，
故选：A．
9. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴为直线
C. 与y轴交于点D. 与x轴有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先将函数解析式化为顶点式和交点式，然后根据二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数，
当时，解得，，
故函数与x轴两个交点为，
当时，解得，
故函数与y轴的交点为，
故函数与x轴有两个交点，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意；
与轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意；
与轴有两个交点，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
10. 如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案．
【详解】解：根据题意，，
∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为，
且该函数图像在第一象限，随的增大而减小，
当时，可有，
越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值，
∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用公式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是_________．
【答案】丁
【解析】
【详解】因为=0.56，=0.60，=0.50， =0.45
所以<<<，由此可得成绩最稳定的为丁．
故答案为丁．
【点睛】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，四条边相等，由直角三角形斜边上的中线的性质得出OE＝AB， 又由AB＝BC，即可求出BC．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AE＝EBAB，
∴BC＝AB＝2OE＝4×2＝8，
故答案：8．
【点睛】此题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14. 若关于一元二次方程有实数根，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
的最大值为，
故答案为：．
15. 一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的侧面积的计算．圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
【详解】圆锥的侧面积，其中，，
∴这个圆锥的侧面积，
故答案为：．
16. 如图，已知是的直径，点E是上一点，F为的中点，过点F作E的垂线，垂足为C，交的延长线于点D，连接．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
根据已知条件证明，根据，可得．根据，可得．对应边成比例即可求出的长，即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
，
，
即，
解得．
，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根据绝对值的化简，锐角三角函数，零指数幂，二次根式的计算，即可求解，
本题考查了，实数的混合运算，特殊角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的加法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 如图，在中，，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25°
【解析】
【分析】（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵射线是的平分线，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．
20. 我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．
请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）填空：；
（2）补全频数直方图；
（3）我校共有3000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则我校安全意识不强的学生约有多少人？
【答案】（1）75，54；
（2）图见详解 （3）900人
【解析】
【分析】本题考查了频数（率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
（1）先由组人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以、组对应百分比求出人数，再用乘以组人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求结果可得答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为（人），
，
组人数为（人），
则组人数为（人），
，
故答案为：75，54；
【小问2详解】
解：补全直方图如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校安全意识不强的学生约有900名．
21. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为CD中点，F为AD中点，AE与BF交于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）连结BE，记BE中点为H，求GH的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先有正方形的性质及E为CD中点，F为AD中点得AF＝DE，然后利用“边角边”证明△ABF≌△DAE；
（2）由△ABF≌△DAE得∠DAE＝∠ABF，从而得到∠BGE＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GH＝BE＝．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，
∵E为CD中点，F为AD中点，
∴AF＝DE＝2，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
【小问2详解】
解：∵BC＝4，EC＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵△ABF≌△DAE，
∴∠DAE＝∠ABF，
∵∠DAE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BGE＝90°，
∵点H是BE的中点，
∴GH＝BE＝．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形斜边上中线的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
22. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
（2）该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键．
（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
依题意得：，解得：．
答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
【小问2详解】
解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，
购买篮球和足球的总费用
依题意得：，
解不等式①得：．
解不等式①得：．
∴m的取值范围为：，
∵购买篮球和足球的总费用，，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，最省钱，
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
23. 如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E．
（1）求证：；
（2）当时，求的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，
（1）根据等腰三角形性质的得到，根据三角形内角和定理和平角的定义证明，据此即可判定出；
（2）利用相似三角形性质得到，由三线合一定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
由（1），得，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24. 定义：有两个内角和为的三角形为“美好三角形”．
（1）判断下列三角是否为“美好三角形”，如果是，请在对应（ ）内画“√”，如果不是，请在对应（ ）内画“×”；
①有一个角为的直角三角形；（ ）
②有一个角为的直角三角形；（ ）
③有一个角为的三角形；（ ）
（2）如图①，直线：与双曲线：相交于点M，点N在x的正半轴上，若是“美好三角形”，求出此时点N的坐标；
（3）如图②，二次函数：的顶点为A，与x轴交于B，C两点，D在内部，连接，当均为“美好三角形”，此时的面积为，的面积为，的面积为，当时，求和的表达式（用含m的式子表示）
【答案】（1）×，×，√
（2）点N的坐标为或
（3），
【解析】
【分析】（1）根据“美好三角形”分别得出角度求解即可；
（2）联立与，求出点M坐标为；根据是“美好三角形”，分为①当时，过M作，得出， 求解即可；②当时，过N作，得出， 根据，得出，即可求出，再根据勾股定理求出，求解即可；
（3）根据二次函数对称性得出，过点D作，当均为“美好三角形”时， 得出，，证出，得出相似比为，即可求出，得出与m的关系；再证明，根据相似三角形性质即可得出，即可得出与m的关系；
【小问1详解】
解：① ∵有一个角为的直角三角形，三个内角分别为，
，
∴该三角形不是 “美好三角形”．
故答案为：×
②有一个角为的直角三角形；
三个内角分别为，，
∴该三角形不是 “美好三角形”．
故答案为：×
③有一个角为的三角形；其余两个内角的和为，
∴该三角形是“美好三角形”．
故答案为：√．
【小问2详解】
联立与，
解得，将代入得，
∴点M坐标为；
若“美好三角形”，
当时，
过M作，
则，
∴，
∴，
∴ ；
当时，
过N作，
则，
∴，
，
，
，
，
，
，
综上，点N的坐标为或；
【小问3详解】
根据二次函数与x轴交于B，C两点，顶点为A，故，
过点D作，
当均为“美好三角形”时，
，，
，
，
∴．
∴，
∴，
，
∵的面积为，的面积为，的面积为， ，
；
，
，
综上，，．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
25. 如图，在中，弦于H，线段为直径，连接，过点B作交的延长线于E，连接并延长交于点F，且连接．
（1）求证：四边形菱形；
（2）求证：；
（3）已知的外接圆半径是3．
①若，求的长；
②当为何值时，的值最大？
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）①；②当时，的值最大
【解析】
【分析】（1）根据，，用垂径定理得出垂直平分，即可证明；
（2）过O作，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理得出，化简得出，再根据菱形四个边相等和半径相等代换即可证明；
（3）作的外接圆，半径为3，根据菱形性质即可得出在上，连接，
①根据，设，代入（2）中结论得出，从而表示出，，在中，根据勾股定理解出，，即可解答；
②设，则，代入（2）中结论得出，在中，表示出，，，在中，根据勾股定理列方程解出，，即可表示出，表示出，根据二次函数的性质即可求解；
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴垂直平分，
，
∵，
，
∴，
，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
过O作，
，
，
在中，，
，
，
即 ，
，
，
；
【小问3详解】
①作的外接圆，半径为3，
∵是菱形，
∴平分，
∴在上，
连接，
，
设，
代入得，
，
，
在中，，
，
解得：(舍)，，
．
②设，则，
代入得：
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得（舍去）或，
，
，
，
时，有最大值，
∴当时，的值最大．
【点睛】该题是圆综合题，主要考查了圆周角定理，菱形的性质和判定，勾股定理，二次函数最值，垂径定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点．
我们倡议并践行
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