2024-2025学年江苏省苏州市常熟市数学九上开学检测试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市常熟市数学九上开学检测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OB的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点B′的横坐标为5，则点A′的坐标为( )
A．B．C．D．
2、（4分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
3、（4分）下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的个数是（ ）
①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两条对角线相等的四边形是矩形；
③菱形的两条对角线成互相垂直平分；
④两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
A．4B．3C．2D．1
4、（4分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1和y＝﹣x+1的图象与x轴的交点及x轴上方的部分组成的图象可以表示为函数y＝|x﹣1|，当自变量﹣1≤x≤2时，若函数y＝|x﹣a|（其中a为常量）的最小值为a+5，则满足条件的a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣5C．7D．﹣3或﹣5
5、（4分） 某班五个课外小组的人数分布如图所示，若绘制成扇形统计图，则第二小组在扇形统计图中对应的圆心角度数是（ ）
A．45°B．60°C．72°D．120°
6、（4分）某市五月份连续五天的日最高气温分别为33、30、31、31、29（单位：ºC），这组数据的众数是（ ）
A．29B．30C．31D．33
7、（4分）若线段2a+1，a，a+3能构成一个三角形，则a的范围是（ ）
A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．1＜a＜3
8、（4分）在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲出发，沿直线匀速行驶经过乙港驶向丙港，最终达到丙港，设行驶x (h)后，船与乙港的距离为y (km)，y与x的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲港与丙港的距离是90kmB．船在中途休息了0.5小时
C．船的行驶速度是45km/hD．从乙港到达丙港共花了1.5小时
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（6，8），则点C的坐标是_____．
10、（4分）将50个数据分成5组，第1、2、3、4组的频数分别是2、8、10、15，则第5组的频率为_________
11、（4分）一组数据2，3，4，5，3的众数为__________.
12、（4分）若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是________.
13、（4分）菱形ABCD的两条对角线长分别为6和4，则菱形ABCD的面积是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图所示，在平行四边形中，于，于，若，，，求平行四边形的周长．
15、（8分）已知四边形ABCD，请你作出一个新图形，使新图形与四边形ABCD的相似比为2：1，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
16、（8分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，6），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点四边形．
（1）在图1中画一个整点四边形ABCD，四边形是轴对称图形，且面积为10；
（2）在图2中画一个整点四边形ABCD，四边形是中心对称图形，且有两个顶点各自的横坐标比纵坐标小1．
17、（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
18、（10分）（1）解不等式．
（2）解方程．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，正方形中，对角线，交于点，点在上，，，垂足分别为点，，，则______.
20、（4分）因式分解:______ .
21、（4分）化简的结果是______．
22、（4分）在反比例函数图象的毎一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是__________.
23、（4分）直线y＝﹣3x+5与x轴交点的坐标是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分） 我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．
（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为 ．
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．
25、（10分）如图，在中，，，点在延长线上，点在上，且，延长交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，则__________．
26、（12分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、.
(1)画出关于点成中心对称的△；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的△；
(2)△和△关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据等边三角形的性质和平移的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△OAB是等边三角形，
∵B的坐标为(2，0)，
∴A(1，)，
∵将△OAB沿直线OB的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点B′的横坐标为5，
∴A′的坐标(4，)，
故选：D．
本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质．求出点A′的坐标是解题的关键．
2、A
【解析】
先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】
∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
3、C
【解析】
分别写出各个命题的逆命题，然后对原命题和逆命题分别进行判断即可．
【详解】
解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，为真命题；其逆命题为平行四边形的对角线互相平分，为真命题；
②两条对角线相等的四边形是矩形，为假命题；逆命题为：矩形的对角线相等，是真命题；
③菱形的两条对角线互相垂直平分，为真命题；逆命题为：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，为真命题；
④两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，为假命题；其逆命题为：正方形的对角线互相垂直且相等，为真命题，
故选：C．
本题考查命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题．
4、A
【解析】
分三种情形讨论求解即可解决问题；
【详解】
解：对于函数y＝|x﹣a|，最小值为a+1．
情形1：a+1＝0，
a＝﹣1，
∴y＝|x+1|，此时x＝﹣1时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝﹣1时，有最小值，此时函数y＝x﹣a，由题意：﹣1﹣a＝a+1，得到a＝﹣2．
∴y＝|x+2|，符合题意．
情形2：当x＝2时，有最小值，此时函数y＝﹣x+a，由题意：﹣2+a＝a+1，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝﹣2．
故选A．
本题考查两直线相交或平行问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
5、D
【解析】
根据条形统计图即可得第二小组所占总体的比值，再乘以360°即可.
【详解】
解：第二小组在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×＝120°，
故选D．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，难度不大，属于基础题型，明确求解的方法是解题的关键.
6、C
【解析】
根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数即可得出答案．
【详解】
根据众数的概念可知，31出现了2次，次数最多，
∴这组数据的众数为31，
故选：C．
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．
7、B
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边列出不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．
【详解】
解：由题意，得，
解得a＞1．
故选B．
8、D
【解析】
由船行驶的函数图象可以看出，船从甲港出发，0.5h后到达乙港，ah后到达丙港，进而解答即可．
【详解】
解：A、甲港与丙港的距离是30+90=120km，错误；
B、船在中途没有休息，错误；
C、船的行驶速度是，错误；
D、从乙港到达丙港共花了小时，正确；
故选D．
此题主要考查了函数图象与实际结合的问题，利用数形结合得出关键点坐标是解题关键，同学们应加强这方面的训练．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（16，8）．
【解析】
过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，根据菱形的性质可得AO＝AC＝BO＝BC＝5，再证明△AOE≌△CBF，可得EO＝BF，然后可得C点坐标．
【详解】
解：过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∵点A的坐标是（6，8），
∴AO＝10，
∵四边形AOBC是菱形，
∴AO＝AC＝BO＝BC＝10，AO∥BC，
∴∠AOB＝∠CBF，
∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
在△AOE和△CBF中

∴△AOE≌△CBF（AAS），
∴EO＝BF＝6，
∵BO＝10，
∴FO＝16，
∴C（16，8）．
故答案为：（16，8）．
此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等．
10、0.3
【解析】
根据所有数据的频数和为总数量，可用减法求解第五组的评数，用频数除以总数即可.
【详解】
解：∵第1、2、3、4组的频数分别是2、8、10、15，
∴50-2-8-10-15=15
∴15÷50=0.3
故答案为0.3.
此题主要考查了频率的求法，明确用频数除以总数求取频率是解题关键.
11、1.
【解析】
众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．
【详解】
本题中数据1出现了2次，出现的次数最多，所以本题的众数是1．
故答案为1．
众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
12、9
【解析】
设多边形的边数为n，先根据多边形的内角和求出多边形的边数，再根据周长即可求出边长.
【详解】
设多边形的边数为n，由题意得
(n－2)·180°=900°
解得n=7，
则它的边长是63÷7=9.
本题考查的是多边形的内角和，解答的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：(n－2)·180°.
13、1
【解析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．
【详解】
∵菱形ABCD的两条对角线长分别为6和4，
∴其面积为4×6=1．
故答案为：1．
此题考查了菱形的性质．注意熟记①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、20
【解析】
在直角三角形AFB中，知道∠A=60°，AF=3，可求出AB的长，同理在Rt△BEC中，可求出BC，因为平行四边形对边相等，即可求出周长．
【详解】
解：在中，，，，
，，
同理在中，，
在平行四边形中，
，，
平行四边形的周长为
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质.
15、见解析.
【解析】
根据新图形与四边形ABCD的相似比为2：1，连接BD，延长BA、BD与BC在延长线上截取BA=AE，BD =DF，BC =CG，即可得出所画图形．
【详解】
解：如图所示．
连接BD，延长BA、BD与BC在延长线上截取BA=AE，BD =DF，BC =CG，连接EF，FG，四边形BEFG即所画图形．
本题考查相似变换的性质，根据相似比得出BE、BF、BG与BA、BD、BC的关系是解决问题的关键．
16、画图见解析.
【解析】
【分析】（1）结合网格特点以及轴对称图形有定义进行作图即可得；
（2）结合网格特点以及中心对称图形的定义按要求作图即可得.
【详解】（1）如图所示（答案不唯一）；
（2）如图所示（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了作图，轴对称图形、中心对称图形等，熟知网格特点以及轴对称图形、中心对称图形的定义是解题的关键.
17、（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.
【解析】
（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.
【详解】
解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，
∴AB=AC=×60=30cm，
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，
∴DF=CD=2t，∴DF=AE；
（2）能，
∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，
∴当t=10时，AEFD是菱形；
（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：
①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，
则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=，
②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，
则AE=2AD，即，解得：t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形.
18、
【解析】
（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为；
（2）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解.
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.
【解析】
由S△BOE+S△COE=S△BOC即可解决问题．
【详解】
连接OE.
∵四边形ABCD是正方形，AC=10，
∴AC⊥BD，BO=OC=1，
∵EG⊥OB，EF⊥OC，
∴S△BOE+S△COE=S△BOC，
∴•BO•EG+•OC•EF=•OB•OC，
∴×1×EG+×1×EF=×1×1，
∴EG+EF=1．
故答案为1．
本题考查正方形的性质，利用面积法是解决问题的关键，这里记住一个结论：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高，填空题可以直接应用，属于中考常考题型
20、
【解析】
首先把公因式3提出来，然后按照完全平方公式因式分解即可.
【详解】
解：
=
=
故答案为：.
此题考查利用提取公因式法和公式法因式分解，注意找出整式里面含有的公因式，然后再选用公式法．
21、
【解析】
根据分式的减法和乘法可以解答本题．
【详解】
解:
,
故答案为:
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
22、
【解析】
根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k-3>0，解可得k的取值范围．
【详解】
根据题意,在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k−3>0，
解得k>3.
故答案为：k>3
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于当反比例函数的系数大于0时得到k-3>0
23、 (，)
【解析】
试题分析：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知x轴上点的纵坐标为0是解答此题的关键．∵令y=0，则﹣3x+5=0，解得x=，∴直线y=﹣3x+5与x轴交点的坐标是（，0）．
考点：一次函数图象与x轴的交点
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①；②1；（2）AD＝BC．
【解析】
（1）①首先证明△ADB'是含有30°的直角三角形，可得ADAB'即可解决问题；
②首先证明△BAC≌△B'AC'，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）结论：ADBC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B'M，C'M，首先证明四边形AC'MB'是平行四边形，再证明△BAC≌△AB'M，即可解决问题．
【详解】
（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB'=AC'．
∵DB'=DC'，∴AD⊥B'C'．
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B'AC'=180°，∴∠B'AC'=120°，∴∠B'=∠C'=30°，∴ADAB'BC．
故答案为．
②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B'AC'=180°，∴∠B'AC'=∠BAC=90°．
∵AB=AB'，AC=AC'，∴△BAC≌△B'AC'，∴BC=B'C'．
∵B'D=DC'，∴ADB'C'BC=1．
故答案为1．
（2）结论：ADBC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B'M，C'M．
∵B'D=DC'，AD=DM，∴四边形AC'MB'是平行四边形，∴AC'=B'M=AC．
∵∠BAC+∠B'AC'=180°，∠B'AC'+∠AB'M=180°，∴∠BAC=∠MB'A．
∵AB=AB'，∴△BAC≌△AB'M，∴BC=AM，∴ADBC．
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25、（1）见解析；（2）75°
【解析】
（1）证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可得到结论；
（2）由Rt△ABE≌Rt△CBF证得BE=BF，∠BEA=∠BFC，求出∠BFE=∠BEF=45°，B、E、G、F四点共圆，根据圆周角定理得到∠BGF=∠BEF=45°即可求出答案.
【详解】
（1）∵，
∴∠CBF=,
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴BE=BF；
（2）∵BE=BF，∠CBF=90°，
∴∠BFE=∠BEF=45°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BEA=∠BFC，
∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠BFC+∠BAE=90°，
∴∠AGF=90°，
∵∠AEB+∠BEG=180°，
∴∠BEG+∠BFG=180°，
∵∠AGF+∠FBC=180°，
∴B、E、G、F四点共圆，
∵BE=BF，
∴∠BGF=∠BEF=45°，
∵∠GBF=60°，
∴∠GFB=180°-∠GBF-∠BGF=75°，
故答案为：75°.
此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，四点共圆的判定，三角形的内角和定理，证明四点共圆是解此题的关键.
26、 (1)画图见解析；（2）（2，-1）.
【解析】
试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．
试题解析：(1)、△A1B1C如图所示， △A2B2C2如图所示； (2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．
考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、作图-平移变换．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分